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第六章
反比例函数
义务教育教科书(北师大版)九年级数学上册
第3节
反比例函数的应用
什么是反比例函数？其表达式是什么？其图像和性质分别是什么？
一般地，形如
(k是常数，k≠0)的函数叫做反比例函数.
当k>0时，两支曲线分别位于第一、三象
限内，在每一象限内，y随x的增大而减少；
当k<0时，两支曲线分别位于第二、四象
限内，在每一象限内，y随x的增大而增大.
问题情境
某科技小组进行野外考察，途中遇到一片十几
米的烂泥湿地。为了安全、迅速通过这片湿地，
他们沿着前进的路线铺垫
了若干块木板，构筑成一
条临时通道，从而顺利完
成了任务。你能解释他们
这样做的道理吗？
问题探究
当人和木板对湿地的压力一定时,随着木板面积S(m2)的变化,人和木板对地面的压强P(Pa)将如何变化
如果人和木板对湿地地面的压力合计600N，那么
(1)用含S的代数式表示P，P是S的反比例函数吗 为什么
解:
P是S的反比例函数.
问题探究
(2)当木板面积为0.2m2时，压强是多少
解:当S=0.2m2时，P=
——
=3000(Pa).
600
0.2
(3)如果要求压强不超过6000Pa，木板面积至少要多大
解：当P≤600时，S≥600/6000=0.1(m2)
所以木板面积至少要0.1m2.
问题探究
(4)在直角坐标系，作出相应函数的图象.
注意：只需在第一象限作出函数的图象.因为S>0.
(4)在直角坐标系,作出相应函数的图象.
注意:只需在第一象限作出函数的图象.
因为S>0.
注意单位长度所表示的数值.
0.1
0.2
0.3
0.4
1000
2000
3000
4000
5000
6000
探究新知
问题探究
(5)请利用图象对(2)和(3)作出直观解释,并与同伴交流.
解:问题(2)是已知图象上的某点的横坐标为0.2,求该点的纵坐标;问题(3)是已知图象上点的纵坐标不大于6000,求这些点所处位置及它们横坐标的取值范围.实际上这些点都在直线P=6000下方的图象上.
0.1
0.2
0.3
0.4
1000
2000
3000
4000
5000
6000
1．蓄电池的电压为定值．使用此电源时，电流I(A)与电阻R(Ω)之间的函数关系如下图所示：
巩固练习
(1)蓄电池的电压是多少？你能写出这一函数的表达式吗？
(2)完成下表，并回答问题：如果以此蓄电池为电源的用电器限制电流不得超过10A，那么用电器的可变电阻应控制在什么范围内？
解:因为电流I与电压U之间的关系为IR=U(U为定值),把图象上的点A的坐标(9,4)代入,得U=36.所以蓄电池的电压U=36V.
这一函数的表达式为:
当I≤10A时，解得R≥3.6(Ω).
所以可变电阻应不小于3.6Ω.
做一做
2.(见课本148页)
(1)分别写出这两个函数的表达式;
(2)你能求出点B的坐标吗 你是怎样求的 与同伴交流
做一做
(2)B点的坐标是两个函数组成的方程组的另一个解.
解得
x
=
练一练
某蓄水池的排水管每时排水8m3，6h可将
满池水全部排空.
(1)蓄水池的容积是多少
(2)如果增加排水管,使每时的排水量达到
Q(m3),那么将满池水排空所需的时间t(h)将
如何变化
(3)写出t与Q之间的函数关系式;
练一练
(4)如果准备在5h内将满池水排空，那么每
时的排水量至少为多少？
(5)已知排水管的最大排水量为每时12m3，
那么最少多长时间可将满池水全部排空？
问题1：通过本节课的学习你都有哪些收获？请同学们说出来大家共同分享一下．
问题2：通过今天的学习你还有哪些困惑？
1.近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（m）成反比例（即
,
），已知200度近视眼镜的镜片焦距为0.5m，则y与x之间的函数关系式是
．
0
k
2.某闭合电路中，电源的电压为定值，电流I（A）与电阻R（Ω）成反比例．图表示的是该电路中电流I与电阻R之间函数关系的图象，则用电阻R表示电流I的函数解析式为
.
第2题图
3.如图，正比例函数与反比例函数的图象相交于A、B两点，若点A的坐标为（2，1），则点B的坐标是（
）
A．（1，2）
B．（-2，1）
C．（-1，-2）
D．（-2，-1）
4．已知长方形的面积为20cm2，设该长方形一边长为ycm，另一边的长为xcm，则y与x之间的函数图象大致是（ ）
5．某乡镇要在生活垃圾存放区建一个老年活动中心，这样必须把1200m
的生活垃圾运走．
（1）假如每天能运xm
，所需时间为y天，写出y与x之间的函数关系式；
（2）若每辆拖拉机一天能运12m
，则5辆这样的拖拉机要用多少天才能运完？
（3）在（2）的情况下，运了8天后，剩下的任务要在不超过6天的时间完成，那么至少需要增加多少辆这样的拖拉机才能按时完成任务？
3
3
3
必做题：课本
159页
习题6.4
第1、2题.
选做题：课本
160页
习题6.4
第3题.课题：6.3反比例函数的应用
课型：新授课
年级：九年级
教学目标：
1．经历分析实际问题中变量之间的关系，建立反比例函数模型，进而解决问题的过程；
2．体会数学与现实生活的紧密联系，增强应用意识，提高运用代数方法解决问题的能力．
教学重、难点：
重点：用反比例函数的知识解决实际问题．
难点：如何从实际问题中抽象出数学问题、建立数学模型，用数学知识去解决实际问题．
课前准备：制作多媒体课件．
教学过程：
一、复习回顾、导入新课
活动内容：复习反比例函数的相关知识
问题1：回顾一下什么是反比例函数？其表达式是什么？其图像和性质分别是什么？
问题2：我们学习它们的目的是什么呢？
处理方式：
学生依次回答：
一般地，如果两个变量、之间的关系可以表示成
（为常数，）的形式，那么称是的反比例函数．
其关系式可以表示成
（为常数，），另外，还可以表示为或（）的形式．
反比例函数的图象
（）是由两支曲线组成的．
（1）当>时，函数图象分别位于第一、三象限内，并且在每一个象限内，随的增大而减小．
（2）当<时，函数图象分别位于第二、四象限内，并且在每一象限内，随的增大而增大．
问题2提出之后顺利成章的引出本节课的学习目的，并板书题目§5．3反比例函数的应用．
设计意图：让学生回顾反比例函数的定义、图象、与性质，一方面加深学生对上节课所学知识的理解与记忆，另一方面也为本节课的讲解做铺垫，因为本课将重点研究有关反比例函数的应用，对反比例函数的知识点应用较全面，除此之外还要结合实际问题进行分析综合利用．在学生回答完问题之后，接着教师提出疑问“我们学习它们的目的是什么呢？”自然过渡到本课的课题，也激发了学生学习的兴趣．
二、合作探究，获取新知
活动内容：例题展示
（展示多媒体课件）
例：某校科技小组进行野外考察，途中遇到片十几米宽的烂泥湿地．为了安全、迅速通过这片湿地，他们沿着前进路线铺垫了若干块木板，构筑成一条临时通道，从而顺利完成了任务．你能解释他们这样做的道理吗？当人和木板对湿地的压力一定时随着木板面积S
（m2）的变化，人和木板对地面的压强p
（Pa）将如何变化？如果人和木板对湿地地面的压力合计600N，那么
（1）用含S的代数式表示p，p是S的反比例函数吗？为什么？
（2）当木板画积为0.2m2时．压强是多少？
（3）如果要求压强不超过6000Pa，木板面积至少要多大？
（4）在直角坐标系中，作出相应的函数图象．
（5）清利用图象对（2）和（3）作出直观解释，并与同伴进行交流．
处理方式：教师可以通过小组合作的形式完成，给学生充分的思考、交流、展示的时间.
在（4）中，要启发学生思考：为什么只需在第一象限作函数图象？此外，还要注意单位长度所表示的数值。在（5）中，要留有充分时间让学生交流，领会实际问题的数学意义及反比例函数模型的应用，体会数与形的统一．
学生回答预设：
（1）由得
p是S的反比例函数，因为给定一个S的值．对应的就有唯一的一个值和它对应，根据反函数定义，则是的反比例函数．
（2）当S=0.2m2时，（Pa）．因此，当木板面积为0.2m2时，压强是3000Pa．
（3）当Pa时，（m2）．因此，如果要求压强不超过6000Pa，木板面积至少要0.1m2．
（4）图象如下图所示：
（5）（2）是已知图象上某点的横坐标为，求该点的纵坐标；（3）是已知图象上点的纵坐标不大于，求这些点所处的位置及它们横坐标的取值范围．
教师肯定这些同学回答后提一个问题，大家知道反比例函数的图象是两支双曲线、它们要么位于第一、三象限，要么位于第二、四象限，从（1）中已知＞0，所以图象应位于第一、三象限，为什么这位同学只画出了一支曲线，是不是另一支曲线丢掉了呢？还是因为题中只给出了第一象限呢？
学生思考后回答，第三象限的曲线不存在，因为这是实际问题，不可能取负数，所以第三象限的曲线不存在．
设计意图：先让学生把所学习的有关反比例函数的知识应用到实际问题中，去解决实际问题，让学生体会到与纯函数问题的不同之处及应注意的问题．在处理时要注意对学生的指导，可以先让学生自己思考回答，回答不全面时教师在加以指点，尤其是在画函数图象时，学生可能会把两只曲线全画出来，因此教师应注意引导其注意函数的取值范围即S>0．进而加深学生对实际问题的理解和应用能力．
三、学以致用、能力提升
活动内容：巩固练习
（教师）：请同学们结合我们刚刚讲解的内容，完成以下的题目．（出示多媒体课件）：
1．蓄电池的电压为定值．使用此电源时，电流I（A）与电阻R（Ω）之间的函数关系如下图所示：
（1）蓄电池的电压是多少？你能写出这一函数的表达式吗？
（2）完成下表，并回答问题：如果以此蓄电池为电源的用电器限制电流不得超过10A，那么用电器的可变电阻应控制在什么范围内？
处理方式：
教师问题引导：1.从图形上来看，和之间可能是哪种函数关系．
2.如何求函数关系式？
3.如何去计算表中的数据呢？
学生根据提示问题思考并解答，指定同学到黑板板书，多媒体展示步骤
解：（1）由题意设函数表达式为。
∵（，）在图象上，
∴．
∴表达式为．
答：蓄电池的电压是伏．
（2）要保证电流不超过
A，即I最大为
A，代入关系式中得，为最小电阻，所以用电器的可变电阻应控制在≥3．6这个范围内．
2．如下图，正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点，其中点的坐标为（，）．
（1）分别写出这两个函数的表达式：
（2）你能求出点的坐标吗？你是怎样求的？与同伴进行交流．
处理方式：
教师问题引导：1.
如何求这两个函数关系式？2.
如何去求点的坐标？
学生根据提示问题思考并解答，指定同学到黑板板书，多媒体展示步骤
解：（1）∵既在图象上，又在的图象上．
∴．
∴
∴表达式分别为，．
（2）由
得，
∴∴．
当时，．
∴．
教师讲解解答过程，规范学生答题．学生纠错．
教师提问：在求点的坐标时还有没有其他方法呢？点与点有何关系？
学生思考回答：
点与点关于原点成中心对称，因此，它们的横、纵坐标互为相反数．由于点的坐标为，所以，点的坐标为．
设计意图：通过这两个题目使学生进一步体会反比例函数在实际问题中的应用，培养学生观察问题、分析问题、解决问题的能力．通过对第一题的处理使学生感受有图形给出条件的问题的求解方法；第二个题目是一个综合题，通过对第二题的求解，让学生能够掌握几种函数图形在一起的求解方法，了解综合题的分析思路和解题思路，进而使学生能够掌握综合性较强的函数题．在处理时要留个学生足够的空间和时间去交流讨论，以便使学生能够较好的理解与掌握．
四、课堂小结，纳入系统
问题1：通过本节课的学习你都有哪些收获？请同学们说出来大家共同分享一下．
问题2：通过今天的学习你还有哪些困惑？
设计说明：鼓励学生自己去回答本课所学知识，相互交流学习的方法，互相借鉴，深化对课堂所学知识的理解和把握，为以后的学习奠定基础．同时教师要进一步指出，在实际问题中要注意结合题目的条件，注意与纯函数题的不同点以及题目中的自变量的取值范围．
五、当堂检测，反馈纠正
为了了解我们对本节课所学知识的掌握程度，请同学们独立完成本节课的当堂检测．
1.近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（m）成反比例（即，），已知200度近视眼镜的镜片焦距为0.5m，则y与x之间的函数关系式是
．
2．某闭合电路中，电源的电压为定值，电流I（A）与电阻R（Ω）成反比例．图表示的是该电路中电流I与电阻R之间函数关系的图象，则用电阻R表示电流I的函数解析式为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．如图，正比例函数与反比例函数的图象相交于A、B两点，若点A的坐标为（2，1），则点B的坐标是（ ）
A．
（1，2）
B．（-2，1）C．
（-1，-2）
D．（-2，-1）
4．已知长方形的面积为20cm2，设该长方形一边长为ycm，另一边的长为xcm，则y与x之间的函数图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．某乡镇要在生活垃圾存放区建一个老年活动中心，这样必须把1200m3的生活垃圾运走．
（1）假如每天能运xm3，所需时间为y天，写出y与x之间的函数关系式；
（2）若每辆拖拉机一天能运12m3，则5辆这样的拖拉机要用多少天才能运完？
（3）在（2）的情况下，运了8天后，剩下的任务要在不超过6天的时间完成，那么至少需要增加多少辆这样的拖拉机才能按时完成任务？
处理方式：学生做完后，教师出示答案，指导学生校对，并统计学生答题情况．学生根据答案进行纠错．
设计意图：学以致用，当堂检测及时获知学生对所学知识掌握情况，并最大限度地调动全体学生学习数学的积极性，使每个学生都能有所收益、有所提高，明确哪些学生需要在课后加强辅导，达到全面提高的目的．
六、布置作业，课堂延伸
必做题：课本
159页
习题6.4
第1、2题。
选做题：课本
160页
习题6.4
第3题。
设计意图：作业的设计突出层次性，可更好地调动不同学生的学习热情.满足不同层次学生的需要，另一方面巩固了本课所学的知识，同时也了解了学生对本课知识的掌握情况.以便为下一节课的教学做准备．
板书设计：
§6.3
反比例函数的应用
复习
例题
巩固练习
投影区
学
生
活
动
区
第2题图
第3题图
