高中数学苏教版必修四课时训练：1.3　三角函数的图象和性质1.3.1

§1.3　三角函数的图象和性质
1．3.1　三角函数的周期性
课时目标
1．了解周期函数，函数的周期、最小正周期.2.掌握形如y＝Asin(ωx＋φ)，y＝Acos(ωx＋φ)(A≠0)的函数周期计算方法T＝.3.会用函数的周期性解决简单实际问题．
1．周期函数的概念
一般地，对于函数f(x)，如果存在一个非零的常数T，使得定义域内的每一个x值，都满足f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做________________，非零常数T叫做这个函数的________．
2．最小正周期的概念
对于一个周期函数f(x)，如果在它所有的周期中存在一个________________，那么这个________________就叫做f(x)的最小正周期．
3．y＝Asin(ωx＋φ)，y＝Acos(ωx＋φ)的周期
一般地，函数y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)(其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω＞0)的周期T＝______.
一、填空题
1．函数y＝3sin(2x＋)的最小正周期是________．
2．函数f(x)＝cos的最小正周期为，其中ω<0，则ω＝________.
3．已知函数f(x)＝6cos的最小正周期为，则ω＝________.
4．函数y＝sin3x＋sinx·cos2x的最小正周期是____．
5．若函数f(x)＝2tan的最小正周期T满足16．已知函数f(x)＝8sin－2的最小正周期不大于3，则正整数k的最小值是________．
7．函数y＝2sin－cos＋7的最小正周期是________．
8．若函数f(x)＝2cos的最小正周期为T，且T∈(1,3)，则正整数ω的最大值是________．
9．已知周期函数f(x)是奇函数，6是f(x)的一个周期，且f(－1)＝1，则f(－5)＝________.
10．定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期是π，且当x∈时，f(x)＝sinx，则f的值为________．
二、解答题
11．求函数y＝3sin的周期．
12．设f(x)是定义在R上且最小正周期为π的函数，在某一周期上
f(x)＝，求f(－)的值．
能力提升
13．若函数f(n)＝sin(n∈Z)，求f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2011)的值．
14．证明：是函数f(x)＝|sinx|＋|cosx|(x∈R)的最小正周期．
1．“f(x＋T)＝f(x)”是定义域内的恒等式，即对定义域内的每一个值都成立，T是非零常数，周期T是使函数值重复出现的自变量x的增加值．应强调的是自变量x本身加的常数才是周期，如f(2x＋T)＝f(2x)，T不是周期，而应写成f(2x＋T)＝f＝f(2x)，则是f(x)的周期．
2．周期函数的周期不止一个，若T是周期，则kT(k∈N
)一定也是周期．
并不是所有周期函数都存在最小正周期，例如，常数函数f(x)＝C(C为常数)，x∈R，当x为定义域内的任何值时，函数值都是C，即对于函数f(x)的定义域内的每一个值x，都有f(x＋T)＝C，因此f(x)是周期函数，由于T可以是任意不为零的常数，而正数集合中没有最小者，所以f(x)没有最小正周期．
3．一般地，函数y＝Asin(ωx＋φ)，x∈R及函数y＝Acos(ωx＋φ)，x∈R(其中A、ω、φ为常数，且A≠0，ω>0)的周期为T＝.
§1.3　三角函数的图象和性质
1．3.1　三角函数的周期性
知识梳理
1．周期函数　周期
2．最小的正数　最小的正数　3.
作业设计
1．π
2．－10
解析　本小题考查三角函数的周期公式．
T＝＝ |ω|＝10.
∵ω<0，∴ω＝－10.
3．±3π
解析　T＝＝，∴ω＝±3π.
4．2π
解析　y＝sin3x＋sinx·cos2x
＝sinx(sin2x＋cos2x)＝sinx，周期T＝2π.
5．2或3
解析　T＝，1<<2，<|k|<π，而k∈N k＝2或3.
6．7
解析　由已知≤3，∴|k|≥2π，而k>0，
∴k≥2π，正整数k的最小值是7.
7．4π
解析　y＝2sin－cos＋7
＝2cos－cos＋7
＝cos＋7，
∴T＝＝4π.
8．6
解析　由已知T＝，
∴1<<3，而ω>0，
∴<ω<2π.又ω∈N
，
∴ω＝3,4,5,6，
∴ω的最大值为6.
9．－1
解析　f(－5)＝f(－5＋6)＝f(1)
＝－f(－1)＝－1.
10.
解析　由已知得：f＝f＝f
＝f＝sin＝.
11．解　直接代入公式T＝＝＝.
12．解　∵f(x)的周期为，
∴f(－)＝f(－＋3×)＝f(π)．
∵π>π>0，∴f(π)＝sinπ＝sin＝，
即f(－)＝.
13．解　f(n)＝sin＝sin(2π＋)＝sin，
f(n＋6)＝sin，
∴f(n)＝f(n＋6)．即6是f(n)的一个周期．
又f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)
＝sin＋sinπ＋sinπ＋sinπ＋sinπ＋sin2π
＝0，
且2011＝6×335＋1，
∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2011)
＝[f(1)＋f(2)＋…＋f(2
010)]＋f(2011)
＝f(2011)＝f(1)
＝sin＝.
14．证明　先证明是函数f(x)＝|sinx|＋|cosx|(x∈R)的一个周期．
∵f＝＋
＝|cosx|＋|－sinx|＝|sinx|＋|cosx|＝f(x)，
∴是函数f(x)的一个周期．
假设不是函数f(x)＝|sinx|＋|cosx|(x∈R)的最小正周期，T是函数f(x)＝|sinx|＋|cosx|的最小正周期，0则|sin(x＋T)|＋|cos(x＋T)|＝|sinx|＋|cosx|，x∈R恒成立．
令x＝0，则|sinT|＋|cosT|
＝|sin0|＋|cos0|＝1.
∵0∴sinT＋cosT＝1.
另一方面，∵0∴sinT＋cosT>sin2T＋cos2T＝1，矛盾．
所以T不是函数f(x)＝|sinx|＋|cosx|的周期．
故函数f(x)＝|sinx|＋|cosx|的最小正周期是.