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《数学思考》教案
【教学目标】
1. 知识与技能
通过引导学生观察、列表、分析、归纳，掌握解决“几个点能连成多少条线段”这类问题的方法和规律，并能运用规律解决较复杂的数学问题。 www.21-cn-jy.com
2.过程与方法
使学生进一步体会“化繁为简”和数形结合的数学思想方法，学会用数学思想方法解决问题，形成一些基本策略，发展实践能力与创新精神。2·1·c·n·j·y
3.情感态度与价值观
让学生在体验中感受数学知识的奇妙，感受数学思维的乐趣，在探究中获得成功的愉悦感，激发孩子们进一步学习与探究的欲望。【来源：21·世纪·教育·网】
【教学重点】
引导学生发现规律，找到解决问题的方法。
【教学难点】
灵活运用所学知识解决实际问题。
【教学方法】
启发式教学、自主探索、合作交流、讨论法、讲解法。
【课前准备】
多媒体
【课时安排】
1课时
【教学过程】
1. 回顾整理。
师：我们学过哪些数学思想和方法？
生：对应思想方法、假设思想方法、比较思想方法、类比思想方法、转化思想方法、分类思想方法、数形结合思想方法。www-2-1-cnjy-com
师小结：数学思想和方法可以帮助我们有条理地思考，简捷地解决问题。
2.探究“几个点能连成多少条线段”。
（1）出示例题： 6个点可以连成多少条线段？8个点呢？
师：同学们，请你们在练习本上画一画，先从两个点开始。
生独立探究，师巡视指导。
汇报交流：
2个点1条线段；3个点共连：1+2=3 （条）；4个点共连：1+2+3=6 （条）；
5个点共连：1+2+3+4=10 （条）
师：仔细观察这张表格，你能得到什么信息？
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师：6个点、8个点能连多少条线段？
生：6个点连15条，8个点连28条。
师：5个点共连：1+2+3+4=10 （条）考虑到重复的线段，可以这样表示：5×（5-1）÷2=10
n个点：n×（n-1）÷2
根据规律，12个点、20个点能连多少条线段？
生：12个点： 12×（12-1）÷2=66（条）
20个点： 20×（20-1）÷2=190（条）
2.典题训练。
（1）观察下图，想一想。
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①第7幅图有多少个棋子？第15幅图呢？
②第n幅图有多少个棋子？
（2）下图中一共有几条线段？
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（3）用火柴棒按下图的方式搭三角形。
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（1）填写下表：
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（2）照这样的规律搭下去，搭n个这样的三角形需要多少根火柴棒？
学生独立完成后集体交流。
3. 逻辑推理。
六年级有三个班，每班有2个班长。开班长会 ( http: / / www.21cnjy.com )时，每次每班只要一个班长参加。第一次到会的有A、B、C；第二次有B、D、E；第三次有A、E、F。请问哪两位班长是同班的？21·世纪*教育网
用数字“1”表示到会，用数字“0”表示 没到会。
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师：通过列表你发现了什么？
生：第一次到会的情况：A只可能和D、E或F同班。
第二次到会的情况：A只可能和D或E同班。
第三次到会的情况：A只可能和D同班。
师：自己根据列表推出B、C分别与谁同班。
4.典题训练。
（1）王阿姨、刘阿姨、丁叔叔、李叔叔分别是 ( http: / / www.21cnjy.com )工人、教师、军人。王阿姨是教师；丁叔叔不是工人；只有刘阿姨和李叔叔的职业相同。请问：他们的职业各是什么？21cnjy.com
（2）学校组织了足球，航模和电脑兴趣小组， ( http: / / www.21cnjy.com )淘气、笑笑和小明分别参加了其中一项。笑笑不喜欢踢足球，小明没有参加电脑小组，淘气喜欢航模。他们分别在哪个小组。21·cn·jy·com
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5. 等量代换。
△□○☆◎各代表一个数
学生讨论交流后集体订正，汇报交流：
生1：一个△等于三个□的和。
生2：把△+□=24中的△换成□+□+□，这叫等量代换。
师讲解：
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分析：两个等式里都有☆。可以利用等式的性质解答。
学生独立解答后集体交流：
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6.典题训练。
（1）下面算式中△、○各代表一个数。
已知 ○+○ +○ + △+ △=114，△ +△ + △=63，求△、○的值。
（2）下面算式中△、○、□各代表一个数。
○+□=10， □+△ =12，○+□+△=15，求△、○、□的值。
7.平角的意义。
（1）师：什么是平角？平角与直线有什么区别？
生：一条射线绕它的端点旋转，当始边和终边在同一条直线上，方向相反时，所构成的角叫平角。
区别：直线是可以向两端无限延伸的,两端都没有 端点,长度不可测量；平角有顶点、始边及终边。
（2）平角的应用。
如图：两条直线相交于点o。
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①每相邻两个角可以组成一个平角，一共能组成几个平角？
独立完成后汇报交流：
平角的两边在一条直线上，
∠1和∠2， ∠ 2和∠3，∠3和∠4，∠4和∠1，一共能组成4个平角。
②你能推出∠1=∠3吗？
独立完成后汇报交流：
∠1和∠2，,2和∠3，都能组成平角。
∠1+∠2=1800， ∠ 2+∠3=180 0 ，
等式的两边同时减去∠2，可以得到：
∠1=1800 -∠2，∠3=1800 -∠2，
因为1800 -∠2=1800 -∠2，所以∠1=∠3。
8.典题训练。
（1）如图中∠1=30°，∠2=50°，求∠3、∠4、∠5的度数。
（2）如图，把三角形ABC的边BC延长到点D。21教育网
① ∠3和∠4拼成的是什么角？
②你能说明∠1+∠2= ∠4吗？
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学生独立完成后集体交流。
【教学反思】
本课在设计时，我就比较注重 ( http: / / www.21cnjy.com )让学生在参与过程中将思维充分调动起来，重视“说”的过程，在“说”出过程的基础上在进行对比交流和优化，并相机渗透数学化的思想，体悟数学的简洁美。学生只有在借助表格说思路的过程中能够充分意识到其价值，才会认同，才会自觉加以运用。
课前三分钟我采用故事导入，教会学生比较 ( http: / / www.21cnjy.com )长的连续自然数的加法的简便方法，让学生感受数学的规律性能解决很多复杂的数学问题，同时也为后面的教学做准备。导入我创设握手的情境引发思考，20个人每两个人要握一次手，一共需要握多少次手的问题，让学生感觉问题比较复杂。从而引入课题，并出示标杆题，让学生解决6个点可以连多少条线段的这个问题。通过这个问题的解决来寻找规律。在寻找规律时，我先让学生自主动手，让学生发现去画比较麻烦，也不容易看懂， 从而再次化难为易，从两个点开始寻找规律。学生通过填表观察每增加一个点后增加的条数和总条数数字间的规律，通过合作交流，讨论出一个简便的计算方法。从而达到学习目标。然后再进行类比训练，加强学生对知识的巩固。从而再回归到课前握手问题。学生很快就能用寻找到的规律去解决这个问题。拓展延伸部分我选用了教材练习，让学生去自主寻找规律，拓展学生思维。 21世纪教育网版权所有
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《数学思考》练习
一、填空题。
1．小明按规律写了一串数：1，2， ( http: / / www.21cnjy.com )3，-4，5，6，7，-8，9，10，11，-12，……他写的第50个数是（ ）。此时他已经写了（ ）个正数，（ ）个负数。www.21-cn-jy.com
2.若△ +△ =a，△ —△ =b，△×△ =c，△ ÷△ =d, a+b +c +d =100，那么△=（ ）
3. 如图，是由六个正方形重叠而成的，连接点正好是各个正方形的中心。若正方形的边长为，则该图形的周长是（ ）。 21·世纪*教育网
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4. 已知：☆+☆+☆=6，△+△+△+△=20， 则△－☆=( )
5. 已知：△ + ○ = 5 ○ + ☆ = 9 △ + ○ + ☆ = 13
△ =( ) ○= ( ) ☆=( )
6.找规律，填一填。
（1）3，9，11，17，20，＿，＿，36，41，…
（2）1，3，2，6，4，＿，＿，12，＿，…
二、判一判。
1.小强、小明、小勇三人参加数学竞赛，他们分别来自甲、乙、丙三个学校，并分别获得
一、二、三等奖．已知：
(1)小强不是甲校选手；
(2)小明不是乙校选手；
(3)甲校的选手不是一等奖；
(4)乙校的选手得二等奖；
(5)小明不是三等奖．
根据上述情况，可判断出小勇是哪个学校的选手，他得的是几等奖？
2. A，B，C，D四人中只有一人体育 ( http: / / www.21cnjy.com )未达标，当有人问他们是谁体育未达标时，A说：“是B”，B说：“是D”，C说：“不是我”，D说：“B说错了”。如果这四句话中只有一句是对的，那么体育未达标的是 谁？www-2-1-cnjy-com
三、解决问题。
1. 某校从5名候选人中选2名参加区“少代会”，有多少种不同的选法？
2. 128班同学在六一国际儿童节按下面的规律在教室里挂上气球。
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第20个气球是什么颜色的？第27个呢？请说明理由。
3. 小明、小莉、小刚、小芳四个好朋友站成一排拍毕业纪念照，要求男女间隔排列，一共有多少种站法？
4. 如图，仪器架分三层，上层 ( http: / / www.21cnjy.com )放一个大瓶和一个中瓶，中间放一个中瓶和4个小瓶，下层放6个小瓶。已知每层存放的药水量是一样多的，这个仪器架上存放的药水共36升。大瓶和中瓶中存放的药水一共有多少升？ 21教育网
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5. 如图，在△ABC中，线段BO和CO分别将∠ABC和∠ACB平均分成了两份。
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（1）若∠1+∠2=50°，那么∠O是多少度？
（2）若∠ABC+∠ACB=120°，那么∠O是多少度？
（3）若∠A=70°，那么∠O是多少度？
（4）通过计算，你发现∠O与∠A的关系是什么？
参考答案
一、填空题。
1.50，38，12。
解析：数字是按 ( http: / / www.21cnjy.com )照自然数的顺序依次写出的，遵循的规律是每3个正数之后出现1个负数，即可以看作每4个数成一个周期（3正1负）。第50个自然数就是50，而50不能被4整除，所以第50个数是正数50。求此时他已经写了几个正数、几个负数，只要用50除以4，看有几个周期，就有几个负数；其余的都是正数。21·cn·jy·com
2. 9
3. 答案：14a
解析：重叠在中间的正方形，只剩下两条边的 ( http: / / www.21cnjy.com )长度可计算在整个图形的周长中；而两端的两个正方形，剩下三条边的长度可计算在周长中。列式可得2a×4+3a×2=14a。在分析图形时，要特别注意：包含在图形内的边不能计算在整个图形的周长之中。
4. 32·1·c·n·j·y
5. △ =4 ○= 1 ☆=8
6.（1）26 30
解析：先找出规律，然后计算，规律是：
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（2）9 8 16
解析：先找出规律，然后计算，规律是：
( http: / / www.21cnjy.com )
二、判一判。
1.甲校；三等奖。
解析：由(2)、(4)知小明 ( http: / / www.21cnjy.com )得的不是二等奖，由(5)知小明得的不是三等奖，所以小明得的是-等奖，由(3)、(4)知小明是丙校的，由(1)知小强是乙校的，所以小勇是甲校的，他得的是三等奖.
2. C 。
解析：B与D的话刚好相反，所以肯定一对一错，又因为只有一句话是对的，所以A，C说的都错了，所以体育未达标的是C。【来源：21·世纪·教育·网】
三、解决问题。
1. 10种
解析：用A、B、C、D、E分别代表5名同学。
( http: / / www.21cnjy.com )
4+3+2+1=10（种）
2. 黄色 黄色
解析：20÷5=4，商正好是整数 ，没有余数，说明第20个气球是一个周期中的最后一个球。
27÷5=5…2，余数是2，第27个气球是一个周期中的第2个球。
3. 8
解析：共分两步，第一步有4种选择，第二步有2种选择。 4×2=8（种)
4. 12÷6=2（升）
2×2×2+2×4=16（升）
答：大瓶和中瓶中存放的药水一共有16升。
解析：根据题意可知，每层存放的药水都是12升，则最下层中每个小瓶存放的药水是12÷6=2（升）。结合下图，观察中层和下层可得，一个中瓶相当于两个小瓶存放的药水；再看上层和中层，一个大瓶相当于2个中瓶或4个小瓶存放的药水。
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5. 答案：（1）∠O=180°-50°=130° 答：若∠1+∠2=50°，那么∠O是130°。
（2）∠O=180°-120°÷2=120° 答：若∠ABC+∠ACB=120°，那么∠O是120°。
（3）∠O=180°-（180°-70°）÷2=125° 答：若∠A=70°，∠O是125°。
（4）∠O=180°-（∠1+∠2）
=180°-1/2（∠ABC+∠ACB）
=180°-1/2（180°-∠A）
=90°+1/2∠A
答：∠O等于90°加上∠A的一半。
解 ( http: / / www.21cnjy.com )析：第（1）题直接利用三角形内角和定理计算；根据“线段BO和CO分别将∠ABC和∠ACB平均分成了两份”，则∠1与∠2之和是∠ABC与∠ACB之和的一半，据此解答第（2）题；第（3）题利用三角形的内角和公式可得∠ABC与∠ACB之和为110°，再按上题的方法计算出∠O的度数；第（4）题利用已知条件和三角形内角和定理，推导出∠O与∠A的关系。21cnjy.com
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数学思考
人教版六年级下册第六单元第九课
知识梳理
数学思想和方法可以帮助我们有条理地思考，简捷地解决问题。
对应思想方法
假设思想方法
比较思想方法
类比思想方法
转化思想方法
分类思想方法
数形结合思想方法
数学思
想和方法
知识梳理
6个点可以连成多少条线段？8个点呢？
别着急，从2个点开始，逐渐增加点数，找找规律。
知识梳理
A
B
2个点1条线段
3个点共连：1+2=3 （条）
A
B
C
我们亲自画一画吧
知识梳理
A
B
C
D
4个点共连：1+2+3=6 （条）
A
B
C
D
E
5个点共连：1+2+3+4=10 （条）
我们亲自画一画吧
知识梳理
增加条数
点数
总条数
仔细观察这张表格，你能得到什么信息？
1
2
3
3
6
4
10
6
15
8个点：
6个点：
1+2+3+4+5=15（条）
1+2+3+4+5+6+7=28 （条）
……
……
……
知识梳理
A
B
C
D
E
n个点：n×（n-1）÷2
5个点共连：1+2+3+4=10 （条）
考虑到重复的线段，可以这样表示：
5×（5-1）÷2=10
根据规律，12个点、20个点能连多少条线段？
12个点： 12×（12-1）÷2=66（条）
20个点： 20×（20-1）÷2=190（条）
典题训练
观察下图，想一想。
（1）第7幅图有多少个棋子？第15幅图呢？
（2）第n幅图有多少个棋子？
第7幅图有49个棋子，第15幅图有225个棋子。
第n幅图有n × n个棋子。
典题训练
下图中一共有几条线段？
或者：7×（7-1）÷2=21（条）
（7-1）+5+4+3+2+1=21（条 ）
典题训练
用火柴棒按下图的方式搭三角形。
（2）照这样的规律搭下去，搭n个这样的三角形需要多少根火柴棒？
（1）填写下表：
需要火柴棒（2n+1）根。
……
三角形个数 1 2 3 4 5 … n
火柴的根数 …
3
5
7
9
11
2n+1
知识梳理
六年级有三个班，每班有2个班长。开班长会时，每次每班只要一个班长参加。第一次到会的有A、B、C；第二次有B、D、E；第三次有A、E、F。请问哪两位班长是同班的？
A B C D E F
第一次
第二次
第三次
逻 辑 推 理
用数字“1”表示到会，用数字“0”表示 没到会。
1
1
1
0
0
0
0
1
0
1
1
0
1
0
0
0
1
1
知识梳理
第一次到会的情况：A只可能和D、E或F同班。
第二次到会的情况：A只可能和D或E同班。
第三次到会的情况：A只可能和D同班。
通过列表你发现了什么？
自己根据列表推出B、C分别与谁同班。
典题训练
王阿姨、刘阿姨、丁叔叔、李叔叔分别是工人、教师、军人。王阿姨是教师；丁叔叔不是工人；只有刘阿姨和李叔叔的职业相同。请问：他们的职业各是什么？
王阿姨是教师，丁叔叔是军人，刘阿姨和李叔叔是工人。
学校组织了足球，航模和
电脑兴趣小组，淘气、笑笑
和小明分别参加了其中一项。
笑笑不喜欢踢足球，小明没
有参加电脑小组，淘气喜欢
航模。他们分别在哪个小组。
典题训练
典题训练
足球 航模 电脑
淘气
笑笑
小明
×
×
×
×
×
×
√
√
√
淘气在航模小组
笑笑在电脑小组
小明在足球小组
知识梳理
各代表一个数
、
、
、
、
等 量 代 换
+
=
（1）已知
24，
=
+
+
。求 和 的值。
一个 等于三个 的和。
把 + =24中的
换成 + + ，这叫等量代换。
知识梳理
可以这样解答
+
=
已知
24，
=
+
+
即4× =24
=
所以
6，
=
+
+
=18
可得 + =24
+
+
知识梳理
（2）已知 + =160， + =160。 是否等于 ？
两个等式里都有 。可以利用等式的性质解答。
知识梳理
已知 + =160， + =160。
根据等式的性质，两边都减去
可以推出， =160- ， =160-
因为 代表同一个数，所以 =
可以这样解答
典题训练
下面算式中 、 各代表一个数。
+
已知
=114，
+
+
+
+
=63
+
求 、 的值。
+
=63
+
+
=114，
+
+
+
3 ×
=63
=21
3 × +42
=114
3 ×
=72
=24
+ =10， + =12， + + =15。
典题训练
下面算式中 、 、 各代表一个数。
求 、 、 的值。
所以10+ =15
+ =10
因为 + + =15
=5
因为 + =12
所以 =7
因为 + =10
所以 =3
知识梳理
什么是平角？平角与直线有什么区别？
一条射线绕它的端点旋转，当始边和终边在同一条直线上，方向相反时，所构成的角叫平角。
区别：直线是可以向两端无限延伸的,两端都没有 端点,长度不可测量；平角有顶点、始边及终边。
知识梳理
如图：两条直线相交于点o。
（1）每相邻两个角可以组成一个平角，一共能组成几个平角？
平角的两边在一条直线上，
∠1和∠2， ∠ 2和∠3，∠3和∠4，∠4和∠1，一共能组成4个平角。
知识梳理
（2）你能推出∠1=∠3吗？
∠1和∠2，,2和∠3，都能组成平角。
∠1+∠2=1800， ∠ 2+∠3=180 0 ，
等式的两边同时减去∠2，可以得到：
∠1=1800 -∠2，∠3=1800 -∠2，
因为1800 -∠2=1800 -∠2，所以∠1=∠3。
典题训练
如图中∠1=30°，∠2=50°，求∠3、∠4、∠5的度数。
因为∠1+∠5=180 0 ， ∠ 1=30 0
所以∠5=1800 - ∠ 1
= 1800 - 30 0
= 150 0
典题训练
因为∠4+∠5=1800， ∠ 5=150 0
所以∠4=1800 - ∠ 5
= 1800 - 150 0
= 30 0
如图中∠1=30°，∠2=50°，求∠3、∠4、∠5的度数。
因为∠3+∠2+∠4=1800，
∠4=300 ， ∠2=500
所以∠3=1800 - ∠ 4 - ∠ 2
= 1800 - 30 0 - 500
= 100 0
典题训练
如图，把三角形ABC的边BC延长到点D。
（1） ∠3和∠4拼成的是什么角？
（2）你能说明∠1+∠2= ∠4吗？
（1） ∠3和∠4拼成的是平角。
（2）因为 ∠1+∠2+ ∠3=1800
∠3+ ∠4=1800
所以∠1+∠2+ ∠3=∠3+ ∠4
两边都减去∠3，可以得到：
∠1+∠2= ∠4
