高中数学苏教版必修四课时训练：3.2　二倍角的三角函数3.2

§3.2　二倍角的三角函数
课时目标
1．会从两角和的正弦、余弦、正切公式导出二倍角的正弦、余弦、正切公式．
2．能熟练运用二倍角的公式进行简单的恒等变换，并能灵活地将公式变形运用．
1．倍角公式
(1)S2α：sin2α＝________________，sincos＝____________；
(2)C2α：cos2α＝________________＝______________＝________________；
(3)T2α：tan2α＝.
2．倍角公式常用变形
(1)＝________________，＝________________；
(2)1＋sinα＝________________________________________，
1－sinα＝_________________________________________；
(3)sin2α＝________，cos2α＝____________.
(4)1－cos
α＝________，1＋cos
α＝________.
一、填空题
1.的值是________．
2．求值：cos20°cos40°cos80°＝________.
3．函数f(x)＝cosx－sin2x－cos2x＋的最大值是________．
4．已知等腰三角形底角的余弦值为，则顶角的正弦值是________．
5．若sin(－α)＝，则cos(＋2α)的值为________．
6．函数f(x)＝sin(2x－)－2sin2x的最小正周期是______．
7．已知tan＝3，则＝______.
8．已知sin22α＋sin2αcosα－cos2α＝1，α∈(0，)，则α＝________.
9.
在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成一个大正方形(如图所示)．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为θ，那么cos2θ的值等于____．
10．已知角α在第一象限且cosα＝，则＝________.
二、解答题
11．求证：＝tan4A.
12．若cos＝－，求的值．
能力提升
13．求值：tan70°·cos10°·(tan20°－1)．
14．已知函数y＝sin
ωx·cos
ωx＋cos2ωx(ω>0)的周期为.
(1)求ω的值；
(2)当0≤x≤时，求函数的最大值、最小值及相应x的值．
1．对于“二倍角”应该有广义上的理解，如：
8α是4α的二倍；6α是3α的二倍；4α是2α的二倍；3α是α的二倍；是的二倍；是的二倍；＝
(n∈N
)．
2．二倍角余弦公式的运用
在二倍角公式中，二倍角的余弦公式最为灵活多样，应用广泛，二倍角的常用形式：
①1＋cos2α＝2cos2α，②cos2α＝，③1－cos2α＝2sin2α，④sin2α＝.
§3.2　二倍角的三角函数
知识梳理
1．(1)2sinαcosα　sinα　(2)cos2α－sin2α　2cos2α－1　1－2sin2α
2．(1)cosα　sinα　(2)2　2　(3)　
(4)2sin2　2cos2
作业设计
1．2
解析　＝
＝＝2.
2.
解析　原式＝
＝
＝
＝＝.
3．2
解析　f(x)＝cosx－(1－cos2x)－(2cos2x－1)＋
＝－cos2x＋cosx＋
＝－2＋2.
∴当cosx＝时，f(x)max＝2.
4.
解析　设α为该等腰三角形的一底角，
则cosα＝，顶角为180°－2α.
∴sin(180°－2α)＝sin2α＝2sinαcosα
＝2·＝.
5．－
解析　cos(＋2α)＝－cos(－2α)
＝－cos[2(－α)]
＝－[1－2sin2(－α)]＝2sin2(－α)－1＝－.
6．π
解析　f(x)＝sin2x－cos2x－(1－cos2x)
＝sin2x＋cos2x－＝sin(2x＋)－，
∴T＝＝π.
7．3
解析　＝
＝＝tan＝3.
8.
解析　∵sin22α＋sin2αcosα－(cos2α＋1)＝0.
∴4sin2αcos2α＋2sinαcos2α－2cos2α＝0.
∵α∈(0，)．∴2cos2α>0.
∴2sin2α＋sinα－1＝0.
∴sinα＝(sinα＝－1舍)．
∴α＝.
9.
解析　由题意，5cosθ－5sinθ＝1，θ∈.
∴cosθ－sinθ＝.
由(cosθ＋sinθ)2＋(cosθ－sinθ)2＝2.
∴cosθ＋sinθ＝.
∴cos2θ＝cos2θ－sin2θ
＝(cosθ＋sinθ)(cosθ－sinθ)＝.
10.
解析　∵cosα＝且α在第一象限，∴sinα＝.
∴cos2α＝cos2α－sin2α＝－，
sin
2α＝2sin
αcos
α＝，
原式＝
＝＝.
11．证明　∵左边＝
＝2＝2＝(tan2A)2
＝tan4A＝右边．
∴＝tan4A.
12．解　＝
＝
＝sin2x＝sin2xtan
＝costan
＝tan，
∵又∵cos＝－，
∴sin＝，tan＝－.
∴原式＝×＝－.
13．解　原式＝·cos
10°
＝·cos
10°·
＝·cos
10°·2
＝＝＝－1.
14．解　(1)y＝sin
2ωx＋(1＋cos
2ωx)
＝sin
(2ωx＋)＋.
∵T＝，∴ω＝2.
(2)由(1)得y＝sin(4x＋)＋.
∵0≤x≤，
∴≤4x＋≤π.
∴－≤sin(4x＋)≤1，∴0≤y≤.
当sin(4x＋)＝1时，ymax＝，
此时4x＋＝，∴x＝.
当sin(4x＋)＝－时，ymin＝0，
此时4x＋＝，∴x＝.