1．2.3 三角函数的诱导公式(一)
课时目标
1．借助单位圆及三角函数定义理解三组公式的推导过程.2.运用所学四组公式进行求值、化简与证明．
1．设α为任意角，则π＋α，－α，π－α的终边与α的终边之间的对称关系.
相关角
终边之间的对称关系
π＋α与α
关于________对称
－α与α
关于________对称
π－α与α
关于________对称
2.诱导公式一～四
(1)公式一：sin(α＋2kπ)＝________，
cos(α＋2kπ)＝________，
tan(α＋2kπ)＝________，其中k∈Z.
(2)公式二：sin(－α)＝________，
cos(－α)＝________，
tan(－α)＝________.(3)公式三：sin(π－α)＝________，
cos(π－α)＝________，
tan(π－α)＝________.
(4)公式四：sin(π＋α)＝________，cos(π＋α)＝______，
tan(π＋α)＝________.
一、填空题
1．sin585°的值为________．
2．已知cos(＋θ)＝，则cos(－θ)＝________.
3．若n为整数，则代数式的化简结果是________．
4．三角函数式的化简结果是______.
5．若cos(π＋α)＝－，π<α<2π，则sin(2π＋α)＝________.
6．tan(5π＋α)＝2，则的值为________．
7．记cos(－80°)＝k，那么tan100°＝________.(用k表示)
8．代数式的化简结果是______．
9．设f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)＋2，其中a、b、α、β为非零常数．若f(2011)＝1，则f(2012)＝____.
10．若sin(π－α)＝log8，且α∈，则cos(π＋α)的值为________．
二、解答题
11．若cos(α－π)＝－，求的值．
12．已知sin(α＋β)＝1，求证：tan(2α＋β)＋tanβ＝0.
能力提升
13．化简：(其中k∈Z)．
14．在△ABC中，若sin(2π－A)＝－sin(π－B)，cosA＝－cos(π－B)，求△ABC的三个内角．
1．明确各诱导公式的作用
诱导公式
作用
公式一
将角转化为0～2π求值
公式二
将负角转化为正角求值
中/华-21世纪教育网公式三
将角转化为0～求值
公式四
将0～2π内的角转化为0～π之间的角求值
2.诱导公式的记忆
这组诱导公式的记忆口诀是“函数名不变，符号看象限”．其含义是诱导公式两边的函数名称一致，符号则是将α看成锐角时原角所在象限的三角函数值的符号．α看成锐角，只是公式记忆的方便，实际上α可以是任意角．
1．2.3 三角函数的诱导公式(一)
知识梳理
1．原点 x轴 y轴
2．(1)sinα cosα tanα
(2)－sinα cosα －tanα
(3)sinα －cosα －tanα
(4)－sinα －cosα tanα
作业设计
1．－ 2.－ 3.tanα
4．tanα
解析 原式＝＝
＝＝＝tanα.
5．－
解析 由cos(π＋α)＝－，得cosα＝，
∴sin(2π＋α)＝sinα＝－
＝－
(α为第四象限角)．
6．3
解析 原式＝＝＝＝3.
7．－
解析 ∵cos(－80°)＝k，∴cos80°＝k，
∴sin80°＝.∴tan80°＝.
∴tan100°＝－tan80°＝－.
8．－1
解析 原式＝
＝＝
＝＝＝－1.
9．3
解析 f(2011)＝asin(2011π＋α)＋bcos(2011π＋β)＋2＝asin(π＋α)＋bcos(π＋β)＋2
＝2－(asinα＋bcosβ)＝1，
∴asinα＋bcosβ＝1，
f(2012)＝asin(2012π＋α)＋bcos(2012π＋β)＋2
＝asinα＋bcosβ＋2＝3.
10．－
解析 ∵sin(π－α)＝sinα＝＝－，
∴cos(π＋α)＝－cosα＝－
＝－＝－.
11．解 原式＝
＝
＝
＝－tanα.
∵cos(α－π)＝cos(π－α)＝－cosα＝－，
∴cosα＝.∴α为第一象限角或第四象限角．
当α为第一象限角时，cosα＝，
sinα＝＝，
∴tanα＝＝，∴原式＝－.
当α为第四象限角时，cosα＝，
sinα＝－＝－，
∴tanα＝＝－，∴原式＝.
综上，原式＝±.
12．证明 ∵sin(α＋β)＝1，
∴α＋β＝2kπ＋
(k∈Z)，
∴α＝2kπ＋－β
(k∈Z)．
tan(2α＋β)＋tanβ＝tan＋tanβ
＝tan(4kπ＋π－2β＋β)＋tanβ
＝tan(4kπ＋π－β)＋tanβ
＝tan(π－β)＋tanβ
＝－tanβ＋tanβ＝0，
∴原式成立．
13．解 当k为偶数时，不妨设k＝2n，n∈Z，则
原式＝
＝
＝
＝－1.
当k为奇数时，设k＝2n＋1，n∈Z，则
原式＝
＝
＝＝－1.
∴原式的值为－1.
14．解 由条件得sinA＝sinB，cosA＝cosB，
平方相加得2cos2A＝1，cosA＝±，
又∵A∈(0，π)，∴A＝或π.
当A＝π时，cosB＝－<0，∴B∈，
∴A，B均为钝角，不合题意，舍去．
∴A＝，cosB＝，∴B＝，∴C＝π.1．2.3 三角函数的诱导公式(二)
课时目标
1．借助单位圆及三角函数定义理解公式五、公式六的推导过程.2.运用公式五、公式六进行有关计算与证明．
1．诱导公式五～六
(1)公式五：sin＝________；
cos＝________.
以－α替代公式五中的α，可得公式六．
(2)公式六：sin＝________；
cos＝________.
2．诱导公式五～六的记忆－α，＋α的三角函数值，等于α的________三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的________，记忆口诀为“函数名改变，符号看象限”．
一、填空题
1．已知f(sinx)＝cos3x，则f(cos10°)的值为______．
2．若sin＝，则cos＝________.
3．若sin(3π＋α)＝－，则cos＝________.
4．已知sin＝，则cos的值等于________．
5．若sin(π＋α)＋cos＝－m，则cos＋2sin(2π－α)的值为________．
6．代数式sin2(A＋15°)＋sin2(A－45°)的化简结果是________．
7．已知cos＝，且|φ|＜，则tanφ＝______.
8．已知cos(75°＋α)＝，则sin(α－15°)＋cos(105°－α)的值是________．
9．sin21°＋sin22°＋…＋sin288°＋sin289°＝________.
10．已知tan(3π＋α)＝2，则＝________.
二、解答题
11．求证：＝－tanα.
12．已知sin·cos＝，且<α<，求sinα与cosα的值．
能力提升
13．化简：sin＋cos
(k∈Z)．
14．是否存在角α，β，α∈，β∈(0，π)，使等式
同时成立．若存在，求出α，β的值；若不存在，说明理由．
1．学习了本节知识后，连同前面的诱导公式可以统一概括为“k·±α(k∈Z)”的诱导公式．当k为偶数时，得α的同名函数值；当k为奇数时，得α的异名函数值，然后前面加一个把α看成锐角时原函数值的符号．
2．诱导公式统一成“k·±α(k∈Z)”后，记忆口诀为“奇变偶不变，符号看象限”．
1．2.3 三角函数的诱导公式(二)
知识梳理
1．(1)cosα sinα (2)cosα －sinα
2．异名 符号
作业设计
1．－
解析 f(cos10°)＝f(sin80°)＝cos240°
＝cos(180°＋60°)＝－cos60°＝－.
2．－
解析 cos＝cos
＝－sin＝－.
3．－
解析 ∵sin(3π＋α)＝－sinα＝－，∴sinα＝.
∴cos＝cos＝－cos
＝－sinα＝－.
4．－
解析 cos＝sin
＝sin＝－sin＝－.
5．－
解析 ∵sin(π＋α)＋cos
＝－sinα－sinα＝－m，
∴sin
α＝.cos＋2sin(2π－α)
＝－sin
α－2sin
α＝－3sin
α＝－m.
6．1
解析 原式＝sin2(A＋45°)＋sin2(45°－A)
＝sin2(A＋45°)＋cos2(A＋45°)＝1.
7．－
解析 由cos＝－sin
φ＝，
得sin
φ＝－，
又∵|φ|<，∴φ＝－，∴tan
φ＝－.
8．－
解析 sin(α－15°)＋cos(105°－α)
＝sin[(75°＋α)－90°]＋cos[180°－(75°＋α)]
＝－sin[90°－(75°＋α)]－cos(75°＋α)
＝－cos(75°＋α)－cos(75°＋α)
＝－2cos(75°＋α)＝－.
9.
解析 原式＝(sin21°＋sin289°)＋(sin22°＋sin288°)＋…＋(sin244°＋sin246°)＋sin245°＝44＋＝.
10．2
解析 原式＝＝＝＝2.
11．证明 左边
＝
＝
＝
＝＝－＝－tanα＝右边．
∴原等式成立．
12．解 sin＝－cosα，
cos＝cos＝－sin
α.
∴sin
α·cos
α＝，即2sin
α·cos
α＝.①
又∵sin2α＋cos2α＝1，②
①＋②得(sin
α＋cos
α)2＝，
②－①得(sin
α－cos
α)2＝，
又∵α∈，∴sin
α>cos
α>0，
即sin
α＋cos
α>0，sin
α－cos
α>0，
∴sin
α＋cos
α＝，③
sin
α－cos
α＝，④
③＋④得sin
α＝，③－④得cos
α＝.
13．解 原式＝sin＋cos.
当k为奇数时，设k＝2n＋1
(n∈Z)，则
原式＝sin
＋cos
＝sin＋cos
＝sin＋
＝sin－cos
＝sin－sin＝0；
当k为偶数时，设k＝2n
(n∈Z)，则
原式＝sin＋cos
＝－sin＋cos
＝－sin＋cos
＝－sin＋sin＝0.
综上所述，原式＝0.
14．解 由条件，得
①2＋②2，得sin2α＋3cos2α＝2，③
又因为sin2α＋cos2α＝1，④
由③④得sin2α＝，即sinα＝±，
因为α∈，所以α＝或α＝－.
当α＝时，代入②得cosβ＝，又β∈(0，π)，
所以β＝，代入①可知符合．
当α＝－时，代入②得cosβ＝，又β∈(0，π)，
所以β＝，代入①可知不符合．
综上所述，存在α＝，β＝满足条件．
