高中数学苏教版必修四课时训练：1.2　任意角的三角函数1.2.2

1．2.2　同角三角函数关系
课时目标
1．理解同角三角函数的基本关系式.2.会运用平方关系和商的关系进行化简、求值和证明．
1．同角三角函数的基本关系式
(1)平方关系：________________.
(2)商数关系：________________(α≠kπ＋，k∈Z)
2．同角三角函数基本关系式的变形
(1)sin2α＋cos2α＝1的变形公式：
sin2α＝________；cos2α＝________；
(sinα＋cosα)2＝________________；
(sin
α－cos
α)2＝________________；
(sin
α＋cos
α)2＋(sin
α－cos
α)2＝________；
sin
α·cos
α＝____________＝__________.
(2)tanα＝的变形公式：
sinα＝____________；cosα＝____________.
一、填空题
1．化简sin2α＋cos4α＋sin2αcos2α的结果是________．
2．已知α是第四象限角，tanα＝－，则sinα＝______.
3．若sinα＋sin2α＝1，，则cos2α＋cos4α＝________.
4．若sinα＝，且α是第二象限角，则tanα的值等于________．
5．已知tanα＝－，则的值为________．
6．已知sinα－cosα＝－，则tanα＋的值为________．
7．已知tanθ＝2，则sin2θ＋sinθcosθ－2cos2θ＝______.8．已知sinαcosα＝且<α<，则cosα－sinα＝________.
9．若sinθ＝，cosθ＝，且θ的终边不落在坐标轴上，则tanθ的值为________．
10．若cosα＋2sinα＝－，则tanα＝____.
二、解答题
11．化简：.
12．求证：＝.
能力提升
13．证明：
(1)－＝sinα＋cosα；
(2)(2－cos2α)(2＋tan2α)＝(1＋2tan2α)(2－sin2α)．
14．已知sinθ、cosθ是关于x的方程x2－ax＋a＝0的两个根(a∈R)．
(1)求sin3θ＋cos3θ的值；
(2)求tanθ＋的值．
1．同角三角函数的基本关系式揭示了“同角不同名”的三角函数的运算规律，它的精髓在“同角”二字上，如sin22α＋cos22α＝1，＝tan8α等都成立，理由是式子中的角为“同角”．
2．已知角α的某一种三角函数值，求角α的其余三角函数值时，要注意公式的合理选择．一般是先选用平方关系，再用商数关系．在应用平方关系求sinα或cosα时，其正负号是由角α所在象限来决定，切不可不加分析，凭想象乱写公式．3．在进行三角函数式的求值时，细心观察题目的特征，灵活、恰当的选用公式，统一角、统一函数、降低次数是三角函数关系变形的出发点．
1．2.2　同角三角函数关系
知识梳理
1．(1)sin2α＋cos2α＝1　(2)tan
α＝
2．(1)1－cos2α　1－sin2α　1＋2sin
αcos
α
1－2sin
αcos
α　2　
　cos
αtan
α　
作业设计
1．1　2.－　3.1　4.－
5．－
解析　＝
＝＝＝＝－.
6．－8
解析　tanα＋＝＋＝.
∵sinαcosα＝＝－，
∴tanα＋＝－8.
7.
解析　sin2θ＋sinθcosθ－2cos2θ
＝
＝，
又tanθ＝2，故原式＝＝.
8．－
解析　(cosα－sinα)2＝1－2sinαcosα＝，
∵<α<，∴cosα9.
解析　∵sin2θ＋cos2θ＝2＋2＝1，
∴k2＋6k－7＝0，∴k1＝1或k2＝－7.
当k＝1时，cosθ不符合，舍去．
当k＝－7时，sinθ＝，cosθ＝，tanθ＝.
10．2
解析　方法一　由联立消去cosα后得(－－2sinα)2＋sin2α＝1.
化简得5sin2α＋4sinα＋4＝0
∴(sinα＋2)2＝0，∴sinα＝－.
∴cosα＝－－2sinα＝－.
∴tanα＝＝2.
方法二　∵cosα＋2sinα＝－，
∴cos2α＋4sinαcosα＋4sin2α＝5，
∴＝5，
∴＝5，
∴tan2α－4tanα＋4＝0，
∴(tanα－2)2＝0，∴tanα＝2.
11．解　原式＝
＝
＝
＝
＝
＝＝＝.
12．证明　左边＝
＝
＝＝＝右边．
∴原等式成立．
13．证明　(1)左边＝－
＝－
＝－
＝－
＝
＝sinα＋cosα＝右边．
∴原式成立．
(2)∵左边＝4＋2tan2α－2cos2α－sin2α
＝2＋2tan2α＋2sin2α－sin2α
＝2＋2tan2α＋sin2α，
右边＝(1＋2tan2α)(1＋cos2α)
＝1＋2tan2α＋cos2α＋2sin2α＝2＋2tan2α＋sin2α
∴左边＝右边，∴原式成立．
14．解　(1)由韦达定理知：sinθ＋cosθ＝a，sinθ·cosθ＝a.
∵(sinθ＋cosθ)2＝1＋2sinθcosθ，∴a2＝1＋2a.
解得：a＝1－或a＝1＋
∵sinθ≤1，cosθ≤1，
∴sinθcosθ≤1，即a≤1，
∴a＝1＋舍去．
∴sin3θ＋cos3θ＝(sinθ＋cosθ)(sin2θ－sinθcosθ＋cos2θ)
＝(sinθ＋cosθ)(1－sinθcosθ)
＝a(1－a)＝－2.
(2)tanθ＋＝＋＝
＝＝＝＝－1－.