1.3.2 三角函数的图象与性质(三)
课时目标
1．了解正切函数图象的画法，理解掌握正切函数的性质.2.能利用正切函数的图象及性质解决有关问题．
函数y＝tanx的性质与图象见下表：
y＝tanx
图象
21世纪教育网定义域
值域
周期
最小正周期为________
21世纪教育网奇偶性
单调性
在开区间________________________内递增
一、填空题
1．函数y＝的定义域是________．
2．函数y＝tan(＋)的单调增区间为________．
3．下列函数中，在上单调递增，且以π为周期的偶函数是________．(填相应函数的序号)
①y＝tan|x|;
②y＝|tanx|；
③y＝|sin2x|;
④y＝cos2x.
4．函数f(x)＝sinx＋tanx，x∈[－，]的值域为________．
5．函数f(x)＝tanωx
(ω>0)的图象的相邻两支截直线y＝所得线段长为，则f的值为__________．
6．不等式tan≥－1的解集是____________．
7．函数y＝3tan的对称中心的坐标是_________________________________．
8．已知a＝tan1，b＝tan2，c＝tan3，则a，b，c按从小到大的排列是________．
9．已知函数y＝tanωx在内是减函数，则ω的取值范围是________．
10．函数y＝tanx＋sinx－|tanx－sinx|在区间内的图象是________．(只填相应序号)
二、解答题
11．判断函数f(x)＝lg的奇偶性．
12．作出函数y＝tan|x|的图象，根据图象判断其周期性，并求出单调区间．
能力提升
13．已知函数y＝tanx在区间(－π，π)上递增，求a的取值范围．
14．作出函数y＝(tanx＋|tanx|)的图象，并写出单调增区间．
1．正切函数y＝tanx在每段区间
(k∈Z)上是单调递增函数，但不能说正切函数在其定义域内是单调递增函数．并且每个单调区间均为开区间，而不能写成闭区间
(k∈Z)．正切函数无单调减区间．
2．正切函数是奇函数，图象关于原点对称，且有无穷多个对称中心，对称中心坐标是(，0)
(k∈Z)．正切函数的图象无对称轴，但图象以直线x＝kπ＋
(k∈Z)为渐近线．
1．3.2 三角函数的图象与性质(三)
知识梳理
{x|x∈R，且x≠kπ＋，k∈Z} R π 奇函数
(k∈Z)
作业设计
1．[kπ＋，kπ＋)，k∈Z.
2．(2kπ－，2kπ＋)(k∈Z)
解析 由kπ－<＋
2kπ－3．②
4．[－，]
解析 易知f(x)＝sinx＋tanx在x∈[－，]上为递增函数．
∴f()≤f(x)≤f()．
即f(x)∈[－，]
5．0
解析 由题意，T＝＝，∴ω＝4.
∴f(x)＝tan4x，f＝tanπ＝0.
6.
(k∈Z)
解析 由kπ－≤2x－解得≤x<＋π，k∈Z.
7.
(k∈Z)
解析 由x＋＝
(k∈Z)，
得x＝－
(k∈Z)．
∴对称中心坐标为
(k∈Z)．
8．b解析 ∵tan2＝tan(2－π)，tan3＝tan(3－π)，
又∵<2<π，∴－<2－π<0，
∵<3<π，∴－<3－π<0，
显然－<2－π<3－π<1<，
且y＝tanx在内是增函数，
∴tan(2－π)1，
即tan
231.
9．[－1,0)
解析 若ω≥0，与y＝tanωx在内递减矛盾．
∴ω<0.
由－<ωx<(ω<0)解得
由题意知：≤，∴|ω|≤1.
∵ω<0，∴－1≤ω<0.
10．④
解析 当当x＝π时，y＝0；当πtan
x>sin
x，y＝2sin
x．故填④.
11．解 由>0，得tan
x>1或tan
x<－1.
∴函数定义域为
∪(k∈Z)
关于原点对称．
f(－x)＋f(x)＝lg＋lg
＝lg＝lg1＝0.
∴f(－x)＝－f(x)，
∴f(x)是奇函数．
12．解 y＝tan|x|＝
根据y＝tanx的图象，可作出y＝tan|x|的图象(如图所示)．
由图可知，函数y＝tan|x|不是周期函数，它是单调减区间为(－，0]，(kπ－，kπ－)，k＝0，－1，－2，…；单调增区间为[0，)，(kπ＋，kπ＋)，k＝0,1,2，….
13．解 由π>－π，得a>0.
故知(－π，π) (－，)，得
故014．解 y＝(tanx＋|tanx|)
＝
图象如图所示，单调增区间为[kπ，kπ＋)，k∈Z.1.3.2 三角函数的图象与性质(二)
课时目标
1．能准确迅速绘出正弦曲线和余弦曲线，并会利用图象研究函数的有关性质．
2．掌握y＝sinx与y＝cosx的周期、最值、单调性、奇偶性等性质，并能解决相关问题．
正弦函数、余弦函数的性质：
函数
y＝sinx
y＝cosx
图象
定义域
值域
奇偶性
周期性
最小正周期：________
最小正周期：______
单调性
在________________________________上单调递增；在___________________________________上单调递减
在____________________________上单调递增；在____________________________上单调递减
最值
在______________________时，ymax＝1；在________________________时，ymin＝－1
在_______________________时，
ymax＝1；在________时，ymin＝－1
一、填空题
1．函数y＝sinx和y＝cosx都递增的区间是________．
2．函数y＝sinx－|sinx|的值域为________．
3．函数f(x)＝|sinx|的单调递增区间是__________．
4．函数y＝sin2x＋sinx－1的值域是________．
5．sin1，sin2，sin3按从小到大排列的顺序为__________________．
6．函数y＝的值域是________．
7．sin与sin的大小关系是______．
8．已知sinα>sinβ，α∈，β∈，则α＋β与π的大小关系是________．
9．欲使函数y＝Asinωx(A>0，ω>0)在闭区间[0,1]上至少出现50个最小值，则ω的最小值是________．
10．已知奇函数f(x)在[－1,0]上为单调递减函数，又α、β为锐角三角形两内角，则下列结论正确的序号是________．
①f(cosα)>f(cosβ);
②f(sinα)>f(sinβ)；
③f(sinα)>f(cosβ);
④f(sinα)二、解答题
11．判断函数f(x)＝ln(sinx＋)的奇偶性．
12．已知函数f(x)＝2asin＋b的定义域为，最大值为1，最小值为－5，求a和b的值．
能力提升
13．已知函数f(x)＝2sinωx(ω>0)在区间上的最小值是－2，则ω的最小值等于________．
14．设01．判断函数的奇偶性应坚持“定义域优先”原则，即先求定义域，看它是否关于原点对称．2．比较三角函数值的大小，先利用诱导公式把问题转化为同一单调区间上的同名三角函数值的大小比较，再利用单调性作出判断．
3．求三角函数值域或最值的常用求法
将y表示成以sinx(或cosx)为元的一次或二次等复合函数再利用换元或配方、或利用函数的单调性等来确定y的范围．
1．3.2 三角函数的图象与性质(二)
知识梳理
R R [－1,1] [－1,1] 奇函数 偶函数 2π 2π [－＋2kπ，＋2kπ](k∈Z) [＋2kπ，＋2kπ]
(k∈Z) [－π＋2kπ，2kπ]
(k∈Z) [2kπ，π＋2kπ]
(k∈Z) x＝＋2kπ
(k∈Z) x＝－＋2kπ
(k∈Z) x＝2kπ
(k∈Z) x＝π＋2kπ
(k∈Z)
作业设计
1．[2kπ－，2kπ]，k∈Z
2．[－2,0]
解析 y＝sinx－|sinx|＝
∴y∈[－2,0]．
3.，k∈Z
解析 f(x)＝|sinx|的周期T＝π，且f(x)在区间[0，]上单调递增，∴f(x)的单调增区间为[kπ，kπ＋]，k∈Z.
4.
解析 y＝sin2x＋sinx－1＝(sinx＋)2－，
当sinx＝－时，ymin＝－；
当sinx＝1时，ymax＝1.
5．sin
312
解析 ∵1<<2<3<π，
sin(π－2)＝sin
2，sin(π－3)＝sin
3.
y＝sin
x在上递增，且0<π－3<1<π－2<，
∴sin(π－3)1即sin
312.
6．[0,2]
解析 ∵2cos2x＋5sin
x－1
＝－2sin2x＋5sin
x＋1
＝－2(sin
x－)2＋.
∵－1≤sin
x≤1，∴2cos2x＋5sin
x－1∈[－6,4]．
∵2cos2x＋5sin
x－1≥0，∴y∈[0,2]．
7．sin>sin
解析 ∵cosπ＝sin，
∴0而y＝sinx在[0,1]上单调递增．
∴sin>sin.
8．α＋β>π
解析 ∵β∈，
∴π－β∈，且sin(π－β)＝sin
β.
∵y＝sinx在x∈上单调递增，
∴sinα>sinβ sinα>sin(π－β)
α>π－β α＋β>π.
9.π
解析 要使y在闭区间[0,1]上至少出现50个最小值，
则y在[0,1]上至少含49个周期，
即，解得ω≥π.
10．④
解析 ∵α＋β>，∴>α>－β>0，
∴sinα>sin，即sinα>cosβ.
∴－1<－sinα<－cosβ<0，
∵f(x)在[－1,0]上单调递减，
∴f(－sinα)>f(－cosβ)，
∴－f(sinα)>－f(cosβ)，∴f(sinα)11．解 ∵sinx＋≥sinx＋1≥0，
若两处等号同时取到，则sinx＝0且sinx＝－1矛盾，
∴对x∈R都有sinx＋>0.
∵f(－x)＝ln(－sinx＋)
＝ln(－sinx)
＝ln(＋sinx)－1
＝－ln(sinx＋)＝－f(x)，
∴f(x)为奇函数．
12．解 ∵0≤x≤，∴－≤2x－≤π，
∴－≤sin≤1，易知a≠0.
当a>0时，f(x)max＝2a＋b＝1，
f(x)min＝－a＋b＝－5.
由，解得.
当a<0时，f(x)max＝－a＋b＝1，
f(x)min＝2a＋b＝－5.
由，解得.
13.
解析 要使函数f(x)＝2sinωx
(ω>0)在区间[－，]上的最小值是－2，则应有≤或T≤，即≤或≤π，解得ω≥或ω≥6.
∴ω的最小值为.
14．解 f(x)＝－sin2x－asinx＋b＋1
＝－(sinx＋)2＋b＋1＋，
∵0当sinx＝－，f(x)max＝b＋1＋，
当sinx＝1时，f(x)min＝b－a.
故由题意知，
∴