课题： 3.6.2直线和圆的位置关系 课型：新授课 年级：九年级
教学目标：
1．探索切线的判定方法，归纳总结出切线的判定方法．
2．能够利用切线的判定定理及三角形的内切圆的性质等解决有关问题．
3、经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程，发展合情推理能力和初步演绎推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点．21教育网
教学重、难点：
重点：探索圆的切线的判定方法，并能运用其进行推理.
难点：探索三角形内切圆的方法，用尺规作图作出三角形的内切圆.
课前准备：
教师: 多媒体、导学案、直尺、圆规.
学生：直尺、圆规.
教学过程：
一、知识回顾，开辟道路
上节课我们学习直线和圆的位置关系，你知道怎么判定直线和圆位置关系吗？（多媒体出示）
方法1：看直线与圆交点的个数
(1) 当直线与圆有两个公共点时，叫做直线与圆 .
(2) 当直线与圆有唯一公共点时，叫做直线与圆 . 这条直线叫做圆的切线，公共点叫做切点.www.21-cn-jy.com
(3) 当直线与圆没有公共点时，叫做直线与圆 .
方法2：看直线到圆的距离d与圆的半径r的大小关系
(1)d＜r 直线l与⊙O相交
(2) d=r 直线l与⊙O相切
(3) d＞r 直线l与⊙O相离
处理方法：利用多媒体展示直线与圆的位置关系，让学生口答判定直线与圆的位置关系的两种方法，教师要特别强调直线与圆相切的判断。2·1·c·n·j·y
设计意图：用多媒体的形式展示直线与圆的位置关系，帮助学生识记直线与圆的三种位置关系，教师强调直线与圆相切的判断为为本节课圆的切线的判定学习作好铺垫．
二、创设情境，提出问题
同学们，请欣赏下面的两幅图片：
（1）当你在下雨天快速转动雨伞时水飞出的方向是什么方向？
（2）砂轮打磨工件飞出火星的方向是什么方向？
本节课我们来继续探究直线和圆的位置关系．【教师板书课题：3.6直线与圆的位置关系（2）】
处理方式：通过图片的展示引发学生学习的兴趣，学生利用生活经验描述情境1中的水流痕迹是一条直线并且与雨伞的边缘相切，情境2中飞出火星是一条直线与砂轮相切，进一步引出对直线与圆相切判断的思考，从而引出本节课的学习。【来源：21·世纪·教育·网】
设计意图：由图片的形式向学生展示直线和圆有关的生活现象，创设问题情境，吸引学生的注意，激发学生的学习兴趣．以问题的形式引导学生发现图片中直线和圆相切，从而引出本节课的课题．21·世纪*教育网
三、分组合作，探究新知
活动内容1：利用旋转实验探究圆的切线的判定条件（多媒体出示）
如图1，AB是⊙O的直径，直线l经过点A，l与AB的夹角∠(，⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d．当直线l绕点A旋转时，大家注意观察∠(与d的变化情况，以及直线与圆的位置关系，回答下面两个问题：www-2-1-cnjy-com
（1）随着∠(的变化，点O到l的距离d如何变化？直线l与⊙O的位置关系如何变化?
(2) 当∠(等于多少度时，点O到l的距离d等于半径r？此时，直线l与⊙O有怎样的位置关系？为什么？【来源：21cnj*y.co*m】
(3)由此你能得出什么结论?
跟踪练习：判断
1. 过半径的外端的直线是圆的切线（ ）
2. 与半径垂直的的直线是圆的切线（ ）
3. 过半径的端点与半径垂直的直线是圆的切线（ ）
处理方式：学生观察图1和图2的∠(为锐角时，根据直线l到圆心的距离d小于圆的半径r，判断出直线l与圆相交；观察图3的∠(为直角时，根据直线l到圆心的距离d等于圆的半径r，判断直线l与圆相切．然后教师引导学生讨论得出切线的判定定理：一是直线过半径的外端；二是垂直于这条直径，这样的直线才是圆的切线．大家一定要注意这两点，二者缺一不可．【版权所有：21教育】
设计意图：教师利用多媒体演示旋转实验，探索圆的切线与过切点的半径之间的关系，让学生通过观察，猜想，动手操作，得出直线l与半径之间满足什么关系时，直线l就是⊙O的切线，然后进一步加以验证，得出切线的判定定理，便于学生理解掌握．
活动内容2：作圆的切线
导入语：如果告诉你⊙O上有一点A（如图4所示），让你过点A作出⊙O的切线，你会作吗？（多媒体出示）
1、已知⊙O上有一点A，过A作出⊙O的切线．
处理方式：教师引导学生分析，根据刚才讨论过的圆的切线的判定定理可知：图中已有经过半径的一端的点A，只要做出垂直于半径的直线就是圆的切线，而现在没有半径，所以需要连接OA，再作半径OA的垂线即可，学生动手作图，并展示学生作出的图形．作图后引导学生反思：要知道经过半径的外端一点的直线是圆的切线，需要“连半径，证垂直”。
学生作图预设：
(1)连接OA．
(2)过点A作OA的垂线l，l即为所求的切线．
设计意图：利用作图加深对圆的切线的判定定理的理解，
提升学生动手作图的能力，并通过辅助线的作法进行反思，
引导学生初步了解得出圆的切线的方法。
活动内容3：探究三角形的内切圆
（1）提出问题：我们在前面学习了三角形的外接圆，下面我们探究能不能作出一个圆与三角形的三条边都相切。（多媒体出示）21*cnjy*com
例2：如下图，从一块三角形材料中，能否剪下一个圆使其与各边都相切?
处理方式：教师引导学生作出一个圆的关键就是确定圆心和半径，引发学生对圆心位置的思考。
（2）分析问题：假设作出符合条件的圆O，使它与△ABC的三边都相切，连接圆心O和三个切点，再连接AO，你能得到哪些结论？
处理方式：学生通过小组讨论，得出AO是∠BAC的平分线，同样连接BO、CO，BO、CO分别是∠ABC、∠ACB的平分线；因此得出点O是三条角平分线交点，点O也就是要找的圆心。21·cn·jy·com
（3）解决问题：现在开始用尺规作图，然后我请一位同学说出作图步骤．
学生作图预设：
（1）作、的平分线和，交点为.
（2）过点作，垂足为.
（3）以为圆心，为半径作⊙，⊙就是所求作的圆.如下图所示：
处理方式：学生通过动手尝试，小组讨论，互相学习，得出作图方法，教师利用实物展台展示部分学生作品，适时进行表扬和鼓励。【出处：21教育名师】
（4）巩固练习：像这样和三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆.内切圆的圆心叫做三角形的内心，是三角形三条角平分线的交点. 请同学们分别再作出直角三角形、钝角三角形的内切圆，观察它们的内心位置情况.21教育名师原创作品
处理方式：学生独立完成上面的作图，并进行对比三种三角形内心的位置。
设计意图：通过作三角形的内切圆，得出三角形和圆的关系，同时也巩固了直线和圆相切判定定理，复习了确定圆的方法，从而把与本节有关联的知识对比归纳起来了，形成知识体系，便于学生理解和掌握.。21*cnjy*com
四、学以致用、能力提升：
师：我们已经学习直线和圆的判定定理，你能解决下面的问题吗？（多媒体出示）
例题：已知:如图，A是⊙O外一点，AO的延长线交⊙O于点C，点B在圆上，且AB=BC，∠A=30°.求证:直线AB是⊙O的切线
跟踪练习：1.已知直线经过⊙上的点，并且, ,
求证：直线是⊙的切线.
2.已知：O为∠BAC平分线上一点，OD⊥AB于D,以O为圆心，OD为半径作⊙O。
求证：⊙O与AC相切。
处理方式：教师先让学生尝试完成例题，如果学生通过讨论不能完成，教师引导学生作出辅助线，写出证明方法，然后独立完成巩固练习题，教师展示习题答案并总结两类题的解题方法，即“连半径，证垂直”和“作半径，证垂直”.
设计意图：此例题主要是切线判定定理的运用，让学生体会在判定切线时，如果已知点在圆上，则连半径是常用的辅助线，培养学生运用判定定理解决问题的能力。
五、归纳小结，思维升华
提出问题：通过本节课的学习，谈谈你有什么收获？学到了哪些方法?还有什么困惑？（多媒体出示）
处理方式：学生回顾本节课所学的知识，回答三种判断直线和圆的切线的方法：⑴直线与圆有唯一个公共点.⑵直线到圆心的距离等于圆的半径.⑶切线的判定定理.作三角形内切圆的方法，以及利用切线的判定定理判断直线是圆的切线的方法和技巧.学困生谈谈学习上的困惑，以便教师课后做好辅导。
设计意图：通过课堂小结，让学生学会总结，使其所学知识转化为自己的知识，同时查漏补缺，让知识网络更系统.同时也是检查自己是否完成本节课的学习目标的机会.
六、达标检测，反馈提高
活动内容：通过本节课的学习，同学们的收获一定很多！收获的质量如何呢？请完成导学案中的达标检测题．（同时多媒体出示）2-1-c-n-j-y
1．(2014.天津)如图，AB是⊙O的弦，AC是⊙O的切线，A为切点，BC经过圆心．若∠B=25°，则∠C的大小等于（ ）
A． 20° B． 25° C． 40° D． 50°
2．（2014?哈尔滨）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，连接OC交⊙O于点D，连接BD，∠C=40°．则∠ABD的度数是（ ）
A． 30° B． 25° C． 20° D． 15°
3．（ 2014?玉林市）如图，直线MN与⊙O相切于点M，ME=EF且EF∥MN，则cos∠E= ．
4． （2014?湘潭）如图，⊙O的半径为3，P是CB延长线上一点，PO=5，PA切⊙O于A点，则PA= .
5．（2014?山东枣庄）如图，A为⊙O外一点，AB切⊙O于点B，AO交⊙O于C，
CD⊥OB于E，交⊙O于点D，连接OD．若AB=12，AC=8．
（1）求OD的长；
（2）求CD的长．
6.（2014?临沂）如图，已知等腰三角形ABC的底角为30°，以BC为直径的⊙O与底边AB交于点D，过D作DE⊥AC，垂足为E．21世纪教育网版权所有
（1）证明：DE为⊙O的切线；
（2）连接OE，若BC=4，求△OEC的面积．
处理方式：学生做完后，教师出示答案，指导学生校对，并统计学生答题情况．学生根据答案进行纠错．
设计意图：学以致用，当堂检测及时获知学生对所学知识掌握情况，并最大限度地调动全体学生学习数学的积极性，使每个学生都能有所收益、有所提高，明确哪些学生需要在课后加强辅导，达到全面提高的目的．21cnjy.com
七、布置作业，课堂延伸
基础作业：课本 P93 习题3.8 第1、2题．
拓展作业：课本 P93 习题3.8 第3题．
板书设计：
§3.6直线与圆的位置关系（二）
1．切线的判定定理:
经过直径一端，并且垂直于这条直径的直线是圆的切线．
2．作圆的切线
3．三角形的内切圆
（1）定义
（2）画法：
（3）内心：三个内角角平分线的交点
4．学以致用
例1
证法：（1）“连半径，证垂直”
（2）“作垂直，证半径”
课件23张PPT。3.6 直线与圆的位置关系（2）第三章 圆北师大版数学九年级下册(2) 当直线与圆有唯一公共点时，叫做直线与圆 .(3) 当直线与圆没有公共点时，叫做直线与圆 . (1) 当直线与圆有两个公共点时，叫做直线与圆 . 相离相切相交(1)(3)(2)这条直线叫做圆的切线，公共点叫做切点.OOO知识回顾直线与圆的位置关系量化如果⊙O的半径为r,圆心O到直线l 的距离为d,那么d r直线和圆相交直线和圆相切直线和圆相离d rd r<=>知识回顾1.当你在下雨天快速转动雨伞时水飞出的方向是什么方向？
2.砂轮打磨工件飞出火星的方向是什么方向？创设情境直线何时变为切线 如图,AB是⊙O的直径,直线CD经过点A,CD与AB的夹角为∠α,当CD绕点A旋转时,3.你能写出一个命题来表述这个事实吗?1.随着∠α的变化,点O到CD的距离如何变化?直线CD与⊙O的位置关系如何变化?2.当∠α等于多少度时,点O到CD的距离等于半径?此时,直线CD与⊙O有怎样的位置关系? 为什么?发现：(1)直线 l 经过半径OA的外端点A；
(2)直线l垂直于半径0A．
则:直线l与⊙O相切这样我们就得到了从位置上来判定直线是圆的切线的方法——切线的判定定理．
切线的判定定理： 经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线。 切线需满足两条： ①经过半径外端；
②垂直于这条半径． 定理的几何符号表达：∵ OA是半径，l⊥OA于A
∴ l是⊙O的切线。Orl A判 断1. 过半径的外端的直线是圆的切线（ ）
2. 与半径垂直的的直线是圆的切线（ ）
3. 过半径的端点与半径垂直的直线是圆的切线（ ）×××两个条件,缺一不可
切线的判定方法有三种：
①直线与圆有唯一公共点；
②直线到圆心的距离等于该圆的半径；
③切线的判定定理．即
经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线
判定直线与圆相切有哪些方法？ 做一做：
已知⊙O上有一点A，过A作出⊙O的切线．问：如何过圆上一个已知点做圆的切线呢？从一块三角形材料中,能否剪下一个圆,使其与各边都相切?假设符合条件的圆已作出,则它的圆心到三边的距离相等.因此,圆心在这个三角形三个角的平分线上,半径为圆心到三边的距离.三角形与圆的位置关系I●I●这样的圆可以作出几个?为什么?∵直线BE和CF只有一个交点I,并且点I到△ABC三边的距离相等(为什么?),∴和△ABC三边都相切的圆可以作出一个,并且只能作一个.三角形与圆的位置关系这圆叫做三角形的内切圆.这个三角形叫做圆的外切三角形 内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点,叫做三角形的内心.三角形与圆的“切”关系 1.以边长为3,4,5的三角形的三个顶点为圆心,分别作圆与对边相切,则这三个圆的半径分别是多少?2.分别作出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的内切圆,并说明它们内心的位置情况.例.已知:如图，A是⊙O外一点，AO的延长线交⊙O于点C，点B在圆上，且AB=BC，∠A=30°.求证:直线AB是⊙O的切线ABCO证明：连接OB∵OB=OC，AB=BC，∠A=30°∴∠OBC=∠C=∠A=30°∴∠AOB=∠C+ ∠OBC =60°∵∠ABO=180°-（∠AOB+∠A）
=180°-（60°+30°）
=90°∴AB⊥OB∴AB为⊙O的切线1. 已知：直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB。
求证：直线AB是⊙O的切线。OBAC分析：由于AB过⊙O上的点C，所以连接OC，只要证明AB⊥OC即可。 证明：连结OC
∵ ⊿OAB中， OA＝OB , CA＝CB,
∴ AB⊥OC。
∵ OC是⊙O的半径
∴ AB是⊙O的切线。2.已知：O为∠BAC平分线上一点，OD⊥AB于D,以O为圆心，OD为半径作⊙O。
求证：⊙O与AC相切。OABCD证明：过O作OE⊥AC于E。
∵ AO平分∠BAC，OD⊥AB
∴ OE＝OD
即圆心O到AC的距离 d = r
∴ AC是⊙O切线。 第1题与第2题的证法有何不同?
(1)如果已知直线经过圆上一点,则连结这点和圆心,得到辅助半径,再证所作半径与这直线垂直。简记为：连半径,证垂直。
(2)如果已知条件中不知直线与圆是否有公共点,则过圆心作直线的垂线段为辅助线,再证垂线段长等于半径长。简记为：作垂直,证半径。归纳分析通过本节课的学习，谈谈你的收获？1.(2014.天津)如图，AB是⊙O的弦，AC是⊙O的切线，A为切点，BC经过圆心．若∠B=25°，则∠C的大小等于（ ）
A． 20° B． 25° C． 40° D． 50°2.（2014?哈尔滨）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，连接OC交⊙O于点D，连接BD，∠C=40°．则∠ABD的度数是（ ）
A． 30° B． 25° C． 20° D． 15°3.（ 2014?玉林市）如图，直线MN与⊙O相切于点M，ME=EF且EF∥MN，则cos∠E= ． 4. （2014?湘潭）如图，⊙O的半径为3，P是CB延长线上一点，PO=5，PA切⊙O于A点，则PA= .5.（2014?山东枣庄）如图，A为⊙O外一点，AB切⊙O于点B，AO交⊙O于C，CD⊥OB于E，交⊙O于点D，连接OD．若AB=12，AC=8．
（1）求OD的长；
（2）求CD的长． 6. （2014?临沂）如图，已知等腰三角形ABC的底角为30°，以BC为直径的⊙O与底边AB交于点D，过D作DE⊥AC，垂足为E．
（1）证明：DE为⊙O的切线；
（2）连接OE，若BC=4，求△OEC的面积．布置作业，课堂延伸 基础作业：P93 习题3.8 第1、2题．
拓展作业: P93 习题3.8 第3题．
