2016-2017学年高一数学人教B版必修1学案（课堂导学）： 3.4函数的应用（Ⅱ）

课堂导学
三点剖析
一、给出函数模型的问题
【例1】某民营企业生产A、B两种产品,根据市场调查与预测,A产品的利润与投资成正比,其关系如图(1),B产品的利润与投资的算术平方根成正比,其关系如图(2).(注:利润与投资单位:万元)
(1)分别将A、B两种产品的利润表示为投资的函数关系式,并写出它们的函数关系式.(2)该企业已筹集到10万元资金,并全部投入A、B两种产品的生产,问:怎样分配这10万元投资,才能使企业获得最大利润,其最大利润约为多少万元(精确到1万元)
解析：(1)设投资为x万元,A产品的利润为f(x)万元,B产品的利润为g(x)万元,
由题设f(x)=k1x,g(x)=k2,
由图知f(1)=,
∴k1=.
又g(4)=,∴k2=.
从而f(x)=x(x≥0),g(x)=(x≥0).
(2)设A产品投入x万元,则B产品投入10-x万元.设企业利润为y万元.
y=f(x)+g(10-x)
=+,
∴0≤x≤10.令=t,则y=+t=(t)2+(0≤t≤).
当t=时,ymax=≈4,此时x=10=3.75.
答:当A产品投入3.75万元,B产品投入6.25万元时,企业获得最大利润约4万元.
温馨提示
本问题一般有三类:
(1)直接给出函数解析式;(2)给出函数图象,根据图象上的关键点求出解析式;
(3)给出函数类型,自己设出解析式,利用待定系数法求出解析式.
二、构造函数模型
【例2】按复利计算利率的一种储蓄,本金为a元,每期利率为r,设本利和为y,存期为x,写出本利和y随存期x变化的函数式.如果存入本金1000元,每期利率为2.25%,试计算5期后的本利和是多少
思路分析：复利是一种计算利息的方法,即把前一期的利息和本金加在一起作本金,再计算下一期的利息.解：已知本金为a元,
1期后的本利和为y1=a+a×r=(1+r)a;
2期后的本利和为y2=a(1+r)+a(1+r)r=a(1+r)2;
3期后的本利和为y3=a(1+r)3;
…
x期后的本利和为y=a(1+r)x,
将a=1000,r=2.25%,x=5代入上式得
y=1000(1+2.25%)5=1000×1.02255.
由计算器算得y=1117.68(元).
答:函数式为y=a(1+r)x,5期后的本利和为1117.68元.
温馨提示
在实际问题中,常常遇到有关平均增长率的问题,如果原来产值的基础为N,平均增长率为p,则对于时间x的总产值或总产量y,可以用公式y=N(1+p)x表示.解决平均增长率的问题,要用到这个函数式.
三、函数模型的综合应用
【例3】如下图，河流航线AC段长40千米，工厂B位于码头C正北30千米处，原来工厂B所需原料由码头A装船沿水路到码头C后，再改陆运到工厂B,由于水运太长,运费颇高,工厂B与航运局协商在AC段上另建一码头D,并由码头D到工厂B修一条新公路,原料改为按由A到D再到B的路线运输,设|AD|=x千米(0≤x≤40),每10吨货物总运费为y元,已知每10吨货物每千米运费水路为1元,公路为2元.
(1)写出y关于x的函数关系式;
(2)要使运费最省,码头D应建在何处
思路分析：依题意,每10吨货物总运费y为从A到D的水路运费与从D到B的陆路运费之和,因|AD|=x千米,水路运费为(x·1)元,陆路长度由勾股定理求得,陆路运费为(·2)元,不难建立y与x的函数关系式.
解：(1)由题意|BD|=,
易得每10吨货物总运费
y=x+2,0≤x≤40.
(2)由(1)得y-x=2.
两边平方,得(y-x)2=4(2500-80x+x2).
整理得3x2-2(160-y)x+10000-y2=0.①
Δ=4(160-y)2-4×3×(10000-y2)≥0.
解得y≥40+30或y≤40-30(舍去).此时,将y=40+30代入方程①,得
x=40-10∈［0,40］.
∴当x=40-10时,y取最小值,
即当码头建在AC段上与A相距(40-10)千米时,可使运费最少.
温馨提示
(1)对于应用问题中所提出的问题,要认真领会、理解,要注意观察问题的结构特征,揭示内在联系,挖掘隐含条件,根据实际问题准确地得到函数关系式,进而利用有关的数学知识和函数性质实施解题.
(2)对于本题要注意用变化的观点分析和探求具体问题中的数量关系,寻找已知量与未知量之间的内在联系,然后将这些内在联系与数学知识联系建立函数关系式或列出方程,利用函数性质或方程观点来解,则可使应用问题化生为熟,尽快得到解决.
各个击破类题演练1
某商品在近100天内,商品的单价f(t)(元)与时间t(天)的函数关系式如下:
f(t)=
销售量g(t)与时间t(天)的函数关系式是
g(t)=(0≤t≤100,t∈Z).
求这种商品在这100天内哪一天的销售额最高.
解析：依题意该商品在近100天内日销售额F(t)与时间t(天)的函数关系式为F(t)=f(t)·g(t)=
(1)若0≤t≤40,t∈Z,则
F(t)=
=,
当t=12时,F(t)max=(元).
(2)若40＜t≤100,t∈Z,则F(t)=()()
=(t-108)2,
∵t=108>100,∴F(t)在（40,100］上递减.
∴当t=41时,F(t)max=745.5.
∵>745.5,∴第12天的日销售额最高.
变式提升1
某服装市场今年一月、二月、三月分别销售1万件、1.2万件、1.3万件服装,为了预测以后各月的销售趋势,以这三个月的销售量为依据,用一个函数模拟销售量y与月份x之间的关系,模拟函数可以选用二次函数或y=a·bx+c(a,b,c为常数),已知四月份的实际销售量为1.37万件,试问用以上哪个函数作为模拟函数较好,求出此函数.
解析：由条件知f(1)=1,f(2)=1.2,f(3)=1.3.
若用二次函数,可设f(x)=ax2+bx+c,
则解得a=
∴f(x)=x2+x+.
当x=4时,f(4)=13..
若用f(x)=a·bx+c,则
解得∴f(x)=
·()x+.
此时当x=4时,f(4)==13.5.
又知四月份的实际销售量为1.37,
由此可知选用f(x)=·()x+,
∴用y=a·bx+c作模拟函数较好.
类题演练2
某城市现有人口总数为100万人,如果年自然增长率为1.2%,试解答下面的问题:
(1)写出该城市人口总数x(万人)与年份x(年)的函数关系式;
(2)计算10年后该城市人口总数;(精确到0.1万人)
(3)计算大约多少年以后该城市人口将达到120万人.(精确到1年)
解析：(1)1年后该城市人口总数为
y=100+100×1.2%=100×(1+1.2%);
2年后该城市人口总数为
y=100×(1+1.2%)+100×(1+1.2%)×1.2%=100×(1+1.2%)2;
3年后该城市人口总数为
y=100×(1+1.2%)2+100×(1+1.2%)2×1.2%=100×(1+1.2%)3;
……
x年后该城市人口总数为
y=100×(1+1.2%)x.
(2)10年后人口数为
100×(1+1.2%)10≈112.7(万人).
(3)设x年后该城市人口将达到120万人,
即100×(1+1.2%)x=120,
x=log1.012=log1.0121.20≈15(年).
类题演练3
某公司生产一种产品每年需投入固定成本0.5万元,此外每年生产100件产品还需要增加投资0.25万元.经市场调查知这种产品的年需求量为500件,售出的这种产品数量为t(百件)时,销售所得收入约为5t(万元)(t≤5).
(1)若该公司这种产品的年产量为x(百件),设该公司生产并销售这种产品所得的利润为当年产量x的函数f(x),求f(x);
(2)当该公司的年产量为多大时,当年所得的利润最大
解析：产品生产件数与售出件数之间的关系,有两种情况,若生产量不超500件,则能全卖出,若生产超过500件,则只能售出500件,所以要应用分段函数求解.
(1)由题意知:当0＜x≤5时,产品全部售出,当x>5时,产品只能售出5(百件).
∴f(x)=
即f(x)=
(2)当0＜x≤5时,f(x)=x2+4.75x-0.5,
∴当x=4.75时,f(x)max=10.78125(万元).
而当x>5时,f(x)=12-0.25x<12-0.25×5=10.75(万元).
∴当年产量为475件时,利润最大.
变式提升3
学校请了30名木工,要制作200把椅子和100张课桌.已知制作一张课桌与制作一把椅子的工时数之比为10∶7,问30名工人应当如何分组(一组制课桌,另一组制椅子),能使完成全部任务最快
解析：设x名工人制课桌,(30-x)名工人制椅子,一个工人在一个单位时间里可制7张课桌或10把椅子,所以制作100张课桌所需时间为函数P(x)=,制作200把椅子所需时间为函数Q(x)=,完成全部任务所需的时间为y(x)=max{P(x),Q(x)}.
为求得y(x)的最小值,需满足P(x)=Q(x),即=.解得x=12.5.
考虑到人数x∈N
,考察P(12)与Q(13),P(12)=≈1.19,Q(13)=≈1.18,即y(12)>y(13),所以用13名工人制作课桌,17名工人制作椅子完成任务最快.