高中数学苏教版必修四课时训练：2.2　向量的线性运算2.2.3

2．2.3　向量的数乘
课时目标
1．掌握向量数乘的定义.2.理解向量数乘的几何意义.3.了解向量数乘的运算律.4.理解向量共线的条件．
1．向量数乘运算
实数λ与向量a相乘，叫做向量的________，记作________，其长度与方向规定如下：
(1)|λa|＝________.
(2)λa
(a≠0)的方向；
特别地，当λ＝0或a＝0时，0a＝________或λ0＝________.
2．向量数乘的运算律
(1)λ(μa)＝________.
(2)(λ＋μ)a＝________.
(3)λ(a＋b)＝________.
特别地，有(－λ)a＝________＝________；
λ(a－b)＝________.
3．向量的线性运算
向量的________与向量的________、________统称为向量的线性运算，对于任意向量a、b，以及任意实数λ、μ1、μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝________________.
4．向量共线定理
如果有一个实数λ，使________________(a≠0)，那么b与a是共线向量；反之，如果b与a(a≠0)是共线向量，那么有且只有一个实数λ使b＝λa.
一、填空题
1．若2－(c＋b－3y)＋b＝0，其中a、b、c为已知向量，则未知向量y＝________________.
2．已知平面内O，A，B，C四点，其中A，B，C三点共线，且＝x＋y，则x＋y＝________.
3．设e1，e2是两个不共线的向量，若向量m＝－e1＋ke2
(k∈R)与向量n＝e2－2e1共线，则k＝________.
4．已知向量a、b，且＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，则一定共线的三点是________．
5．已知△ABC的三个顶点A，B，C及平面内一点P，且＋＋＝，则点P与△ABC的关系为________．(填序号)
①P在△ABC内部；
②P在△ABC外部；
③P在AB边上或其延长线上；
④P在AC边上．
6.
如图所示，D是△ABC的边AB上的中点，则向量＝______.(填写正确的序号)
①－＋；②－－；③－；
④＋.
7.
如图所示，在ABCD中，＝a，＝b，＝3，M为BC的中点，则＝________.(用a，b表示)
8．已知△ABC和点M满足＋＋＝0.若存在实数m使得＋＝m成立，则m＝________.
9．在△ABC中，点D在直线CB的延长线上，且＝4＝r＋s，则r－s＝________.
10．设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，2＝16，|＋|＝|－|，则||＝______.
二、解答题11．两个非零向量a、b不共线．
(1)若A＝a＋b，B＝2a＋8b，C＝3(a－b)，求证：A、B、D三点共线；
(2)求实数k使ka＋b与2a＋kb共线．
12.
如图所示，在平行四边形ABCD中，点M是AB的中点，点N在BD上，且BN＝BD.
求证：M、N、C三点共线.
能力提升
13．已知O是平面内一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足＝＋λ(λ∈[0，＋∞))，则点P的轨迹一定通过△ABC的________．(填序号即可)
①外心；②内心；③重心；④垂心．
14．在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F.若＝a，＝b，则＝________.(用a，b表示)
1．实数与向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算，例如λ＋a，λ－a是没有意义的．
2．λa的几何意义就是把向21世纪教育网21世纪教育网量a沿着a的方向或反方向扩大或缩小为原来的|λ|倍．向量表示与向量a同向的单位向量．
3．共线向量定理是证明三点共线的重要工具，即三点共线问题通常转化为向量共线问题．
2．2.3　向量的数乘
知识梳理
1．数乘　λa
(1)|λ||a|　(2)λ>0　λ<0　0　0
2．(1)(λμ)a　(2)λa＋μa　(3)λa＋λb　－(λa)　λ(－a)　λa－λb
3．数乘　加法　减法　λμ1a±λμ2b
4．b＝λa
作业设计
1.a－b＋c
2．1
解析　∵A，B，C三点共线，
∴ λ∈R使＝λ.
∴－＝λ(－)．
∴＝(1－λ)＋λ.
∴x＝1－λ，y＝λ，∴x＋y＝1.
3.
解析　当k＝时，m＝－e1＋e2，n＝－2e1＋e2.
∴n＝2m，此时，m，n共线．
4．A、B、D
解析　∵＝＋＝2a＋4b＝2，
∴A、B、D三点共线．
5．④
解析　∵＋＋＝－，
∴＝－2，∴P在AC边上．
6．①
解析　－＋＝＋
＝＋＝.
7.(b－a)
解析　＝＋＋
＝－b－a＋
＝－b－a＋(a＋b)
＝(b－a)．
8．3
解析　∵＋＋＝0，
∴点M是△ABC的重心．
∴＋＝3，∴m＝3.
9.
解析　∵＝＋＝4，
∴＝3.
∴＝－＝＋－
＝＋－
＝＋(－)－
＝－
∴r＝，s＝－，r－s＝.
10．2
解析　∵2＝16，
∴||＝4.又|－|＝||＝4，
∴|＋|＝4.
∵M为BC中点，∴＝(＋)，
∴||＝|＋|＝2.
11．(1)证明　∵A＝A＋B＋C＝a＋b＋2a＋8b＋3a－3b＝6a＋6b＝6A，
∴A、B、D三点共线．
(2)解　∵ka＋b与2a＋kb共线，∴ka＋b＝λ(2a＋kb)．
∴(k－2λ)a＋(1－λk)b＝0，
∴ k＝±.
12．证明　设＝a，＝b，则由向量加法的三角形法则可知：＝－＝－＝a－b.
又∵N在BD上且BD＝3BN，
∴＝＝(＋)＝(a＋b)，
∴＝－＝(a＋b)－b
＝a－b＝，
∴＝，又∵与共点为C，
∴C、M、N三点共线．
13．②
解析　为上的单位向量，为上的单位向量，则＋的方向为∠BAC的角平分线的方向．
又λ∈[0，＋∞)，∴λ的方向与＋的方向相同．而＝＋λ，
∴点P在上移动．
∴点P的轨迹一定通过△ABC的内心．
14.a＋b
解析　
如图所示，
∵E是OD的中点，
∴＝＝b.
又∵△ABE∽△FDE，
∴＝＝.
∴＝3，
∴＝.
在△AOE中，＝＋＝a＋b.
∴＝＝a＋b.