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《认识三角形》教案
【教学目标】
1.知识与技能
（1）认识三角形的高，能画任意三角形的高；
（2）了解三角形三条高所在直线交于一点的性质。
2.过程与方法
通过动手画任意三角形的高，体会三角形的性质。
3.情感态度和价值观
学会用数学知识解决实际问题的能力，发展应用和自主探究意识，培养学生的动手实践能力， 与合作精神，树立学好数学的信心。21教育网
【教学重点】
画任意三角形的高。
【教学难点】
三角形三条高所在直线交于一点的性质。
【教学方法】
自学与小组合作学习相结合的方法。
【课前准备】
教学课件。
【课时安排】
1课时
【教学过程】
一、情景导入
【过渡】前几节课的学习中，我们学习了三角 ( http: / / www.21cnjy.com )形的中线、角平分线等性质，在三角形中呢，还有另一类重要的线。我们来看这个图片，这是我们生活中常见的三角形房梁，从图中我们看到，立柱与横梁之间。大家能知道立柱与横梁有什么特殊的位置关系吗？21cnjy.com
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【过渡】结合我们的生活，我们猜测两者之间的垂直的关系，那么在数学中，我们该如何称呼这样的一个“立柱”呢？今天我们就来学习一下。21·cn·jy·com
二、新课教学
1．三角形的高
【过渡】我们来画一个三角形，标为△ABC， ( http: / / www.21cnjy.com )从三角形的一个顶点A，向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高。www.21-cn-jy.com
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【过渡】将这样的三角形与刚刚的房梁相比，我们能得到立柱与横梁的关系了吗？
（学生回答）
【过渡】现在请大家任意画一个锐角△ABC,请你画出BC边上的高。
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【过渡】在画三角形的高时，我们需要注意的地方是：标明垂直的记号和垂足的字母。
【过渡】现在，我们来看一下课本的做一做内容。
每人准备一个锐角三角形纸片。
(1) 你能画出这个三角形的三条高吗？
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【过渡】大家在画高的过程中，一定要注意刚刚的注意事项。
大家观察一下，这三条高之间有怎样的位置关系？
【过渡】从图中可以看出，锐角三角形的三条高交于同一点。而且从位置关系来看，这个交点位于锐角三角形的内部。21世纪教育网版权所有
【过渡】我们知道，除了锐角三角形之外，还有 ( http: / / www.21cnjy.com )另外两种三角形：直角三角形和钝角三角形。那么对于这两种三角形来说，他们的高又有什么特点呢？我们一起来动手试一下吧。
（学生动手）
【过渡】在纸上画出一个直角三角形。并画出三条边对应的高。
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大家观察一下自己画的图形，有什么特点吗？
直角边BC边上的高是AB，直角边AB边上的高是BC。这三条高有什么关系呢？
直角三角形的三条高交于直角顶点。
【过渡】了解了直角三角形的高之后，我们再来看看钝角三角形。
按照上述的步骤，画出三角形的高，并进行分析。
【过渡】从图中，钝角三角形的高能交于一点吗？
【过渡】从图中可以看到，这三条高不能交于一点。
【过渡】试着将这三条高延长，能交于一点吗？
【过渡】钝角三角形的三条高所在直线交于一点。
【过渡】通过对这三类三角形的分析，我们知道，三角形的三条高所在直线交于一点。
其中，锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点。
直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点。
钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点。
【过渡】现在，大家看着自己刚刚画的直角三三角形以及钝角三角形的高，分别将其对应一下吧。
课件展示。
【练习】如图所示，在△ABC中，BC边上的高 ，AB边上的高是 ；
在△BCE中，BE边上的高是 ；EC边上的高是 ；
在△ACD中，AC边上的高是 ； CD边上的高是 。
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【过渡】通过这个练习，我们进一步了解到三角形任意一边上的高必须满足： (1)过该边所对的顶点；(2)垂足必须在该边或在该边的延长线上。2·1·c·n·j·y
【学以致用】1、下列说法中，正确的是（ D ）
A．三角形的角平分线是射线
B．三角形的高总在三角形的内部
C．一个三角形的三个内角中至少有一个直角
D．三角形的中线一定在三角形的内部
2、如图中，正确画出△ABC边AC上的高AE的是（ C ）
A． ( http: / / www.21cnjy.com / ) B． ( http: / / www.21cnjy.com / )
C． ( http: / / www.21cnjy.com / ) D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
3、如图，AD是几个三角形的高？（ C ）
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A．4 B．5 C．6 D．7
4、如图所示，AD，CE是△ABC的两条高，AB=4cm，BC=8cm，CE=6cm，求AD的长。
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解：S△ABC= AB CE= BC AD，
∵AB=4cm，BC=8cm，CE=6cm，
∴×4×6=×8 AD，解得AD=3cm．
5、已知AD是△ABC的高，∠BAD=70゜，∠CAD=20゜，求∠BAC的度数。
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解：①如图1，当高AD在△ABC的内部时，
∠BAC=∠BAD+∠CAD=70°+20°=90°；
②如图2，当高AD在△ABC的外部时，
∠BAC=∠BAD-∠CAD=70°-20°=50°，
综上所述，∠BAC的度数为90°或50°。
【板书设计】
1、三角形的高：顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线。
2、三角形高的性质：三角形的三条高所在直线交于一点。
【教学反思】
三角形的高是从学生生活周围 ( http: / / www.21cnjy.com )熟悉的物体入手，使学生在丰富的现实情境中，在实际动手操作中，认识三角形的高；并通过学生的观察、操作、交流等活动，使学生进一步对于不同的三角形，高的特点是不一样的。
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《认识三角形》练习
一、选择——基础知识运用
1．三角形的下列四种线段中一定能将三角形分成面积相等的两部分的是（ ）
A．角平分线 B．中位线 C．高 D．中线
2．下列说法错误的是（ ）
A．三角形的角平分线能把三角形分成面积相等的两部分
B．三角形的三条中线，角平分线都相交于一点
C．直角三角形三条高交于三角形的一个顶点
D．钝角三角形的三条高所在直线的交点在三角形的外部
3．角形的角平分线、中线和高（ ）
A．都是射线 B．都是直线
C．都是线段 D．都在三角形内
4．如图，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，GA⊥AC于A，则△ABC中，AC边上的高为（ ）21世纪教育网版权所有
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A．AD B．GA C．BE D．CF21教育网
5．锐角三角形ABC的3条高线相交于点H，其中三角形的个数共有（ ）
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A． 12个 B． 15个 C． 16个 D．18个21·cn·jy·com
二、解答——知识提高运用
6．如图，在△ABC中，∠ACB=60°，∠BAC=75°，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与BE交于H，则∠CHD= 。www.21-cn-jy.com
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7．如图，BD、CE是△ABC的高，BD和CE相交于点O。
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（1）图中有哪几个直角三角形？
（2）图中有与∠2相等的角吗？请说明理由。
（3）若∠4=55°，∠ACB=65°，求∠3，∠5的度数。
8．如图，△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，∠CAB=50°，∠C=60°，求∠DAE和∠BOA的度数。2·1·c·n·j·y
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9．如图在△ABC中，CD是高，点E、F、G分别在BC、AB、AC上，且EF⊥AB，∠1=∠2，试判断DG与BC的位置关系？并说明理由。【来源：21·世纪·教育·网】
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10．如图，已知△ABC的高AD，角平分线AE，∠B=26°，∠ACD=56°，求∠AED的度数。
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11．如图，△ABC中，∠ABC=40°，∠C=60°，AD⊥BC于D，AE是∠BAC的平分线。
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（1）求∠DAE的度数；
（2）指出AD是哪几个三角形的高。
参考答案
一、选择——基础知识运用
1．【答案】D
【解析】（1）
三角形的角平分线把三角形分成两部分，这两部分的面积比分情况而定；
（2）
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三角形的中位线把三角形分成两部分，这两部分的面积经计算得：
三角形面积为梯形面积的；
（3）
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三角形的高把三角形分成两部分，这两部分的面积比分情况而定；
（4）
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三角形的中线AD把三角形分成两部分，△ABD的面积为 BD AE，△ACD面积为 CD AE；
因为AD为中线，所以D为BC中点，所以BD=CD，
所以△ABD的面积等于△ACD的面积。
∴三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分。
故选D。
2．【答案】A
【解析】A、三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分，错误；
B、三角形的三条中线，角平分线都相交于一点，正确；
C、直角三角形三条高交于直角顶点，正确；
D、钝角三角形的三条高所在直线的交点在三角形的外部，正确。
故选A。
3．【答案】C
【解析】三角形有三条中线，有三条高线，有三条角平分线，它们都是线段。
故选：C。
4．【答案】C
【解析】∵AC边上的高是指过AC所对顶点B向AC所在直线所作的垂线
∴在AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，GA⊥AC于A中，
只有BE符合上述条件。
故选C。
5．【答案】C
【解析】图中有6个直角，每一个直角对应两个直角三角形，
共有12个直角三角形：△AEB、△AE ( http: / / www.21cnjy.com )C、△HEB、△HEC、△BFC、△BFA、△HFC、△HFA、△CGA、△CGB、△HGA、△HGB；21cnjy.com
三个钝角三角形：△BHA、△CHA、△CHB；
原来的一个锐角三角形：△ABC；
共有16个三角形。
故选C。
二、解答——知识提高运用
6．【答案】在△ABC中，三边的高交于一点，所以CF⊥AB，
∵∠BAC=75°，且CF⊥AB，∴∠ACF=15°，
∵∠ACB=60°，∴∠BCF=45°
在△CDH中，三内角之和为180°，
∴∠CHD=45°，
故答案为∠CHD=45°。
7．【答案】（1）直角三角形有：△BOE、△BCE、△ACE、△BCD、△COD、△ABD；
（2）与∠2相等的角是∠1．
理由如下：∵BD、CE是△ABC的高，
∴∠1+∠A=90°，∠2+∠A=90°，
∴∠1=∠2，
∴与∠2相等的角是∠1；
（3）∵∠ACB=65°，BD是高，
∴∠3=90°-∠ACB=90°-65°=25°，
在△BOC中，∠BOC=180°-∠3-∠4=180°-25°-55°=100°，
∴∠5=∠BOC=100°。
8．【答案】∵∠A=50°，∠C=60°
∴∠ABC=180°-50°-60°=70°，
又∵AD是高，
∴∠ADC=90°，
∴∠DAC=180°-90°-∠C=30°，
∵AE、BF是角平分线，
∴∠CBF=∠ABF=35°，∠EAF=25°，
∴∠DAE=∠DAC-∠EAF=5°，
∠AFB=∠C+∠CBF=60°+35°=95°，
∴∠BOA=∠EAF+∠AFB=25°+95°=120°，
∴∠DAC=30°，∠BOA=120°。
故∠DAE=5°，∠BOA=120°。
9．【答案】DG与BC的位置关系为平行，理由如下：
∵CD是△ABC的高，
∴CD⊥AB，
又∵EF⊥AB，
∴CD∥EF，
∴∠DCB=∠2，
又∠1=∠2，
∴∠DCB=∠1，
∴DG∥BC，
DG与BC的位置关系为平行。
10．【答案】∵∠B=26°，∠ACD=56°
∴∠BAC=30°
∵AE平分∠BAC
∴∠BAE=15°
∴∠AED=∠B+∠BAE=41°．
11．【答案】（1）∵AD⊥BC于D，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
∵∠ABC=40°，∠C=60°，
∴∠BAD=50°，∠CAD=30°，
∴∠BAC=50°+30°=80°，
∵AE是∠BAC的平分线，
∴∠BAE=40°，
∴∠DAE=50°-40°=10°。
（2）AD是△ABE、△ABD、△ABC、△AED、△AEC、△ADC的高。
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北师大版 七年级下册
4.1 认识三角形
导入新课
生活中常见的三角形房梁
你知道立柱与横梁有什么特殊的位置关系吗？
新课学习
三角形的高
A
从三角形的一个顶点
B
C
向它的对边
所在直线作垂线，
顶点
和垂足
F
之间的线段
叫做三角形的高线，
简称三角形的高。
如图, 线段AF是BC边上的高.
新课学习
任意画一个锐角△ABC,请你画出BC边上的高。
和垂足的字母.
A
B
C
标明垂直的记号
D
注意：
新课学习
2
4
5
每人准备一个锐角三角形纸片。
(1) 你能画出这个三角形的三条高吗
(2) 你能用折纸的办法得到它们吗
做一做
使折痕过顶点，顶点的对边边缘重合
新课学习
(3) 这三条高之间有怎样的位置关系？
O
(4) 锐角三角形的三条高是在三角
形的内部还是外部
锐角三角形的三条高交于同一点；
锐角三角形的三条高都在三角形的内部.
新课学习
1
在纸上画出一个直角三角形。
A
B
C
(1) 画出直角三角形的三条高,
直角边BC边上的高是 ;
AB边
直角边AB边上的高是 ;
BC边
它们有怎样的位置关系？
直角三角形的三条高交于直角顶点.
D
斜边AC边上的高是 ;
BD
新课学习
1
2
(1) 你能画出钝角三角形的三条
高吗？
A
B
C
D
E
F
(2) AC边上的高呢？
AB边上呢？
BC边上呢？
BF
CE
AD
新课学习
A
B
C
D
F
(3)钝角三角形的三条高交于一点吗？
(4)它们所在的直线交于一点吗？
O
E
钝角三角形的三条高不相交于一点。
钝角三角形的三条高所在直线交于一点。
新课学习
钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点。
三角形的三条高所在直线交于一点。
结论：
锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点。
直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点。
新课学习
分别指出直角△ABC 的三条高。
直角边BC边上的高是 ;
AB边
直角边AB边上的高是 ;
CB边
A
B
C
D
斜边AC边上的高是 。
BD
新课学习
分别指出钝角△ABC 的三条高。
A
B
C
D
E
F
AB边上的高是 ;
CE
BC边上的高是 ;
AD
CA边上的高是 ;
BF
牛刀小试
如图所示，在△ABC中，BC边上的高 ，AB边上的高是 ；
在△BCE中，BE边上的高是 ；EC边上的高是 ；
在△ACD中，AC边上的高是 ； CD边上的高是 ．
AF
三角形任意一边上的高必须满足： (1)过该边所对的顶点；(2)垂足必须在该边或在该边的延长线上．
CE
CE
BE
CD
AC
课堂小结
三角形的高
锐角三角形的三条高
都在三角形的内部.
高的定义
高的性质
直角三角形的三条高
交于直角顶点.
钝角三角形的三条高
所在直线交于一点.
学以致用
1.下列说法中，正确的是（ ）
A．三角形的角平分线是射线
B．三角形的高总在三角形的内部
C．一个三角形的三个内角中至少有一个直角
D．三角形的中线一定在三角形的内部
D
学以致用
2.如图中，正确画出△ABC边AC上的高AE的是（ ）
A． B． C． D．
C
学以致用
3.如图，AD是几个三角形的高？（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
C
解析：因为线段BC上共有线段：3+2+1=6（条），
所以AD是6个三角形的高．
故选C．
学以致用
4.如图所示，AD，CE是△ABC的两条高，AB=4cm，BC=8cm，CE=6cm，求AD的长。
解：S△ABC=AB CE=BC AD，
∵AB=4cm，BC=8cm，CE=6cm，
∴×4×6=×8 AD，解得AD=3cm．
学以致用
5.已知AD是△ABC的高，∠BAD=70゜，∠CAD=20゜，求∠BAC的度数。
解：①如图1，当高AD在△ABC的内部时，
∠BAC=∠BAD+∠CAD=70°+20°=90°；
②如图2，当高AD在△ABC的外部时，
∠BAC=∠BAD-∠CAD=70°-20°=50°，
综上所述，∠BAC的度数为90°或50°．
