课题：1.1.2锐角三角函数
课型：新授课
年级：九年级
教学目标：
1．经历探索直角三角形中边角关系的过程，理解正弦和余弦的意义．
2．能够运用sinA、cosA表示直角三角形两边的比．
3．能根据直角三角形中的边角关系，进行简单的计算．
4．理解锐角三角函数的意义．
教学重点与难点：
重点：理解锐角三角函数正弦、余弦的意义，并能举例说明．能用sinA、cosA表示直角三角形两边的比．
难点：用函数的观点理解正弦、余弦和正切．
课前准备：多媒体课件．
教学过程:
一、创设情境，提出问题，引入新课
（导入语）师：上一节课，我们讨论了用倾斜角的对边与邻边之比来刻画梯子的倾斜程度，并且得出了当倾斜角确定时，其对边与斜边之比随之确定．也就是说这一比值只与倾斜角有关，与直角三角形的大小无关．并在此基础上用直角三角形中锐角的对边与邻边之比定义了正切．
现在我们提出两个问题：
问题1：当直角三角形中的锐角确定之后，其他边之间的比也确定吗？
问题2：梯子的倾斜程度与这些比有关吗？如果有，是怎样的关系？
设计意图：通过复习回顾上节课学习的要点和梯子的倾斜问题入手，起到了温故知新的作用，也激起了学生探究活动的兴趣．
二、探究学习，感悟新知
活动内容1：正弦、余弦及三角函数的定义
问题1：当直角三角形中的锐角确定之后，其他边之间的比也确定吗？
处理方式：
引导学生小组内充分讨论和说理，合作探究，尝试解决这个问题．问题可细化处理如下：
(1)直角三角形AB1C1和直角三角形AB2C2有什么关系？
(2)
和有什么关系？和呢？
(3)如果改变B2在梯子AB1上的位置呢？你由此可得出什么结论？
(4)如果改变梯子AB1的倾斜角的大小呢？你由此又可得出什么结论？
请同学们讨论后回答．
学生得出结论:
只要梯子的倾斜角确定，倾斜角的对边与斜边的比值，倾斜角的邻边与斜边的比值随之确定．也就是说，这一比值只与倾斜角有关，而与直角三角形大小无关．
（过渡语）师：我们会发现这是一个变化的过程．对边与斜边的比值、邻边与斜边的比值都随着倾斜角的改变而改变，同时，如果给定一个倾斜角的值，它的对边与斜边的比值，邻边与斜边的比值是唯一确定的．这是一种什么关系呢？
生可能回答：函数关系．
定义：
在Rt△ABC中，如果锐角A确定，那么∠A的对边与斜边的比、邻边与斜边的比也随之确定．如图，∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正弦(sine)，记作sinA，即
sinA＝．
∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦(cosine)，记作cosA，即
cosA＝
锐角A的正弦、余弦和正切都是∠
A的三角函数(trigonometric
function)．
处理方式：引导学生讨论，使学生理解，当直角三角形中的锐角A确定时，∠A的对边与斜边的比值，∠A的邻边与斜边的比值，∠A的对边与邻边的比值也都唯一确定．在“∠A的三角函数”概念中，∠A是自变量，其取值范围是0°＜A＜90°；三个比值是因变量．当∠A变化时，三个比值也分别有唯一确定的值与之对应．
问题2：梯子的倾斜程度与这些比有关吗？如果有，是怎样的关系？
处理方式：小组讨论，然后学生踊跃发言，各抒己见．
结论：梯子的倾斜程度与sinA和cosA有关:
sinA越大,梯子越陡;cosA越小,梯子越陡.
设计意图：通过对活动内容的探究，使学生掌握如何通过观察、猜想、操作等试验手段探究数学知识。同时，学生在相互合作交流的过程中发现知识，掌握知识．
活动内容2：三角函数的应用
应用一：例题讲解
例2：如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝200，sinA＝0.6，求BC的长．
处理方式：此例题可以完全放手给学生，让其尝试利用所学新知解决简单的问题．在此问题的解决过程中，可以采取小组内交流展示，班级展示等多种形式，对于条理不清楚以及书写不规范等问题，教师及时予以指出．
可一名学生板书：
解：在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝200．
sinA＝0.6，即＝0.6，BC＝AC×0.6＝200×0.6＝120．
题后拓展：
思考：(1)cosA＝？
(2)sinC＝？
cosC＝？
(3)由上面计算，你能猜想出什么结论？
解：根据勾股定理，得
AB＝＝160．
在Rt△ABC中，CB＝90°．
cosA＝＝0.8，
sinC＝＝0.8，
cosC＝＝0.6．
由上面的计算可知
sinA＝cosC＝0.6，
cosA＝sinC＝0.8．
因为∠A＋∠C＝90°，所以，结论为“一个锐角的正弦等于它余角的余弦”“一个锐角的余弦等于它余角的正弦”．
设计意图：本例主要考查利用正弦的定义求对边的长，及在初步总结“一个锐角的正弦等于它余角的余弦”“一个锐角的余弦等于它余角的正弦”这一结论．
应用二：做一做
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，cosA＝，AC＝10，AB等于多少？sinB呢？cosB、sinA呢？你还能得出类似例1的结论吗？请用一般式表达．
处理方式：学生尝试独立完成，教师巡视及时发现问题，并对有困难的学生给予帮助．
可展示学生的解题过程：
解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝10，cosA＝，cosA＝，
∴AB＝＝10×，
sinB＝＝cosA＝．
根据勾股定理，得
BC2＝AB2－AC2＝()2－102＝
∴BC＝．
∴cosB＝，
sinA＝．
可以得出同例1一样的结论．
∵∠A＋∠B＝90°，
∴sinA＝cosB＝cos(90°－A)，即sinA＝cos(90°－A)；
cosA＝sinB＝sin(90°－A)，即cosA＝sin(90°－A)．
设计意图：主要使学生进一步体会余弦、正弦定义的进一步的应用，同时渗透了sin(90°－A)＝cosA，cos(90°－A)＝sinA．
三、回顾反思，提炼升华
师：同学们，各位同学表现非常积极，相信通过本节课的学习，你的收获一定不少，先思考一下，把你的收获与不足和大家一起分享吧！
处理方式：学生畅谈自己的收获！
设计意图：鼓励学生通过自己的思考、归纳、总结本节课所学的知识要点，并敢于提出问题，说出自己的困惑，使学生带着问题走进课堂，又带着思索走出课堂，不仅激发了学生的学习兴趣，而且使数学学习延伸到课外．
四、达标检测，反馈提高
（多媒体演示）
1．如图,在Rt△ABC中,锐角A的对边和邻边同时扩大100倍,sinA的值（
）
A.扩大100倍
B.缩小100倍
C.不变
D.不能确定
2．在等腰三角形ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，求sinB，cosB，tanB．
3．在△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，BC＝20，求△ABC的周长和面积．
处理方式：学生在练习本独立完成，教师巡视，及时发现学生出现的问题，并给予指导.
完成后各小组内进行交流矫正，看哪个小组完成的又对又快，并对表现好的小组进行表扬.
设计意图：及时反馈，了解学生对本节课知识的掌握情况，让学生在独立自主解答问题的过程中，进一步巩固所学的知识，夯实基础，同时培养学生发现问题，解决问题的能力．
五、布置作业，课堂延伸
基础题：课本P5
习题1.2 第1、3题．
提高题：数学助学“自主评价”部分．
设计意图：采取分层做题，使学生根据自身的实际学习情况选择不同的作业，既满足了不同层次学生的需求，又提高作业的实效性，促进学生学习兴趣与质量的提高．使学生保持爱好数学的兴趣，让优等生有一个长足的发展的广阔空间．
板书设计：
§1.1锐角三角函数（2）
一、正弦、余弦的定义在Rt△ABC中，如果锐角A确定，sinA＝cosA＝
二、三角函数的定义三、例题解析
四、达标检测
学生练习区
投影展示区(共14张PPT)
创设情景，提出问题
我们讨论了用倾斜角的对边与邻边之比来刻画梯子的倾斜程度，并且得出了当倾斜角确定时，其对边与斜边之比随之确定．
现在我们提出两个问题：
问题1：当直角三角形中的锐角确定之后，其他边之间的比也确定吗？
问题2：梯子的倾斜程度与这些比有关吗？如果有，是怎样的关系？
问题1：如图,当Rt△ABC中的一个锐角A确定时,它的对边与邻边的比便随之确定.此时,其它边之间的比值也确定吗
探究学习，感悟新知
(1)直角三角形AB1C1和直角三角形AB2C2有什么关系？
(3)如果改变B2在梯子AB1上的位置呢？你由此可得出什么结论？
(4)如果改变梯子AB1的倾斜角的大小呢？你由此又可得出什么结论？
请同学们讨论后回答．
思考
：
正弦与余弦的定义
在Rt△ABC中,锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦,记作sinA,即
在Rt△ABC中,锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦,记作cosA,即
锐角A的正弦、余弦、正切都是∠A的三角函数.
结论:梯子的倾斜程度与sinA和cosA有关:
sinA越大,梯子越陡;
cosA越小,梯子越陡.
如图,梯子的倾斜程度与sinA和cosA有关吗
想一想：
问题2：梯子的倾斜程度与这些比有关吗？如果有，是怎样的关系？
学以致用：
例2
如图:在Rt△ABC中,∠B=900,AC=200,sinA=0.6.
求:BC的长.
解:在Rt△ABC中,
请你求出cosA,tanA,sinC,cosC和tanC的值.
你发现了什么：
由计算可知：
sinA＝cosC＝0.6，
cosA＝sinC＝0.8．
结论为“一个锐角的正弦等于它余角的余弦”，“一个锐角的余弦等于它余角的正弦”．
求:AB,sinB.
注意到这里cosA=sinB,其中有没有什么内在的关系
如图:在Rt△ABC中,∠C=900,AC=10,
做一做：
回顾反思，提炼升华
通过本节课的学习，你有哪些收获？有何感想？你学会了哪些方法？把你的收获与不足和大家一起分享吧！
达标检测，反馈提高
1．如图,在Rt△ABC中,锐角A的对边和邻边同时扩大100倍,sinA的值（
）
A.扩大100倍
B.缩小100倍
C.不变
D.不能确定
达标检测，反馈提高
2．在等腰三角形ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，求sinB，cosB，tanB．
．
3．在△ABC中，∠C＝90°，sinA＝
，
BC＝20，求△ABC的周长和面积
达标检测，反馈提高
布置作业，课堂延伸
基础题：课本P5
习题1.2 第1、3题．
提高题：数学助学“自主评价”部分．
