大题精做 2016-2017学年高二理数人教A版选修2-2（第2章）Word版含解析

第二章
推理与证明
专题1
2.1.1合情推理
1．在数列中，，，，试猜想这个数列的通项公式．
2．观察下列各式：
；
；
；
……
（1）计算：的值；
（2）计算：的值；
（3）猜想：的值．
3．如图所示，把1，3，6，10，15，…这些数叫作三角形数，这是因为这些个数的点可以排成一个正三角形，试猜想第个三角形数．
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4．观察如下数表：
1
2
3
4
3
4
5
6
7
4
5
6
7
8
9
10
……
求：（1）这个表的第行里的最后一个数字是多少？
（2）第行各数字之和是多少？
5．已知，，观察下列运算：
；
；
……
定义使为整数的叫做“希望数”，求区间内所有的“希望数”的和．
6．通过计算可得下列等式：
；
；
；
……
；
将以上各式分别相加得：，即．
类比上述求法：请你求出的值（要求必须有运算推理过程）．
7．观察下表：
1，
2，3
4，5，6，7
8，9，10，11，12，13，14，15，
……
问：（1）此表第行的最后一个数是多少？
（2）此表第行的各个数之和是多少？
（3）2017是第几行的第几个数？
8．在各项均为正数的数列中，其前项和满足．
（1）求，，；
（2）由（1）猜想数列的通项公式；
（3）求．
9．某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数．
①；②；
③；④；
⑤．
（1）试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；
（2）根据（1）的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．
1．
【解析】由已知，得，，，，…，
所以猜想数列的通项公式为．
2．（1）；（2）；（3）．
【解析】通过观察前三个式子，规律如下：左边第项为，右边第一项为，第二项，第三项分别为，，故．
（1）．
（2）．
（3）．
3．第个三角形数为．
【解析】三角形数是从开始的连续自然数的和．
是第一个三角形数；
是第二个三角形数，；
是第三个三角形数，；
是第四个三角形数，；
是第五个三角形数，；
……
那么，猜想第个三角形数为：．
4．（1）；（2）．
【解析】（1）每行的最后一个数字构成等差数列，，，，…，故第行的最后一个数字是．
（2）第行的第个数字为，第行的各数字构成等差数列，，，…，，共个数，其和为．
5．区间内所有的“希望数”的和为．
【解析】因为，，
所以，
所以，
由于，，
所以区间内所有的“希望数”的和为．
6．．
【解析】；
；
；
……
；
将以上各式分别相加得：，
所以．
7．（1）；（2）；（3）第行的第个数．
【解析】（1）因为第行的第个数是，
所以第行的最后一个数是．
（2）第行的各个数为，，，…，，
所以，
故此表第行的各个数之和是．
（3）因为，，，
所以在第行，该行第个数是，
由，知是第行的第个数．
8．（1）；，；（2）；（3）．
【解析】（1）当时，，即，解得．
∵，∴．
当时，，即．
∵，∴．
同理可得．
（2）由（1）猜想．
（3）．
9．（1）；（2），证明见解析．
【思路分析】（1）选择②求常数相对容易，可直接利用二倍角公式和同角三角函数的基本关系，结合特殊角的三角函数值求得答案；（2）根据（1）的计算结果，可得三角恒等式为：，进而根据两角差的余弦公式展开化简即可得证．
【解析】（1）由②得，故所求常数为．
（2）三角恒为等式：．
证明如下：
专题2
2.1.2演绎推理
1．用三段论证明：通项公式为(，为常数)的数列是等差数列．
2．将下列演绎推理写成“三段论”的形式．
（1）太阳系的大行星都以椭圆形轨道绕太阳运行，海王星是太阳系中的大行星，所以海王星以椭圆形轨道绕太阳运行；
（2）菱形的对角线互相平分；
（3）函数是偶函数．
3．用三段论证明：．
4．求证：若三角形的三内角，，对应的边分别为，，，且，，成等差数列，，，成等比数列，则是正三角形．并分析在证明过程中用了几次三段论，分别写出每次三段论的大前提、小前提与结论．
1．【解析】因为数列是等差数列，则，其中为常数，（大前提）
由，得，为常数，（小前提）
所以通项公式(，为常数)的数列是等差数列．（结论）
2．【解析】（1）太阳系的大行星都以椭圆形轨道绕太阳运行，（大前提）
海王星是太阳系中的大行星，（小前提）
所以海王星以椭圆形轨道绕太阳运行．（结论）
（2）平行四边形的对角线互相平分，（大前提）
菱形是平行四边形，（小前提）
所以菱形的对角线互相平分．（结论）
（3）若对函数定义域中的，都有，则是偶函数，（大前提）
对于函数，当时，有，（小前提）
所以函数是偶函数．（结论）
3．【解析】首先，我们知道，（大前提）
则有，（小前提）
所以，（结论）
同理，可得，，
所以．
4．【解析】由，，成等差数列，得，
又，所以，
由，，成等比数列，得，
那么，
即，即，
由于三角形中有一个角是的等腰三角形是等边三角形，
故是正三角形．
上述证明过程共四次使用了三段论．
第1次，大前提：“若，，成等差数列，则”；
小前提：“三角形三内角，，成等差数列，”；
结论：“，所以”．
第2次，大前提：“若，，成等比数列，则”；
小前提：“三角形的三边，，成等比数列”；
结论：“”．
第3次，大前提：“在中，”；
小前提：“在中，”；
结论：“，即，所以”．
第4次，大前提：“三角形中有一个角是的等腰三角形是等边三角形”；
小前提：“中，，”；
结论：“是等边三角形”．
共有多少个桃子
著名美籍物理学家李政道教授在会见中国科技
( http: / / www.21cnjy.com )大学少年班的同学时，出了一道题：有五只猴子，分一堆桃子，可是怎么也平分不了．于是大家同意先去睡觉，明天再说．
夜里一只猴子偷偷起来，把一个桃子扔到山下后，正好可以分成五份，它就把自己的一份藏起来，又睡觉去了．
第二只猴子爬起来也扔了一个桃子，刚好分成五份，也把自己那一份收起来了．
第三、第四、第五只猴子都是这样，扔了一个也刚好可以分成五份，也把自己那一份收起来了．问一共有多少个桃子
（答案：3121）
专题3
2.2.1综合法和分析法
1．已知的三个内角，，成等差数列，求证：．
2．已知，，且，求证：．
3．已知，，为的三边，求证：．
4．已知，，用两种方法证明：．
5．已知非零向量，满足，求证：．
6．若实数、、满足，则称比远离．
（1）若比远离，求实数的取值范围；
（2）对任意两个不相等的正数，，证明：比远离．
7．设数列满足，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，记，证明：．
8．已知，，且，试用分析法证明不等式．
9．数列由下列条件确定：
EMBED
Equation.3
，，．
（1）证明：对任意的，总有；
（2）证明：对任意的，总有．
10．（2015浙江理）已知数列满足，且．
（1）证明：；
（2）设数列的前项和为，证明：.
1．【思路分析】采用分析法进行证明，根据结论，可得；再利用，，成等差数列，可得，利用余弦定理可得成立，从而得证．
【解析】要证原式成立，只要证，
即证，即，
而三个内角，，成等差数列，所以，
又，所以，由余弦定理可得，
所以，故．
2．【解析】解法一（分析法）：要证，只需证，
因为，要证上式只需证，
只需证，即证，
又，所以成立，
所以不等式成立．
解法二（综合法）：由可得，所以，
即，即，
因为，，所以，
所以，即．
3．【解析】利用分析法进行证明，可先将分式不等式转化为整式不等式，然后利用三角形两边之和大于第三边即可得证．
【解析】要证明，
需证明，
需证明，需证明，
∵，，是的三边，∴，，且，，，
∴，∴成立．
4．【解析】解法一（综合法）：因为，，
所以
，
所以．
解法二（分析法）：要证，只需证，
即证，因为，，与同号，
所以成立，所以．
5．【解析】因为，所以，要证，只需证，
只需证，只需证，
只需证，即证，
上式显然成立，故．
6．（1）；（2）见解析．
【解析】（1）由题意可得，即，
即或，解得或，
故实数的取值范围为．
（2）对任意两个不相等的正数，，有，．
因为，
所以，
故比远离．
7．（1）；（2）见解析．
【解析】（1）由题设，可得数列是公差为1的等差数列．
又，所以，所以．
（2）由（1）得，
所以．
8．【解析】要证，
只需证，
只需证，
只需证，
只需证，
即证或，只需证，
而由，可得，
所以．
9．【解析】（1）由及，易得，
从而有，
所以对任意的，总有．
（2）解法一：当时，，，
所以，
故当时，．
解法二：当时，，，
所以，
故当时，．
10．【思路分析】（1）首先根据递推公式可得，再由递推公式变形可知，从而得证；（2）由和，得，从而可得，即可得证.
【解析】（1）由题意得，，即，，
由可得，
由，得，故.
（2）由题意得，所以
①，
由和得，，
所以，因此
②，
由①②得，所以.
专题4
2.2.2反证法
1．已知，，，，试用反证法证明：，，中至少有一个不小于1．
2．已知实数，，，满足，，求证：，，，中至少有一个是负数．
3．（1）证明：，，不可能成等差数列；
（2）证明：，，不可能为同一等差数列中的三项．
4．已知实数，求证：关于的三个方程，，中至少有一个方程有实数根．
5．（1）证明：在一个三角形中，至少有一个内角大于或等于；
（2）若，，，求证：，，不可能同时大于．
6．（1）求证：；
（2）已知，均为正数，且，求证：和中至少有一个成立．
7．已知，，，求证：，，．
8．已知函数．
（1）证明：函数在上为增函数；
（2）用反证法证明：没有负数根．
1．【解析】假设，，均小于1，即，，，则有，
而，与矛盾，
所以假设不成立，故，，中至少有一个不小于1．
2．【思路分析】对于含有“至少”、“至多”的命题的证明，经常用反证法证明．假设结论不成立，由可得，，，．由条件中的和与积想到基本不等式，根据，，两式相加可推出矛盾．
【解析】假设，，，，
因为，所以，，，，
所以，，
所以，这与相矛盾，
所以原假设不成立．
故，，，中至少有一个是负数．
3．【解析】（1）假设，，成等差数列，则，
即，即，
因为，矛盾，所以，，不可能成等差数列．
（2）假设，，为同一等差数列中的三项，
则存在正整数，满足，
得，
两边平方得
③，
由于③式左边为无理数，右边为有理数，且有理数无理数，故假设不正确，
即，，不可能为同一等差数列中的三项．
4．【解析】假设三个方程都没有实根，则三个方程的判别式都小于，
即，即，即，
这与矛盾，所以假设不成立，
故关于的三个方程，，中至少有一个方程有实数根．
【名师点睛】利用反证法进行证明时，通常推出与已知矛盾、与定理（公理）矛盾、自我矛盾等．
5．【解析】（1）假设在一个三角形中，没有一个内角大于或等于，
即三个内角均小于，则这三个内角的和小于，
这与三角形中三个内角和等于矛盾，故假设不成立，
故在一个三角形中，至少有一个内角大于或等于．
（2）假设，，同时大于，
则，
因为，，，
所以
这与矛盾，
所以假设不成立，即，，不可能同时大于．
6．【思路分析】（1）结合不等式特点采用分
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【解析】（1）要证，只需证，
即证，即证，
而上式显然成立，故．
（2）假设和都不成立，即，．
又，均为正数，所以，，
两式相加可得，即，
这与已知矛盾，所以假设不成立，
和中至少有一个成立．
【名师点睛】反证法的适用范围：（1）否定性
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7．【思路分析】根据应用反证法证明命题的一般步骤：先假设原命题的结论不成立，由此找出矛盾，从而肯定结论．本题先假设，，不都是正数，结合可知三个数中必有两个为负数，一个为正数，根据本题中的条件，，，互相进行轮换后都没有变化，从而不妨设，，，进而根据条件得出，由此推导出，这与条件矛盾，从而可肯定原结论正确．
【解析】假设，，不都是正数，
由可知，这三个数中必有两个为负数，一个为正数，
不妨设，，，
则由可得，
又，所以，
即，
即，
因为，，，所以，
即，这与已知矛盾，
所以假设不成立，故，，．
8．【思路分析】（1）由于函数，而函数和函数在上都为增函数，可得函数在上为增函数；（2）假设有负数根为，则有
①，分，两种情况，分别根据和的取值范围，可得①式不可能成立，综上可得假设不成立，命题得证．
【解析】（1）函数，
因为函数和函数在上都为增函数，
故函数在上为增函数．
（2）假设有负数根为，
则有，即
①．
由于函数在上是增函数，且，所以．
由于函数在上是减函数，
当时，，
所以①式不可能成立；
由于函数在上是减函数，
当时，，
而，所以①式不可能成立．
综上可得，①式不可能成立，
故假设不成立，即没有负数根．
专题5
2.3数学归纳法
1．用数学归纳法证明：能被整除，其中．
2．设，，试比较与的大小．
3．观察下列不等式：
；
……
（1）由上述不等式，归纳出一个与正整数有关的一般性结论；
（2）用数学归纳法证明你得到的结论．
4．（1）用数学归纳法证明：．
（2）用数学归纳法证明：．
5．已知数列满足．
（1）计算，，，，并由此猜想通项公式；
（2）用数学归纳法证明（1）中的猜想．
6．给出四个等式：
；
；
；
；
…
（1）写出第，个等式，并猜测第个等式；
（2）用数学归纳法证明你猜测的等式．
7．是否存在常数，，使等式对于一切都成立？若不存在，说明理由；若存在，请用数学归纳法证明．
8．设，其中为正整数．
（1）求，，的值；
（2）猜想满足不等式的正整数的范围，并用数学归纳法证明你的猜想．
9．数列满足，前项和．
（1）写出，，；
（2）猜想的表达式，并用数学归纳法证明．
10．（2014安徽理）设实数，整数，．
（1）证明：当且时，；
（2）数列满足，，证明：．
1．【解析】①当时，能被整除．
②假设当时，能被整除，
则当时，
，
因为能被整除，能被13整除，
所以当时，能被13整除．
综上可知，能被整除，其中．
2．当，时；当时．
【解析】当时，，，此时；
当时，，，此时；
当时，，，此时．
由此猜测，当时，．下面用数学归纳法证明：
①当时，；
②假设当时，，
那么，当时，，
即时，不等式也成立．
由①②知，对任何，，．
综上，当，时；当时．
3．（1）；（2）证明见解析．
【解析】（1）观察上述各不等式，得到与正整数有关的一般不等式为
．
（2）以下用数学归纳法证明．
①当时，由题设可知，不等式显然成立．
②假设当时，不等式成立，即，
那么，当时，有
．
所以当时，不等式也成立．
根据①和②，可知不等式对任意的且都成立．
4．【解析】（1）①当时，左边，右边，左边右边．
②假设时等式成立，即，
那么当时，，
即当时，等式成立．
综上，．
（2）①当时，左边，右边，左边右边，故当时不等式成立．
②假设当时不等式成立，即，
那么当时，左边，
因为，所以，
所以．
故当时，不等式也成立．
综上，由①②可知．
5．（1），，，，猜想；（2）证明见解析．
【解析】（1），，，，由此猜想．
（2）当时，，结论成立．
假设时，结论成立，即，
那么时，，即．
所以，这表明当时，结论成立．
综上所述，．
6．【解析】（1）第五行：；
第六行：．
猜测第行的等式为．
（2）①当时，左边，
右边，左边右边，等式成立．
②假设时，等式成立，即．
则当时，
故当时，等式也成立．
根据①②可知，对任意的，．
7．存在，使等式成立，证明见解析．
【解析】假设存在常数，使等式成立，
将，代入等式，有，解得，．
假设对于一切都成立．
用数学归纳法证明如下：
①当时，左边=，右边=，所以等式成立；
②假设时等式成立，即，
则当时，
，
故当时，等式成立．
综上所述，存在，使对于一切都成立．
8．（1），，；（2）且，证明见解析．
【解析】（1），，．
（2）猜想：当时，．
用数学归纳法证明如下：
①当时，成立；
②假设当时猜想正确，
即，即，
则当时，
，
所以，即成立．
由①②可知，当且时，．
9．（1），，；（2），证明见解析．
【解析】（1）令，因为，所以，即，解得，
令，得，即，解得，
令，得，即，解得．
（2）猜想，下面用数学归纳法给出证明．
①当时，，结论成立．
②假设当时，结论成立，即，
则当时，，
，
所以，
所以，
故当时结论成立．
由①②可知，对一切，都有成立．
10．【解析】（1）用数学归纳法进行证明．
①当时，，原不等式成立．
②假设时，不等式成立．
当时，，
所以当时，原不等式也成立．
综合①②可得，当且时，对一切整数，不等式均成立．
（2）先用数学归纳法证明．
①当时，由题设知成立．
②假设时，不等式成立．
由，易知．
当时，．
由可得．
由（1）中的结论得．
因此，即．
所以时，不等式也成立．
综合①②可得，对一切正整数，不等式均成立．
再由，可得，即．
综上所述，．