高中数学苏教版必修四课时训练：3.1　两角和与差的三角函数3.1.3

3．1.3　两角和与差的正切
课时目标
1．能利用两角和与差的正、余弦公式推导出两角和与差的正切公式.2.掌握两角和与差的正切公式及变形运用．
1．两角和与差的正切公式
(1)T(α＋β)：tan(α＋β)＝____________________________________.
(2)T(α－β)：tan(α－β)＝___________________________________.
2．两角和与差的正切公式的变形
(1)T(α＋β)的变形：
tan
α＋tan
β＝__________________________________________.
tan
α＋tan
β＋tan
αtan
βtan(α＋β)＝_________________________.
tanα·tanβ＝____________________________________________.
(2)T(α－β)的变形：
tanα－tanβ＝______________________________________.
tanα－tanβ－tanαtanβtan(α－β)＝____________________.
tanαtanβ＝______________________________________.
一、填空题
1.＝________.
2．已知α∈，sinα＝，则tan的值等于________．
3．若sinα＝，tan(α＋β)＝1，且α是第二象限角，则tanβ的值是________．
4．已知tan＝2，则的值为________．
5．已知tanα＝，tanβ＝，0<α<，π<β<，则α＋β的值是________．
6．A，B，C是△ABC的三个内角，且tanA，tanB是方程3x2－5x＋1＝0的两个实数根，则△ABC的形状是________三角形．
7．化简tan10°tan20°＋tan20°tan60°＋tan60°tan10°的值等于________．
8．在△ABC中，角C＝120°，tanA＋tanB＝，则tanAtanB的值为________．
9．如果tanα，tanβ是方程x2－3x－3＝0两根，则＝________.
10．已知α、β均为锐角，且tanβ＝，则tan(α＋β)＝________.
二、解答题
11．在△ABC中，tanB＋tanC＋tanBtanC＝，且tanA＋tanB＋1＝tanAtanB，试判断△ABC的形状．
12.
如图，在平面直角坐标系xOy中，以21世纪教育网Ox轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知A，B的横坐标分别为，.
求tan(α＋β)的值；
能力提升
13．已知tan(α－β)＝，tanβ＝－，且α，β∈(0，π)，求2α－β的值．
14．已知锐角三角形ABC中，sin(A＋B)＝，sin(A－B)＝.
(1)求证：tanA＝2tanB；
(2)设AB＝3，求AB边上的高．
1．公式T(α±β)的适用范围
由正切函数的定义可知α、β、α＋β(或α－β)的终边不能落在y轴上，即不为kπ＋(k∈Z)．
2．公式T(α±β)的逆用
一方面要熟记公式的结构，另一方面要注意常值代换如tan＝1，tan＝，tan＝等．
要特别注意tan(＋α)＝，tan(－α)＝.
3．公式T(α±β)的变形应用
只要见到tanα±tanβ，tanαtanβ时，有灵活应用公式T(α±β)的意识，就不难想到解题思路．
3．1.3　两角和与差的正切
知识梳理
1．(1)　(2)
2．(1)tan(α＋β)(1－tanαtanβ)　tan(α＋β)
1－　(2)tan(α－β)(1＋tanαtanβ)
tan(α－β)　－1
作业设计
1．－　2.　3.－7
4.
解析　∵tan＝2，
∴＝2，
解得tanα＝.
∴＝
＝＝＝.
5.
6．钝角
解析　tanA＋tanB＝，tanA·tanB＝，
∴tan(A＋B)＝，∴tanC＝－tan(A＋B)＝－，
∴C为钝角．
7．1
解析　原式＝tan10°tan20°＋tan20°＋tan10°
＝(tan10°＋tan20°＋tan10°tan20°)
＝tan30°＝1.
8.
解析　tan(A＋B)＝－tanC＝－tan120°＝，
∴tan(A＋B)＝＝，
即＝，解得tanA·tanB＝.
9．－
解析　＝
＝＝＝－.
10．1
解析　tanβ＝＝.
∴tanβ＋tanαtanβ＝1－tanα.
∴tanα＋tanβ＋tanαtanβ＝1.
∴tanα＋tanβ＝1－tanαtanβ.
∴＝1，∴tan(α＋β)＝1.
11．解　由tanB＋tanC＋tanBtanC＝，
得tanB＋tanC＝(1－tanBtanC)．
∴tan(B＋C)＝＝，
又∵B＋C∈(0，π)，∴B＋C＝.
又tan
A＋tan
B＋1＝tan
Atan
B，
∴tan
A＋tan
B＝－(1－tan
Atan
B)，
∴tan(A＋B)＝＝－，
而A＋B∈(0，π)，∴A＋B＝，又∵A＋B＋C＝π，
∴A＝，B＝C＝.∴△ABC为钝角等腰三角形．
12．解　由条件得cosα＝，cosβ＝.
∵α，β为锐角，∴sinα＝＝，
sinβ＝＝.
因此tanα＝＝7，tanβ＝＝.
tan(α＋β)＝＝＝－3.
13．解　tan
α＝tan[(α－β)＋β]＝
＝>0.
而α∈(0，π)，故α∈(0，)．
∵tan
β＝－，0<β<π，∴<β<π.
∴－π<α－β<0.而tan(α－β)＝>0，
∴－π<α－β<－.
∴2α－β＝α＋(α－β)∈(－π，0)．
∵tan(2α－β)＝tan[α＋(α－β)]
＝＝1，
∴2α－β＝－.
14．(1)证明　∵sin(A＋B)＝，sin(A－B)＝，
∴

＝2，所以tan
A＝2tan
B.
(2)解　∵∴tan(A＋B)＝－，即＝－.
将tan
A＝2tan
B代入上式并整理得，
2tan2B－4tan
B－1＝0.
解得tan
B＝，舍去负值，得tan
B＝.
∴tan
A＝2tan
B＝2＋.设AB边上的高为CD.
则AB＝AD＋DB＝＋＝.
由AB＝3，得CD＝2＋.
∴AB边上的高等于2＋.