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第六章
反比例函数
义务教育教科书(北师大版)九年级数学上册
第3节
反比例函数的应用
什么是反比例函数?其表达式是什么?其图像和性质分别是什么?
一般地,形如
(k是常数,k≠0)的函数叫做反比例函数.
当k>0时,两支曲线分别位于第一、三象
限内,在每一象限内,y随x的增大而减少;
当k<0时,两支曲线分别位于第二、四象
限内,在每一象限内,y随x的增大而增大.
问题情境
某科技小组进行野外考察,途中遇到一片十几
米的烂泥湿地。为了安全、迅速通过这片湿地,
他们沿着前进的路线铺垫
了若干块木板,构筑成一
条临时通道,从而顺利完
成了任务。你能解释他们
这样做的道理吗?
问题探究
当人和木板对湿地的压力一定时,随着木板面积S(m2)的变化,人和木板对地面的压强P(Pa)将如何变化
如果人和木板对湿地地面的压力合计600N,那么
(1)用含S的代数式表示P,P是S的反比例函数吗 为什么
解:
P是S的反比例函数.
问题探究
(2)当木板面积为0.2m2时,压强是多少
解:当S=0.2m2时,P=
——
=3000(Pa).
600
0.2
(3)如果要求压强不超过6000Pa,木板面积至少要多大
解:当P≤600时,S≥600/6000=0.1(m2)
所以木板面积至少要0.1m2.
问题探究
(4)在直角坐标系,作出相应函数的图象.
注意:只需在第一象限作出函数的图象.因为S>0.
(4)在直角坐标系,作出相应函数的图象.
注意:只需在第一象限作出函数的图象.
因为S>0.
注意单位长度所表示的数值.
0.1
0.2
0.3
0.4
1000
2000
3000
4000
5000
6000
探究新知
问题探究
(5)请利用图象对(2)和(3)作出直观解释,并与同伴交流.
解:问题(2)是已知图象上的某点的横坐标为0.2,求该点的纵坐标;问题(3)是已知图象上点的纵坐标不大于6000,求这些点所处位置及它们横坐标的取值范围.实际上这些点都在直线P=6000下方的图象上.
0.1
0.2
0.3
0.4
1000
2000
3000
4000
5000
6000
1.蓄电池的电压为定值.使用此电源时,电流I(A)与电阻R(Ω)之间的函数关系如下图所示:
巩固练习
(1)蓄电池的电压是多少?你能写出这一函数的表达式吗?
(2)完成下表,并回答问题:如果以此蓄电池为电源的用电器限制电流不得超过10A,那么用电器的可变电阻应控制在什么范围内?
解:因为电流I与电压U之间的关系为IR=U(U为定值),把图象上的点A的坐标(9,4)代入,得U=36.所以蓄电池的电压U=36V.
这一函数的表达式为:
当I≤10A时,解得R≥3.6(Ω).
所以可变电阻应不小于3.6Ω.
做一做
2.(见课本148页)
(1)分别写出这两个函数的表达式;
(2)你能求出点B的坐标吗 你是怎样求的 与同伴交流
做一做
(2)B点的坐标是两个函数组成的方程组的另一个解.
解得
x
=
练一练
某蓄水池的排水管每时排水8m3,6h可将
满池水全部排空.
(1)蓄水池的容积是多少
(2)如果增加排水管,使每时的排水量达到
Q(m3),那么将满池水排空所需的时间t(h)将
如何变化
(3)写出t与Q之间的函数关系式;
练一练
(4)如果准备在5h内将满池水排空,那么每
时的排水量至少为多少?
(5)已知排水管的最大排水量为每时12m3,
那么最少多长时间可将满池水全部排空?
问题1:通过本节课的学习你都有哪些收获?请同学们说出来大家共同分享一下.
问题2:通过今天的学习你还有哪些困惑?
1.近视眼镜的度数y(度)与镜片焦距x(m)成反比例(即
,
),已知200度近视眼镜的镜片焦距为0.5m,则y与x之间的函数关系式是
.
0
k
2.某闭合电路中,电源的电压为定值,电流I(A)与电阻R(Ω)成反比例.图表示的是该电路中电流I与电阻R之间函数关系的图象,则用电阻R表示电流I的函数解析式为
.
第2题图
3.如图,正比例函数与反比例函数的图象相交于A、B两点,若点A的坐标为(2,1),则点B的坐标是(
)
A.(1,2)
B.(-2,1)
C.(-1,-2)
D.(-2,-1)
4.已知长方形的面积为20cm2,设该长方形一边长为ycm,另一边的长为xcm,则y与x之间的函数图象大致是( )
5.某乡镇要在生活垃圾存放区建一个老年活动中心,这样必须把1200m
的生活垃圾运走.
(1)假如每天能运xm
,所需时间为y天,写出y与x之间的函数关系式;
(2)若每辆拖拉机一天能运12m
,则5辆这样的拖拉机要用多少天才能运完?
(3)在(2)的情况下,运了8天后,剩下的任务要在不超过6天的时间完成,那么至少需要增加多少辆这样的拖拉机才能按时完成任务?
3
3
3
必做题:课本
159页
习题6.4
第1、2题.
选做题:课本
160页
习题6.4
第3题.课题:6.3反比例函数的应用
课型:新授课
年级:九年级
教学目标:
1.经历分析实际问题中变量之间的关系,建立反比例函数模型,进而解决问题的过程;
2.体会数学与现实生活的紧密联系,增强应用意识,提高运用代数方法解决问题的能力.
教学重、难点:
重点:用反比例函数的知识解决实际问题.
难点:如何从实际问题中抽象出数学问题、建立数学模型,用数学知识去解决实际问题.
课前准备:制作多媒体课件.
教学过程:
一、复习回顾、导入新课
活动内容:复习反比例函数的相关知识
问题1:回顾一下什么是反比例函数?其表达式是什么?其图像和性质分别是什么?
问题2:我们学习它们的目的是什么呢?
处理方式:
学生依次回答:
一般地,如果两个变量、之间的关系可以表示成
(为常数,)的形式,那么称是的反比例函数.
其关系式可以表示成
(为常数,),另外,还可以表示为或()的形式.
反比例函数的图象
()是由两支曲线组成的.
(1)当>时,函数图象分别位于第一、三象限内,并且在每一个象限内,随的增大而减小.
(2)当<时,函数图象分别位于第二、四象限内,并且在每一象限内,随的增大而增大.
问题2提出之后顺利成章的引出本节课的学习目的,并板书题目§5.3反比例函数的应用.
设计意图:让学生回顾反比例函数的定义、图象、与性质,一方面加深学生对上节课所学知识的理解与记忆,另一方面也为本节课的讲解做铺垫,因为本课将重点研究有关反比例函数的应用,对反比例函数的知识点应用较全面,除此之外还要结合实际问题进行分析综合利用.在学生回答完问题之后,接着教师提出疑问“我们学习它们的目的是什么呢?”自然过渡到本课的课题,也激发了学生学习的兴趣.
二、合作探究,获取新知
活动内容:例题展示
(展示多媒体课件)
例:某校科技小组进行野外考察,途中遇到片十几米宽的烂泥湿地.为了安全、迅速通过这片湿地,他们沿着前进路线铺垫了若干块木板,构筑成一条临时通道,从而顺利完成了任务.你能解释他们这样做的道理吗?当人和木板对湿地的压力一定时随着木板面积S
(m2)的变化,人和木板对地面的压强p
(Pa)将如何变化?如果人和木板对湿地地面的压力合计600N,那么
(1)用含S的代数式表示p,p是S的反比例函数吗?为什么?
(2)当木板画积为0.2m2时.压强是多少?
(3)如果要求压强不超过6000Pa,木板面积至少要多大?
(4)在直角坐标系中,作出相应的函数图象.
(5)清利用图象对(2)和(3)作出直观解释,并与同伴进行交流.
处理方式:教师可以通过小组合作的形式完成,给学生充分的思考、交流、展示的时间.
在(4)中,要启发学生思考:为什么只需在第一象限作函数图象?此外,还要注意单位长度所表示的数值。在(5)中,要留有充分时间让学生交流,领会实际问题的数学意义及反比例函数模型的应用,体会数与形的统一.
学生回答预设:
(1)由得
p是S的反比例函数,因为给定一个S的值.对应的就有唯一的一个值和它对应,根据反函数定义,则是的反比例函数.
(2)当S=0.2m2时,(Pa).因此,当木板面积为0.2m2时,压强是3000Pa.
(3)当Pa时,(m2).因此,如果要求压强不超过6000Pa,木板面积至少要0.1m2.
(4)图象如下图所示:
(5)(2)是已知图象上某点的横坐标为,求该点的纵坐标;(3)是已知图象上点的纵坐标不大于,求这些点所处的位置及它们横坐标的取值范围.
教师肯定这些同学回答后提一个问题,大家知道反比例函数的图象是两支双曲线、它们要么位于第一、三象限,要么位于第二、四象限,从(1)中已知>0,所以图象应位于第一、三象限,为什么这位同学只画出了一支曲线,是不是另一支曲线丢掉了呢?还是因为题中只给出了第一象限呢?
学生思考后回答,第三象限的曲线不存在,因为这是实际问题,不可能取负数,所以第三象限的曲线不存在.
设计意图:先让学生把所学习的有关反比例函数的知识应用到实际问题中,去解决实际问题,让学生体会到与纯函数问题的不同之处及应注意的问题.在处理时要注意对学生的指导,可以先让学生自己思考回答,回答不全面时教师在加以指点,尤其是在画函数图象时,学生可能会把两只曲线全画出来,因此教师应注意引导其注意函数的取值范围即S>0.进而加深学生对实际问题的理解和应用能力.
三、学以致用、能力提升
活动内容:巩固练习
(教师):请同学们结合我们刚刚讲解的内容,完成以下的题目.(出示多媒体课件):
1.蓄电池的电压为定值.使用此电源时,电流I(A)与电阻R(Ω)之间的函数关系如下图所示:
(1)蓄电池的电压是多少?你能写出这一函数的表达式吗?
(2)完成下表,并回答问题:如果以此蓄电池为电源的用电器限制电流不得超过10A,那么用电器的可变电阻应控制在什么范围内?
处理方式:
教师问题引导:1.从图形上来看,和之间可能是哪种函数关系.
2.如何求函数关系式?
3.如何去计算表中的数据呢?
学生根据提示问题思考并解答,指定同学到黑板板书,多媒体展示步骤
解:(1)由题意设函数表达式为。
∵(,)在图象上,
∴.
∴表达式为.
答:蓄电池的电压是伏.
(2)要保证电流不超过
A,即I最大为
A,代入关系式中得,为最小电阻,所以用电器的可变电阻应控制在≥3.6这个范围内.
2.如下图,正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于,两点,其中点的坐标为(,).
(1)分别写出这两个函数的表达式:
(2)你能求出点的坐标吗?你是怎样求的?与同伴进行交流.
处理方式:
教师问题引导:1.
如何求这两个函数关系式?2.
如何去求点的坐标?
学生根据提示问题思考并解答,指定同学到黑板板书,多媒体展示步骤
解:(1)∵既在图象上,又在的图象上.
∴.
∴
∴表达式分别为,.
(2)由
得,
∴∴.
当时,.
∴.
教师讲解解答过程,规范学生答题.学生纠错.
教师提问:在求点的坐标时还有没有其他方法呢?点与点有何关系?
学生思考回答:
点与点关于原点成中心对称,因此,它们的横、纵坐标互为相反数.由于点的坐标为,所以,点的坐标为.
设计意图:通过这两个题目使学生进一步体会反比例函数在实际问题中的应用,培养学生观察问题、分析问题、解决问题的能力.通过对第一题的处理使学生感受有图形给出条件的问题的求解方法;第二个题目是一个综合题,通过对第二题的求解,让学生能够掌握几种函数图形在一起的求解方法,了解综合题的分析思路和解题思路,进而使学生能够掌握综合性较强的函数题.在处理时要留个学生足够的空间和时间去交流讨论,以便使学生能够较好的理解与掌握.
四、课堂小结,纳入系统
问题1:通过本节课的学习你都有哪些收获?请同学们说出来大家共同分享一下.
问题2:通过今天的学习你还有哪些困惑?
设计说明:鼓励学生自己去回答本课所学知识,相互交流学习的方法,互相借鉴,深化对课堂所学知识的理解和把握,为以后的学习奠定基础.同时教师要进一步指出,在实际问题中要注意结合题目的条件,注意与纯函数题的不同点以及题目中的自变量的取值范围.
五、当堂检测,反馈纠正
为了了解我们对本节课所学知识的掌握程度,请同学们独立完成本节课的当堂检测.
1.近视眼镜的度数y(度)与镜片焦距x(m)成反比例(即,),已知200度近视眼镜的镜片焦距为0.5m,则y与x之间的函数关系式是
.
2.某闭合电路中,电源的电压为定值,电流I(A)与电阻R(Ω)成反比例.图表示的是该电路中电流I与电阻R之间函数关系的图象,则用电阻R表示电流I的函数解析式为( )
A.
B.
C.
D.
3.如图,正比例函数与反比例函数的图象相交于A、B两点,若点A的坐标为(2,1),则点B的坐标是( )
A.
(1,2)
B.(-2,1)C.
(-1,-2)
D.(-2,-1)
4.已知长方形的面积为20cm2,设该长方形一边长为ycm,另一边的长为xcm,则y与x之间的函数图象大致是( )
A.
B.
C.
D.
5.某乡镇要在生活垃圾存放区建一个老年活动中心,这样必须把1200m3的生活垃圾运走.
(1)假如每天能运xm3,所需时间为y天,写出y与x之间的函数关系式;
(2)若每辆拖拉机一天能运12m3,则5辆这样的拖拉机要用多少天才能运完?
(3)在(2)的情况下,运了8天后,剩下的任务要在不超过6天的时间完成,那么至少需要增加多少辆这样的拖拉机才能按时完成任务?
处理方式:学生做完后,教师出示答案,指导学生校对,并统计学生答题情况.学生根据答案进行纠错.
设计意图:学以致用,当堂检测及时获知学生对所学知识掌握情况,并最大限度地调动全体学生学习数学的积极性,使每个学生都能有所收益、有所提高,明确哪些学生需要在课后加强辅导,达到全面提高的目的.
六、布置作业,课堂延伸
必做题:课本
159页
习题6.4
第1、2题。
选做题:课本
160页
习题6.4
第3题。
设计意图:作业的设计突出层次性,可更好地调动不同学生的学习热情.满足不同层次学生的需要,另一方面巩固了本课所学的知识,同时也了解了学生对本课知识的掌握情况.以便为下一节课的教学做准备.
板书设计:
§6.3
反比例函数的应用
复习
例题
巩固练习
投影区
学
生
活
动
区
第2题图
第3题图