课题：3.5确定圆的条件
课型：新授课
年级：九年级
学习目标：
1.
了解不在同一直线上的三个点确定一个圆，以及过不在同一直线上的三个点作圆的方法；
2．了解三角形的外接圆、三角形的外心等概念.
教学重点与难点：
重点：1．经历不在同一条直线上的三个点确定一个圆的探索过程，并能掌握这个结论．
2．掌握过不在同一条直线上的三个点作圆的方法．
难点：圆的条件确定．
教法与学法指导:
教法：1.创设情境法.通过多媒体课件展示，创设教学情境，激发学生学习热情.
2.设疑启发法.通过逐层设置疑问，启发学生思维，引导学生分析问题.
3.观察对比法.通过归纳类比，让学生由感性认识上升到理性认识.
学法：1.探索——发现法.学生通过独立作图思考，探索分析，提高数学分析能力.
2.合作学习法.学生通过小组分工作图，讨论交流等学习过程，加强合作意识，提高学习效果.
课前准备：
教师准备：多媒体课件．
学生准备：圆规、直尺、铅笔．
教学过程：
一、设置情境，引入新课
活动内容1：回答下列问题.
问题1：小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是（ ）
A．第①块
B．第②块
C．第③块
D．第④块
问题2：玻璃店里的师傅，要划出一块与原来大小一样的圆形玻璃，
他只要知道圆的什么就可以了？为什么？
问题3：作圆的关键是什么？
活动目的：通过问题串创设情境，激发学生的兴趣，让学生体会本课的价值.
为解决本节课的目标“确定圆的条件”和下环节的探究活动注入动力.
处理方式：问题1、2、3由学生口答完成，从而引入新课．
设计意图：在实际背景“四块玻璃碎片拿哪块可复制圆”
中创设情境，激发学生学习的兴趣和探究欲望，从而引入本节课所学内容．
二、合作交流
，探究新知
活动内容2：
探究一：过一点作圆．
我们知道经过一点可以作无数条直线，经过两点只能作一条直线，那么经过一点A能作几个圆 请动手作图试一试.
处理方式：学生独立作图
，两分钟后分组交流展示自己的作图和想法.学生经过小组讨论交流的方式总结得出：作圆实质上是确定圆心和半径，要经过已知点A作圆，只要圆心确定下来，半径就随之确定了下来．所以，以点A以外的任意一点为圆心，以这一点与点A所连的线段为半径就可以作一个圆．由于圆心是任意的．因此这样的圆有无数个，如图（１）．
探究二：过两点作圆．
作圆，使它经过已知点A、B.你是如何作的 你能作出几个这样的圆 其圆心的分布有什么特点 与线段AB有什么关系 为什么
处理方式：学生在教师的指导下画图
，两分钟后教师实物投影并请学生说明原因：已知点A、B都在圆上，它们到圆心的距离都等于半径．因此圆心到A、B的距离相等．根据前面学到过的线段的垂直平分线的性质可知，线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，则圆心应在线段AB的垂直平分线上．在AB的垂直平分线上任意取一点，都能满足到A、B两点的距离相等，所以在AB的垂直平分线上任取一点都可以作为圆心，这点到A的距离即为半径．圆就确定下来了．由于线段AB的垂直平分线上有无数点，有无数个圆心，作出的圆有无数个．如图(2)．
探究三：过三点作圆．
问题1：经过同一直线上的A、B、C三点能作圆吗？
问题2：作圆，使它经过已知点A、B、C(A、B、C三点不在同一条直线上)．你是如何作的 你能作出几个这样的圆
处理方式：教师以问题串的形式对学生进行启发：（1）你准备如何确定圆心、半径作圆？（2）其圆心的位置有什么特点 与A、B、C有什么关系？要使圆心到点Ａ、Ｂ、Ｃ的距离相等，圆心Ｏ须在什么位置上？学生自己动动手，小组之间交流，看看谁画的是符合条件的图形，然后教师展示课件对比．
学生经过交流讨论得出：要作一个圆经过A、B、C三点，就是要确定一个点作为圆心，使它到三点的距离相等．因为到A、B两点距离相等的点的集合是线段AB的垂直平分线，到B、C两点距离相等的点的集合是线段BC的垂直平分线；当A、B、C三点在同一条直线上时：
因为到A、B两点距离相等的点的集合是线段AB的垂直平分线，到B、C两点距离相等的点的集合是线段BC的垂直平分线，两条直线垂直于同一条直线，所以线段AB的垂直平分线与线段BC的垂直平分线平行，没有交点，故没有一点到Ａ、Ｂ、Ｃ三点的距离相等，不存在圆心，从而经过同一直线上的三点不能作圆，如图所示：
当A、B、C三点不在同一条直线上时：这两条垂直平分线的交点满足到A、B、C三点的距离相等，就是所作圆的圆心．ＯＡ或ＯＢ或ＯＣ是半径．因为两条直线的交点只有一个，所以只有一个圆心，半径也唯一确定所以只能作出一个满足条件的圆．
学生相互讨论互相补充说明作图步骤，然后教师多媒体展示作图方法步骤．
展示：
作法
图示
1．连结AB、BC
2．分别作AB、BC的垂直平分线DE和FG，DE和FG相交于点O
3．以O为圆心，OA为半径作圆⊙O就是所要求作的圆
问题3：你能证明你做得圆符合要求吗？
学生进行证明.
证明:∵点O在AB的垂直平分线上，
∴OA=OB
同理,OB=OC
∴OA=OB=OC
∴点A,B,C在以O为圆心的圆上．
∴⊙O就是所求作的圆．
由上可知，过已知一点可作无数个圆，过已知两点也可作无数个圆，过不在同一条直线上的三点可以作一个圆，并且只能作一个圆．
因此，（板书）
不在同一直线上的三个点确定一个圆．
处理方式：学生亲自动手画图：体会过已知一点可作无数个圆；过已知两点也可作无数个圆；不在同一直线上的三个点确定一个圆.
设计意图：以问题串的形式逐层引导学生由易到难地开展探究活动、培养学生的探究精神，使学生体会在这一过程中所体现的归纳思想，从中探究出：①不在同一直线上的三个点为什么只确定一个圆？②这个圆如何用“尺规”作出？同时培养学生分类讨论的思想.
三、合作探究，展示交流
上图连接ＡＣ，则得三角形ＡＢＣ．由上可知，经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆(circumcircle
of
triangle)．这个三角形叫这个圆的内接三角形．
外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心(circumcenter)．
探究：分别作出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的外接圆,并说明它们外心的位置情况.
处理方式：教师组织学生分组作出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的外接圆，并实物投影，根据图形说明它们外心的位置情况.学生通过探究得出结论：
锐角三角形的外心位于三角形内，直角三角形的外心位于直角三角形斜边中点，钝角三角形的外心位于三角形外.
设计意图：三角形外接圆，三角形的外心的概念等问题，从而实现本节课的教学目标，突破重点难点，使学生巩固过三点作圆的方法.通过合作交流了解三种三角形的外心得位置.
巩固找三角形的外心的方法，进一步体验“不在同一直线上的三点确定一个圆”的事实.另外也体会到三角形的形状对它的外心位置带来的影响.
四、范例点击，应用所学
例1
（多媒体展示）长沙马王堆一号汉墓的发掘，在我国的考古界算得上惊人的发现，在世界考古学史上，也产生了深远的影响.一位考古学家在马王堆汉墓挖掘时，发现一圆形瓷器碎片，你能帮助这位考古学家将这个破损的圆形瓷器复原，以便于进行深入的研究吗？
解：如图，在残破的圆片的弧形线上任取三点A、B、C连接AB、BC,分别作AB、BC的垂直平分线，两垂直平分线交与O点，以O为圆心,OA为半径作圆，则此圆是破损的圆形瓷器所在的圆.
处理方式：引导学生亲自动手画图，体会过不在同一直线上的三个点确定一个圆，进一步明确作圆的关键是确定圆心和半径的大小．确定了圆心和半径，圆就随之确定．
设计意图：通过本节课的学习解决情境中的实际问题，首尾呼应，浑然一体，学生亲自动手画图参与知识的探索过程，享受发现知识的快乐，学生情绪高涨，学习效率高.
五、回顾反思，提炼升华
同学们，竹子每生长一步，必做小结，所以它是世界上长的最快的植物，数学的学习也是如此.通过这节课的学习，你有哪些收获？有何感想？学会了哪些方法？先想一想，再分享给大家．
学生畅谈自己的收获！
活动目的：让学生回顾本节课的学习内容，学会归纳，善于总结，做一个有心人；促进学生巩固所学知识，锻炼整理归纳知识体系的能力，培养学生的合作意识和语言表达能力．
注意事项：充分发挥学生的主体作用，锻炼学生归纳、整理、表达的能力．
处理方式：1、学生自主总结交流本节课的收获与感受；2、总结总结出确定圆的条件，回顾利用尺规过不在同一条直线上的三点作圆的方法．虽然学生的程度不同，但不同程度的学生都能够有所收获.学生回答不完整的，再由老师补充小结．师生共同完成如下的问题：
（1）确定圆的条件——
（2）锐角三角形
在三角形的内部
直角三角形
外心的位置
在斜边上
钝角三角形
在三角形的外部
三角形的外心具有的特征是：到三个顶点的距离相等，因它是三边中垂线的交点.
设计意图：课堂总结是知识沉淀的过程，使学生对本节课所学进行梳理，养成反思与总结的习惯，培养自我反馈，自主发展的意识．
六、达标检测
提升自我
师：通过本节课的学习，同学们的收获真多！收获的质量如何呢？请完成导学案中的达标检测题．（同时多媒体出示）
1.
下面四个命题中真命题的个数是（
）
①经过三点一定可以做圆；
②任意一个三角形一定有一个外接圆，而且只有一个外接圆；
③任意一个圆一定有一个内接三角形，而且只有一个内接三角形；
④三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等．
A．4个
B．3个
C．2个
D．1个
2．下列命题中的假命题是（
）
A．三角形的外心到三角形各顶点的距离相等
B．三角形的外心到三角形三边的距离相等
C．三角形的外心一定在三角形一边的中垂线上
D．三角形任意两边的中垂线的交点，是这个三角形的外心
3.
边长为3，4，5的三角形的外接圆的半径是__________．
4．如下图，CD所在的直线垂直平分线段AB．怎样使用这样的工具找到圆形工件的圆心
5．如图，点A、B、C表示三个村庄，现要建一座深水井泵站，向三个村庄分别送水，为使三条输水管线长度相同，水泵站应建在何处？请画出图，并说明理由．
处理方式：学生做完后，教师出示答案，指导学生校对，并统计学生答题情况．学生根据答案进行纠错．
设计意图：学以致用，通过几道练习题进一步巩固本节课所学的知识，当堂检测及时获知学生对所学知识掌握情况，并最大限度地调动全体学生学习数学的积极性，使每个学生都能有所收益、有所提高，明确哪些学生需要在课后加强辅导，达到全面提高的目的．
七、布置作业，课堂延伸
必做题：课本87页，习题3.6第1题．
选做题：助学265页，自主评价第1到7题．
结束语：同学们，本节课的学习你们给我留下了深刻的印象，同时也给了我太多的感动与惊喜，谢谢大家！祝愿同学们：信心百倍，走好九年级的每一步，成就不凡的自己.
板书设计
§3.5确定圆的条件
一、过已知点A作圆二、过已知点A、B作圆
三、过不在同一直线上已知点A、B、C作圆
四、例题讲解解：
五、检测讲解
投影区
学
生
活
动
区
图2
图1
不在同一直线上的三点
圆心、半径(共17张PPT)
§3．5
确定圆的条件
长沙马王堆一号汉墓的发掘，在我国的考古界算得上惊人的发现，在世界考古学史上，也产生了深远的影响。一位考古学家在马王堆汉墓挖掘时，发现一圆形瓷器碎片，你能帮助这位考古学家将这个破损的圆形瓷器复原，以便于进行深入的研究吗？
1、过一点可以作几条直线？
2、过两点可以作几条直线？
●A
●A
●B
3、过三点可以作几条直线？
经过一个已知点A能确定一个圆吗
A
经过一个已知点能作无数个圆
经过两个已知点A、B能确定一个圆吗
经过两个已知点A、B能作无数个圆
●A
●B
●O
●O
●O
●O
经过两点A,B的圆的圆心在线段AB的垂直平分线上.
经过三个已知点A，B，C能确定一个圆吗？
1、A,B,C三点不在一条直线上.
2、A,B,C三点在一条直线上.
已知：不在同一直线上的三点A、B、C
求作：
⊙O使它经过点A、B、C
作法：1、连结AB，作线段AB的垂直平分线MN；
2、连接AC，作线段AC的垂直平分线EF，交MN于点O；
3、以O为圆心，OA为半径作圆。所以⊙O就是所求作的圆。
O
N
M
F
E
A
B
C
A
B
C
过如下三点能不能做圆
为什么
不在同一直线上的三点确定一个圆
确定一个圆的条件：
过在一条直线上的A,B,C三点作不出圆.
经过三角形各个顶点的圆
叫做三角形的外接圆，外接圆
的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做圆的内接三角形。
如图：⊙O是△ABC的外接圆，
△ABC是⊙O的内接三角形，点O是△ABC的外心
外心是△ABC三条边的垂直平分线的交点，它到三角形的三个顶点的距离相等。
C
A
B
O
锐角三角形的外心位于三角形内.
直角三角形的外心位于直角三角形斜边中点.
钝角三角形的外心位于三角形外.
A
B
C
●O
A
B
C
C
A
B
┐
●O
●O
练习：1、作出下列三角形的外接圆，注意它们的圆心（外心）分别在什么地方？
现在你知道了怎样要将一个如图所示的破损的圆盘复原了吗？
方法:
1、在圆弧上任取三点A、B、C。
2、作线段AB、BC的垂直平分线,
交于点O。
3、以点O为圆心，OC长为半径作圆。
⊙O即为所求作的圆。
A
B
C
O
1、通过本课的学习，你有什么收获？还有什么问题？
2、确定圆的条件——
不在同一直线上的三点
圆心、半径
3、锐角三角形
在三角形的内部
直角三角形
--外心的位置---
在斜边上
钝角三角形
在三角形的外部
1.
下面四个命题中真命题的个数是（
）
①经过三点一定可以做圆；
②任意一个三角形一定有一个外接圆，而且只有一个外接圆；
③任意一个圆一定有一个内接三角形，而且只有一个内接三角形；
④三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等．
A．4个
B．3个
C．2个
D．1个
2．下列命题中的假命题是（
）
A．三角形的外心到三角形各顶点的距离相等
B．三角形的外心到三角形三边的距离相等
C．三角形的外心一定在三角形一边的中垂线上
D．三角形任意两边的中垂线的交点，是这个三角形的外心
3.
边长为3，4，5的三角形的外接圆的半径是__________．
4.图中工具的CD边所在直线恰好垂直平分AB边，怎样用这个工具找出一个圆的圆心。
C
A
B
D
圆心
5.如图，点A、B、C表示三个村庄，现要建一座深水井泵站，向三个村庄分别送水，为使三条输水管线长度相同，水泵站应建在何处？请画出图，并说明理由．
●
●
●
B
A
C
