1．3.3 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象(一)
课时目标
1．了解φ、ω、A对函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响.2.掌握y＝sinx与f(x)＝Asin(ωx＋φ)图象间的变换关系．
用“图象变换法”作y＝Asin(ωx＋φ)
(A>0，ω>0)的图象
1．φ对y＝sin(x＋φ)，x∈R的图象的影响
y＝sin(x＋φ)
(φ≠0)的图象可以看作是把正弦曲线y＝sinx上所有的点________(当φ>0时)或________(当φ<0时)平行移动________个单位长度而得到．
2．ω(ω>0)对y＝sin(ωx＋φ)的图象的影响
函数y＝sin(ωx＋φ)的图象，可以看作是把y＝sin(x＋φ)的图象上所有点的横坐标________(当ω>1时)或________(当0<ω<1时)到原来的________倍(纵坐标________)而得到．
3．A(A>0)对y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响
函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象，可以看作是把y＝sin(ωx＋φ)图象上所有点的纵坐标________(当A>1时)或________(当0
4．函数y＝sinx的图象到函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的变换过程．
一、填空题
1．要得到y＝sin的图象，只要将函数y＝sin的图象向左平移________个单位．
2．将函数y＝sin的图象向左平移个单位，所得函数的解析式为____________．
3．为得到函数y＝cosx的图象，可以把y＝sinx的图象向右平移φ个单位得到，那么φ的最小正值是__________．
4．函数y＝sin在区间上的简图是________．(填正确图象的代码)
5．为得到函数y＝cos的图象，只需将函数y＝sinx的图象________．
①向左平移个单位长度；
②向右平移个单位长度；
③向左平移个单位长度；
④向右平移个单位长度．
6．将函数y＝sinx的图象上所有的点向右平行移动个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是_______________________．
7．把函数y＝sinx
21世纪教育网(x∈R)的图象上所有的点向左平行移动个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，得到的图象所表示的函数的解析式是________．
8．把函数y＝3sin(ωx＋φ)
(ω>0，|φ|≤π)的图象向左平移个单位，再将图象的所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的解析式为y＝3sinx，则ω＝________，φ＝________.
9．某同学给出了以下论断：
①将y＝cosx的图象向右平移个单位，得到y＝sinx的图象；
②将y＝sinx的图象向右平移2个单位，可得到y＝sin(x＋2)的图象；
③将y＝sin(－x)的图象向左平移2个单位，得到y＝sin(－x－2)的图象；
④函数y＝sin的图象是由y＝sin2x的图象向左平移个单位而得到的．
其中正确的结论是______(将所有正确结论的序号都填上)．
10．设ω>0，函数y＝sin＋2的图象向右平移π个单位后与原图象重合，则ω的最小值是__________．
二、解答题
11．请叙述函数y＝cosx的图象与y＝－2cos＋2的图象间的变换关系．
12．已知函数f(x)＝sin
(x∈R).
(1)求f(x)的单调减区间；
(2)经过怎样的图象变换使f(x)的图象关于y轴对称？(仅叙述一种方案即可)．
能力提升
13．要得到y＝cos的图象，只要将y＝sin2x的图象________．
①向左平移个单位；
②向右平移个单位；
③向左平移个单位；
④向右平移个单位．
14．使函数y＝f(x)图象上每一点的纵坐标保持不变，横坐标缩小到原来的倍，然后再将其图象沿x轴向左平移个单位得到的曲线与y＝sin2x的图象相同，则f(x)的表达式为____________________.
1．由y＝sinx的图象，通过变换可得到函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象，其变化途径有两条：
(1)y＝sinxy＝sin(x＋φ)y＝sin(ωx＋φ)y＝Asin(ωx＋φ)．
(2)y＝sinxy＝sinωxy＝sin[ω(x＋)]＝sin(ωx＋φ)y＝Asin(ωx＋φ)．
注意：两种途径的变换顺序不同，其中变换的量也有所不同：(1)是先相位变换后周期变换，平移|φ|个单位．(2)是先周期变换后相位变换，平移个单位，这是很容易出错的地方，应特别注意．
2．类似地y＝Acos(ωx＋φ)
(A>0，ω>0)的图象也可由y＝cosx的图象变换得到．
1．3.3 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象(一)
知识梳理
1．向左 向右 |φ|
2．缩短 伸长 不变
3．伸长 缩短 A [－A，A] A －A
4．y＝sin(x＋φ) y＝sin(ωx＋φ) y＝Asin(ωx＋φ)
作业设计
1.π 2.y＝cos2x
3.π
解析 y＝sinx＝cos＝cos向右平移φ个单位后得y＝cos，
∴φ＋＝2kπ，k∈Z，
∴φ＝2kπ－，k∈Z.
∴φ的最小正值是π.
4．①
解析 由各图象特点，知可选用－和这两个特殊值来断定．
当x＝－时，y＝sin＝；
当x＝时，y＝sin0＝0.
符合这两个特点的只有①.
5．③
解析 ∵y＝sinx＝cos，
又x－＋＝＋x，
∴只需将y＝sinx的图象向左平移个单位长度，便可得到y＝cos的图象．
6．y＝sin
解析
y＝sin
y＝sin.
7．y＝sin
解析 将y＝sinx图象上的所有的点向左平移个单位长度得到y＝sin.再将图象上所有点的横坐标缩短到原来的，得y＝sin.
8．2 －
解析
y＝3sin2＝3sin，
∴ω＝2，φ＝－.
9．①③
10.
解析 向右平移π得
y＝sin＋2
＝sin＋2.
因为与原函数图象相同，故－ω＝2nπ(n∈Z)，
∴ω＝－n(n∈Z)，∵ω>0，∴ωmin＝.
11．解 ∵y＝－2cos＋2
＝2cos＋2
＝2cos2＋2
先将y＝cosx的图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，则得到y＝cos2x的图象．
再将y＝cos2x的图象向左平移个单位，
则得到y＝cos，即y＝cos的图象，再将y＝cos的图象上各点的纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变，即得函数y＝2cos的图象．
最后，沿y轴向上平移2个单位所得图象即是
y＝2cos＋2的图象．
即得到函数y＝－2cos＋2的图象．
12．解 (1)由已知函数化为y＝－sin.欲求函数的单调递减区间，只需求y＝sin的单调递增区间．
由2kπ－≤2x－≤2kπ＋
(k∈Z)，
解得kπ－≤x≤kπ＋π
(k∈Z)，
∴原函数的单调减区间为
(k∈Z)．
(2)f(x)＝sin＝cos
＝cos＝cos2.
∵y＝cos2x是偶函数，图象关于y轴对称，
∴只需把y＝f(x)的图象向右平移个单位即可．
13．①
解析 y＝sin2x＝cos＝cos
＝cos＝cos
y＝cos[2(x－＋)－]＝cos(2x－)．
14．y＝sin
解析 方法一 正向变换
y＝f(x)
y＝f，
即y＝f，
所以f＝sin2x.
令2x＋＝t，则2x＝t－，
∴f(t)＝sin，即f(x)＝sin.
方法二 逆向变换
据题意，
y＝sin2＝sin
y＝sin.1．3.3 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象(二)
课时目标
1．会用“五点法”画函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象.2.明确函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A、ω、φ为常数，A>0，ω>0)中常数A、ω、φ的物理意义．理解振幅、频率、相位、初相的概念.3.了解函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)图象的对称性(如对称轴，对称中心)．
1．简谐振动
简谐振动y＝Asin(ωx＋φ)中，________叫做振幅，周期T＝________，频率f＝________，相位是________，初相是________．
2．函数y＝Asin(ωx＋φ)
(A>0，ω>0)的性质如下：
定义域
R
值域
周期性
T＝____________
奇偶性
φ＝____________时是奇函数；__________时是偶函数；当φ≠(k∈Z)时是__________函数
单调性
单调增区间可由______________________得到，单调减区间可由________________________得到
一、填空题1．若函数y＝Asin(ωx＋φ)
(A>0，ω>0)为偶函数，则φ满足的条件是________．
2．函数y＝－3sin
(x≥0)的初相是______．
3．函数y＝sin与y轴最近的对称轴方程是__________．
4.
函数y＝sin(ωx＋φ)
(x∈R，ω>0，0≤φ<2π)的部分图象如图所示，则该函数的解析式为______________．
5．把函数y＝cos的图象向右平移φ(φ>0)个单位，正好关于y轴对称，则φ的最小值为__________．
6．已知函数y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<)的部分图象如图所示，则ω＝________，φ＝________.
7．函数y＝sin2x21世纪教育网的图象向右平移φ个单位(φ>0)得到的图象恰好关于x＝对称，则φ的最小值为______．
8．如
图是函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)在区间[－，]上的图象．为了得到这个函数的图象，只要将y＝sinx(x∈R)的图象上所有的点向____平移______个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的______倍，纵坐标不变．
9．设函数f(x)＝2sin，若对于任意x∈R，都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立，则|x1－x2|的最小值为____．
10．关于f(x)＝4sin
(x∈R)，有下列命题
①由f(x1)＝f(x2)＝0可得x1－x2是π的整数倍；
②y＝f(x)的表达式可改写成y＝4cos；
③y＝f(x)图像关于对称；
④y＝f(x)图像关于x＝－对称．
其中正确命题的序号为________(将你认为正确的都填上)．
二、解答题
11．如图为函数y1＝Asin(ωx＋φ)
(A>0，ω>0，|φ|<)的一个周期的图象．
(1)写出y1的解析式；
(2)若y2与y1的图象关于直线x＝2对称，写出y2的解析式；
(3)指出y2的周期、频率、振幅、初相．
12．已知曲线y＝Asin(ωx＋φ)
(A>0，ω>0)上的一个最高点的坐标为，此点到相邻最低点间的曲线与x轴交于点，若φ∈.
(1)试求这条曲线的函数表达式；
(2)用“五点法”画出(1)中函数在[0，π]上的图象．
能力提升
13．如果函数y＝sin2x＋acos2x的图象关于直线x＝－对称，那么a＝________.
14．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)
(ω>0,0≤φ≤π)是R上的偶函数，其图象关于点M对称，且在区间上是单调函数，求φ和ω的值．
1．由函数y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象确定解析式关键在于确定参数A，ω，φ的值．
(1)一般可由图象上的最大值、最小值来确定|A|.
(2)因为T＝，所以往往通过求周期T来确定ω，可通过已知曲线与x轴的交点从而确定T，即相邻的最高点与最低点之间的距离为；相邻的两个最高点(或最低点)之间的距离为T.
(3)从寻找“五点法”中的第一零点(也叫初始点)作为突破口．以y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)为例，位于单调递增区间上离y轴最近的那个零点最适合作为“五点”中的第一个点．
2．在研究y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的性质时，注意采用整体代换的思想．如，它在ωx＋φ＝＋2kπ(k∈Z)时取得最大值，在ωx＋φ＝＋2kπ(k∈Z)时取得最小值．
1．3.3 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象(二)
知识梳理
1．A ωx＋φ φ
2．[－A，A] kπ
(k∈Z) φ＝＋kπ
(k∈Z) 非奇非偶 2kπ－≤ωx＋φ≤2kπ＋
(k∈Z) 2kπ＋≤ωx＋φ≤2kπ＋(k∈Z)
作业设计1．φ＝＋kπ
(k∈Z)
2．－
解析 由诱导公式可知y＝－3sin
＝3sin，故初相为－.
3．x＝－
解析 令2x－＝kπ＋(k∈Z)，
∴x＝＋(k∈Z)．
由k＝0，得x＝；
由k＝－1，得x＝－.
4．y＝sin
解析 由，解得.
5.
解析 函数向右平移φ个单位得y＝cos＝cos，关于y轴对称．∴π－φ＝kπ，k∈Z.φ＝π－kπ，k∈Z，
∴k＝1时，φmin＝.
6．2 －
解析 由图象知＝－＝，
∴T＝π，ω＝2.
且2×＋φ＝kπ＋π(k∈Z)，φ＝kπ－(k∈Z)．
又|φ|<，∴φ＝－.
7.
解析 y＝sin2x向右平移φ个单位得
f(x)＝sin2(x－φ)＝sin(2x－2φ)．
由f＝sin＝±1，
∴－2φ＝kπ＋(k∈Z)，
∴2φ＝－kπ－，令k＝－1，得2φ＝π，
∴φ＝π或作出y＝sin2x的图象观察易知
φ＝－＝π.
8．左
解析 由图象可知A＝1，T＝－(－)＝π，
∴ω＝＝2.
∵图象过点(，0)，∴sin(＋φ)＝0，
∴＋φ＝π＋2kπ，k∈Z，
∴φ＝＋2kπ，k∈Z.
∴y＝sin(2x＋＋2kπ)＝sin(2x＋)．
故将函数y＝sinx先向左平移个单位长度后，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，可得原函数的图象．
9．2
解析 ∵对任意x∈R，f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立．
∴f(x1)＝f(x)min＝－2，f(x2)＝f(x)max＝2.
∴|x1－x2|min＝＝×＝2.
10．②③
解析 对于①，由f(x)＝0，可得2x＋＝kπ
(k∈Z)．
∴x＝π－，∴x1－x2是的整数倍，∴①错；
对于②，f(x)＝4sin利用公式得：
f(x)＝4cos＝4cos.
∴②对；
对于③，f(x)＝4sin的对称中心满足2x＋＝kπ，∴x＝π－，∴是函数y＝f(x)的一个对称中心．∴③对；
对于④，函数y＝f(x)的对称轴满足2x＋＝＋kπ，
∴x＝＋.∴④错．
11．解 (1)由图知，A＝2，T＝7－(－1)＝8，
ω＝＝＝.∴y1＝2sin.
将点(－1,0)代入得0＝2sin.
∴φ＝.∴y1＝2sin.
(2)设P(x，y)为函数y2图象上任意一点，则P(x，y)关于直线x＝2的对称点P′为(4－x，y)．
∵y1与y2关于直线x＝2对称．
∴点P′(4－x，y)落在y1＝2sin上．
∴y＝2sin＝2sin，
即y2＝2sin.
(3)由(2)知y2＝2sin.
∴周期T＝＝8；频率f＝＝；
振幅A＝2；初相φ＝－.
12．解 (1)由题意知A＝，T＝4×＝π，
ω＝＝2，∴y＝sin(2x＋φ)．
又∵sin＝1，∴＋φ＝2kπ＋，k∈Z，
∴φ＝2kπ＋，k∈Z，
又∵φ∈，∴φ＝.
∴y＝sin
(2)列出x、y的对应值表：
x
－
π
π
π
2x＋
0
π
π
2π
y
0
0
－
0
描点，连线，如图所示：
13．－1
解析 方法一 ∵函数y＝sin2x＋acos2x的图象关于x＝－对称，
设f(x)＝sin2x＋acos2x，则f＝f(0)，
∴sin＋acos＝sin0＋acos0.
∴a＝－1.
方法二 由题意得f＝f，
令x＝，有f＝f(0)，即－1＝a.
14．解 ∵f(x)在R上是偶函数，
∴当x＝0时，f(x)取得最大值或最小值．
即sinφ＝±1，得φ＝kπ＋，k∈Z，
又0≤φ≤π，∴φ＝.
由图象关于M对称可知，
sin＝0，解得ω＝k－，k∈Z.
又f(x)在上单调函数，所以T≥π，即≥π，
∴ω≤2，又ω>0，
∴当k＝1时，ω＝；当k＝2时，ω＝2.