高中数学苏教版必修四课时训练：3.1　两角和与差的三角函数3.1.1

第3章　三角恒等变换
§3.1　两角和与差的三角函数
3．1.1　两角和与差的余弦
课时目标
1．会用向量的数量积推导两角差的余弦公式.2.能利用余弦公式进行三角函数式的化简与求值．
两角和与差的余弦公式
cos(α＋β)＝_______________________________________.
cos(α－β)＝_______________________________________.
一、填空题
1．cos15°cos105°＋sin15°sin105°＝________.
2．化简cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα得________．
3．若cos(α－β)＝，则(sinα＋sinβ)2＋(cosα＋cosβ)2＝________.
4．sin163°sin223°＋sin253°sin313°＝________.
5．已知cos(α＋β)＝，cos(α－β)＝，则tanαtanβ＝________.
6．若cos(α－β)＝，cos2α＝，并且α、β均为锐角且α<β，则α＋β的值为________．
7．若sin(π＋θ)＝－，θ是第二象限角，sin＝－，φ是第三象限角，则cos(θ－φ)的值是______．
已知8cos(2α＋β)＋5cosβ＝0，且cos(α＋β)cosα≠0，则tan(α＋β)tanα＝________.9．已知sinα＋sinβ＋sinγ＝0，cosα＋cosβ＋cosγ＝0，则cos(α－β)的值为________．
10．已知α、β均为锐角，且sinα＝，cosβ＝，则α－β的值为________．
二、解答题
11．已知tanα＝4，cos(α＋β)＝－，α、β均为锐角，求cosβ的值．
12．已知cos(α－β)＝－，sin(α＋β)＝－，<α－β<π，<α＋β<2π，求β的值．
能力提升
13．已知cos(α－)＝－，sin(－β)＝，且<α<π，0<β<，求cos的值．
14．已知α、β、γ∈，sinα＋sinγ＝sinβ，cosβ＋cosγ＝cosα，求β－α的值．
1．给式求值或给值求值问题，即由给出的某些函数关系式(或某些角的三角函数值)，求另外一些角的三角函数值，关键在于“变式”或“变角”，使“目标角”换成“已知角”．注意公式的正用、逆用、变形用，有时需运用拆角、拼角等技巧．
2．“给值求角”问题，实际上也可转化为“给值求值”问题，求一个角的值，可分以下三步进行：
①求角的某一三角函数值；②确定角所在的范围(找一个单调区间)；③确定角的值．
确定用所求角的哪种三角函数值，要根据具体题目而定．
第3章　三角恒等变换
§3.1　两角和与差的三角函数
3．1.1　两角和与差的余弦
知识梳理
cosαcosβ－sinαsinβ　cosαcosβ＋sinαsinβ
作业设计
1．0
2．cosβ
3.
解析　原式＝2＋2(sinαsinβ＋cosαcosβ)
＝2＋2cos(α－β)＝.
4.
解析　原式＝－cos73°sin43°＋sin73°sin47°
＝－sin17°sin43°＋cos17°cos43°
＝cos(43°＋17°)＝cos60°＝.
5.
解析　由，
∴
∴tanαtanβ＝.
6.
解析　sin(α－β)＝－(－<α－β<0)．
sin2α＝，
∴cos(α＋β)＝cos[2α－(α－β)]
＝cos2αcos(α－β)＋sin2αsin(α－β)
＝·＋·＝－，
∵α＋β∈(0，π)，∴α＋β＝.
7.
解析　∵sin(π＋θ)＝－，
∴sinθ＝，θ是第二象限角，
∴cosθ＝－.
∵sin＝－，∴cosφ＝－，
φ是第三象限角，
∴sinφ＝－.
∴cos(θ－φ)＝cosθcosφ＋sinθsinφ
＝×＋×＝.
8.
解析　8cos(2α＋β)＋5cosβ＝8[cos(α＋β)cos
α－sin(α＋β)sin
β]＋5[cos(α＋β)cos
α＋sin(α＋β)sin
α]＝13cos(α＋β)cosα－3sin(α＋β)sinα＝0.
∴3sin(α＋β)sinα＝13cos(α＋β)cosα.
∴tan(α＋β)tanα＝.
9．－
解析　由
①2＋②2 2＋2(sinαsinβ＋cosαcosβ)＝1
cos(α－β)＝－.
10．－
解析　∵α、β∈，
∴cosα＝，sinβ＝，
∵sinα∴cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ
＝·＋·＝，
∴α－β＝－.
11．解　∵α∈，tanα＝4，
∴sinα＝，cosα＝.
∵α＋β∈(0，π)，cos(α＋β)＝－，
∴sin(α＋β)＝.
∴cosβ＝cos[(α＋β)－α]
＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα
＝×＋×＝.
12．解　∵<α－β<π，cos(α－β)＝－，
∴sin(α－β)＝.
∵π<α＋β<2π，sin(α＋β)＝－，
∴cos(α＋β)＝.
∴cos2β＝cos[(α＋β)－(α－β)]
＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β)
＝×＋×＝－1.
∵<α－β<π，π<α＋β<2π，
∴<2β<，
∴2β＝π，∴β＝.
13．解　∵<α<π，∴<<.
∵0<β<，
∴－<－β<0，－<－<0.
∴<α－<π，－<－β<.
又cos(α－)＝－<0，
sin(－β)＝>0，
∴<α－<π，0<－β<.
∴sin(α－)＝＝.
cos(－β)＝＝.
∴cos＝cos[(α－)－(－β)]
＝cos(α－)cos(－β)＋sin(α－)sin(－β)
＝(－)×＋×＝.
14．解　由已知，得
sinγ＝sinβ－sinα，cosγ＝cosα－cosβ.
平方相加得(sinβ－sinα)2＋(cosα－cosβ)2＝1.
∴－2cos(β－α)＝－1，∴cos(β－α)＝，
∴β－α＝±.
∵sinγ＝sinβ－sinα>0，
∴β>α，∴β－α＝.