高中数学苏教版必修四课时训练：1.3　三角函数的图象和性质1.3.4

1．3.4　三角函数的应用
课时目标
1．会解三角形和利用三角形建立数学模型，解决实际问题．
2．会用三角函数解决一些简单的实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型．
1．三角函数的周期性
y＝Asin(ωx＋φ)
(ω≠0)的周期是T＝________；
y＝Acos(ωx＋φ)
(ω≠0)的周期是T＝________；
y＝Atan(ωx＋φ)
(ω≠0)的周期是T＝________.
2．函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k
(A>0，ω>0)的性质
(1)ymax＝________，ymin＝________
(2)A＝________________，k＝________________.
(3)ω可由________________确定，其中周期T可观察图象获得．
(4)由ωx1＋φ＝________，ωx2＋φ＝________，ωx3＋φ＝________，ωx4＋φ＝________，ωx5＋φ＝________中的一个确定φ的值．
3．三角函数模型的应用
三角函数作为描述现实世界中________现象的一种数学模型，可以用来研究很多问题，在刻画周期变化规律、预测其未来等方面都发挥着十分重要的作用．
一、填空题
1.
如图所示，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O的距离scm和时间ts的函数关系式为s＝6sin，那么单摆来回摆动一次所需的时间为________s.
2．据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上，按月呈f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋b的模型波动(x为月份)，已知3月份达到最高价9千元，7月份价格最低为5千元，根据以上条件可确定f(x)＝______.
3．函数y＝2sin的最小正周期在内，则正整数m的值是________．
4．设某人的血压满足函数式p(t)＝115＋25sin(160πt)，其中p(t)为血压(mmHg)，t为时间(min)，则此人每分钟心跳的次数是________．
5．一根长lcm的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时离开平衡位置的位移s(cm)与时间t(s)的函数关系式时s＝3cos，其中g是重力加速度，当小球摆动的周期是1s时，线长l等于______．
6．如图是一个示波器显示的由简易发电机产生的交流电的电压的变化，则电压V关于时间t的函数关系式为________．
7．设y＝f(t)是某港口水的深度y(米)关于时间t(时)的函数，其中0≤t≤24.下表是该港口某一天从0时至24时记录的时间t与水深y的关系：
t
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y
12
15.1
12.1
9.1
11.9
14.9
11.9
8.9
12.1
经长期观察，函数y＝f(t)的图象可以近似地看成函数y＝k＋Asin(ωt＋φ)的图象．下面的函数中，最能近似表示表中数据间对应关系的函数是________．(填序号)
①y＝12＋3sint，t∈[0,24]；
②y＝12＋3sin，t∈[0,24]；
③y＝12＋3sint，t∈[0,24]；
④y＝12＋3sin，t∈[0,24]．
8.
如图所示，一个大风车的半径为8m，每12min旋转一周，最低点离地面2m．若风车翼片从最低点按逆时针方向开始旋转，则该翼片的端点P离地面的距离h(m)与时间t(min)之间的函数关系是____________________．
二、解答题
9.
如图，一个水轮的半径为4m，水轮圆心O距离水面2m，已知水轮每分钟转动5圈，如果当水轮上点P从水中浮现时(图中点P0)开始计算时间．
(1)将点P距离水面的高度z(m)表示为时间t(s)的函数；
(2)点P第一次到达最高点大约需要多少时间？
10．某港口水深y(米)是时间t
(0≤t≤24，单位：小时)的函数，下面是水深数据：
t(小时)
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y(米)
10.0
13.0
9.9
7.0
10.0
13.0
10.1
7.0
10.0
据上述数据描成的曲线如图所示，经拟合，该曲线可近似的看成正弦函数型y＝Asinωt＋B的图象．
(1)试根据数据表和曲线，求出y＝Asinωt＋B的解析式；
(2)一般情况下，船舶航行时船底与海底的距离不小于4.5米是安全的，如果某船的吃水度(船底与水面的距离)为7米，那么该船在什么时间段能够安全进港？若该船欲当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过多长时间？(忽略离港所用的时间)
能力提升
11．如图，质点P在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P0(，－)，角速度为1，那么点P到x轴距离d关于时间t的函数图象大致为________．(填序号)
12．某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为5cm，秒针均匀地绕点O旋转，当时间t＝0时，点A与钟面上标12的点B重合，将A、B两点的距离d(cm)表示成t(s)的函数，则d＝__________，其中t∈[0,60].
1．三角函数模型是研究周期现象最重要的数学模型．三角函数模型在研究物理、生物、自然界中的周期现象(运动)有着广泛的应用．
2．三角函数模型构建的步骤
(1)收集数据，观察数据，发现是否具有周期性的重复现象．
(2)制作散点图，选择函数模型进行拟合．
(3)利用三角函数模型解决实际问题．
(4)根据问题的实际意义，对答案的合理性进行检验．
1．3.4　三角函数的应用
知识梳理
1.　　
2．(1)A＋k　－A＋k
(2)　
(3)ω＝
(4)0　　π　π　2π
3．周期
作业设计
1.
2．2sin＋7(1≤x≤12，x∈N
)
3．26,27,28
解析　∵T＝，又∵<<，
∴8π∴m＝26,27,28.
4．80
解析　T＝＝(分)，f＝＝80(次/分)．
5.
解析　T＝＝1，∴＝2π，∴l＝.
6．V＝45cos80πt
解析　设V＝Acosωt，则A＝45，T＝＝0.025，ω＝＝80π，故V＝45cos80πt.
7．①
解析　在给定的四个函数①②③④中我们不妨代入t＝0及t＝3，容易看出最能近似表示表中数据间对应关系的函数是①.
8．h＝－8cost＋10(t≥0)
解析　据题意可设h＝10－8cosωt(t≥0)．
由已知周期为12min，可知t＝6时到达最高点，即函数取最大值，知18＝10－8cos6ω，即cos6ω＝－1.
∴6ω＝π，得ω＝.∴h＝10－8cost(t≥0)．
9．解　(1)如图所示建立直角坐标系，
设角φ是以Ox为始边，OP0为终边的角．
OP每秒钟内所转过的角为
＝.
由OP在时间t(s)内所转过的角为t＝t.
由题意可知水轮逆时针转动，
得z＝4sin＋2.
当t＝0时，z＝0，得sinφ＝－，即φ＝－.
故所求的函数关系式为z＝4sin＋2.
(2)令z＝4sin＋2＝6，
得sin＝1，
令t－＝，得t＝4，
故点P第一次到达最高点大约需要4s.
10．解　(1)从拟合的曲线可知，函数y＝Asinωt＋B的一个周期为12小时，因此ω＝＝.
又ymin＝7，ymax＝13，∴A＝(ymax－ymin)＝3，
B＝(ymax＋ymin)＝10.
∴函数的解析式为y＝3sint＋10
(0≤t≤24)．
(2)由题意，水深y≥4.5＋7，
即y＝3sint＋10≥11.5，t∈[0,24]，
∴sint≥，t∈，k＝0,1，
∴t∈[1,5]或t∈[13,17]，
所以，该船在1∶00至5∶00或13∶00至17∶00能安全进港．
若欲于当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过16小时．
11．③
解析　∵P0(，－)，∴∠P0Ox＝.
按逆时针转时间t后得∠POP0＝t，∠POx＝t－，此时P点纵坐标为2sin(t－)，
∴d＝2|sin(t－)|.
当t＝0时，d＝，排除①④；
当t＝时，d＝0，排除②.
12．10sin
解析　将解析式可写为d＝Asin(ωt＋φ)形式，由题意易知A＝10，当t＝0时，d＝0，得φ＝0；当t＝30时，d＝10，
可得ω＝，所以d＝10sin.