(共14张PPT)
函数
变量之间的关系
有的放矢
一次函数y=kx+b
(k≠0)
反比例函数
？
正比例函数y=kx(k≠0)
①回顾我们学过的知识，想一想我们用什么来描述两个变量之间的关系？
②到目前为止我们学过了哪些函数？它们的关系式分别是怎样的？
情境引入
问题①现有一根12m长的绳子，用它围成一个矩形，如何围法，才能使矩行的面积最大？小明同学认为当围成的矩形是正方形时
，它的面积最大，他说的有道理吗？
问题②很多同学都喜欢打篮球，你知道吗：投篮时，篮球运动的路线是什么曲线？怎样计算篮球达到最高点时的高度？
源于生活的数学
某果园有100棵橙子树,每一棵树平均结600个橙子.现准备多种一些橙子树以提高产量,但是如果多种树,那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少结5个橙子.
活动1
(1)问题中有那些变量？其中哪些是自变量？哪些是因变量？
(2)假设果园增种x棵橙子树,那么果园共有多少棵橙子树？这时平均每棵树结多少个橙子？
(3)如果果园橙子的总产量为y个,那么请你写出y与x之间的关系式.
生活问题数学化
果园共有（100+x）棵树,平均每棵树结（600-5x）个橙子,因此果园橙子的总产量
想一想
你能根据表格中的数据作出猜想吗？
y=(100+x)(600-5x)=-5x +100x+60000.
在上述问题中,种多少棵橙子树,可以使果园橙子的总产量最多？
X/棵
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
Y/个
亲历知识的发生和发展
银行的储蓄利率是随时间的变化而变化的,也就是说，利率是一个变量.在我国,利率的调整是由中国人民银行根据国民经济发展的情况而决定的.
活动2
设人民币一年定期储蓄的年利率是x,一年到期后,银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存.如果存款是100元,那么请你写出两年后的本息和y(元)的表达式(不考虑利息税).
y=100(x+1) =100x +200x+100.
二次函数
y=-5x +100x+60000,
y=100x +200x+100.
归纳总结
1.y是x的函数吗？y是x的一次函数？反比例函数？
2.定义：一般地，若两个变量x，y之间的对应关系可以表示成y＝ax2＋bx＋c(其中a,b,
c是常数，a≠0)的形式，则称y是x的二次函数(quadratic
funcion)
．其中x是自变量，a为二次项系数，ax2叫做二次项，b为一次项系数，bx叫做一次项，c为常数项．
在实践中感悟
2.下列函数中,哪些是二次函数？
概念理解
(1）y=3(x-1) +1;
(3)
s=3-2t .
(5)y=(x+3) -x .
(6)
v=10πr .
1、函数y＝ax2＋bx＋c
(其中a，b，c是常数)当a，b，c满足什么条件时
(1)它是二次函数
(2)它是一次函数？
(3)它是正比例函数？
4.用总长为60m的篱笆围成矩形场地，场地面积S(m )与矩形一边长a(m)之间的关系是什么？是函数关系吗？是哪一种函数？
3、分别说出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项：
（1）
；（2）
；
（3）
概念理解
定义中应该注意的几个问题:
认识
体会
1.y=ax +bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的几种不同表示形式:(1)y=ax (a≠0,b=0,c=0,).
(2)y=ax +bx+c(a≠0,b=0,c≠0).
(3)y=ax +bx+c(a≠0,b≠0,c=0).
2.定义的实质是：（1）等号左边是变量y，右边是关于自
变量x的整式；（2）a,b,c为常数，且a≠0；（3）等式的右边最高次数为2，可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项；（4）自变量x的取值范围是任意实数．
应用提升
例
已知函数y=（m＋2）x
＋2x－1是二次函数，求m的值．
解:由题意得
∴
m＝2
达标检测
1．函数y=（m－n）x2＋mx＋n是二次函数的条件是（
）
A．m、n为常数，且m≠0
B．m、n为常数，且m≠n
C．m、n为常数，且n≠0
D．m、n可以为任何常数
2．半径为3的圆，如果半径增加2x，则面积S与x之间的函数表达式为（
）
A．S=2π（x＋3）2
B．S=9π＋x
C．S=4πx2＋12x＋9
D．S=4πx2＋12x＋9π
3．下列函数关系中，可以看作二次函数y=ax2＋bx＋c（a≠0）模型的是（
）
A．在一定的距离内汽车的行驶速度与行驶时间的关系
B．我国人口年自然增长率为1%，这样我国人口总数随年份的变化关系
C．竖直向上发射的信号弹，从发射到落回地面，信号弹的高度与时间的关系（不计空气阻力）
D．圆的周长与圆的半径之间的关系．
4．下列函数中，二次函数是（
）
A．y=6x2＋1
B．y=6x＋1
C．y=
＋1
D．y=
＋1
5．若函数为
二次函数，
则m的值为
．
6．在生活中，我们知道，当导线有电流通过时，就会发热，它们满足这样一个表达式：若导线电阻为R，通过的电流强度为I，则导线在单位时间所产生的热量Q=RI2．若某段导线电阻为0．5欧姆，通过的电流为5安培，则我们可以算出这段导线单位时间产生的热量Q=
．
7．某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件．现在他采用提高售出价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品每提高1元，其销售量就要减少10件．若他将售出价定为x元，每天所赚利润为y元，请你写出y与x之间的函数表达式？课题：2.1
二次函数
课型：新授课
年级：九年级
教学目标：
1.探索并归纳二次函数的定义.
2.能够用二次函数表示简单的变量之间的关系.
3.
从实际情景中让学生经历探索分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，获得用二次函数表示变量之间关系的体验，并通过合作交流体验学习的乐趣.
教学重、难点：
重点：理解二次函数的概念．
难点：经历探索，分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程．
课前准备：多媒体课件．
教学过程：
一、复习回顾，创景导入
1、温故知新（多媒体出示复习回顾问题）
①回顾我们学过的知识，想一想我们用什么来描述两个变量之间的关系？
②到目前为止我们学过了哪些函数？它们的关系式分别是怎样的？
处理方式：先由学生独立思考，然后找学生口答上述问题，师生共同补充.
2、情境引入
问题①现有一根12m长的绳子，用它围成一个矩形，如何围法，才能使矩行的面积最大？小明同学认为当围成的矩形是正方形时
，它的面积最大，他说的有道理吗？
问题②很多同学都喜欢打篮球，你知道吗：投篮时，篮球运动的路线是什么曲线？怎样计算篮球达到最高点时的高度？
这些问题都可以通过学习二次函数的数学模型来解决，今天我们学习“二次函数”．
【教师板书课题：2.1
二次函数】
设计意图：复习旧知识，为学习新知识奠定基础，设问质疑引出新知识，使学生产生强烈的求知欲望，充分调动了学生的学习积极性和主动性．
二、合作探究，获取新知
活动内容1：（多媒体出示）
某果园有100棵橙子树，每一棵树平均结600个橙子.现准备多种一些橙子树以提高产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子.
问题1：问题中有哪些变量？其中哪些是自变量？哪些是因变量？
问题2：假设果园增种x棵橙子树，那么果园共有多少棵橙子树？这时平均每棵树结多少个橙子？
问题3：如果果园橙子树的总产量为y个，那么请你写出y与x之间的关系式.
处理方式:分步按顺序依次完成上述三个问题：找学生口答，然后师生共同补充；处理完这三个问题后，教师可继续提问：在上述问题中，增种多少棵橙子树，可以使果园的总产量最多？并引导学生合作探究.教师要鼓励学生大胆猜想，用自己的方法去解决问题，对学生的做法给予指导和肯定.再出基础上出示下表让学生填写，进而验证自己的猜想.
设计意图：让学生数学活动过程中初步感受到这种“新”的函数在表现形式和函数值的增减性上与以前所学函数的差异，以及在解决最大值问题中的作用．
活动内容2：（多媒体出示）
设人民币一年定期储蓄的年利率是x，一年到期后，银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存.如果存款是100元，那么请你写出两年后的本息和y（元）的表达式（不考虑利息税）.
处理方式：先让学生自主独立探求，尝试写出y与x之间的函数表达式．在独立自主探求的基础上，小组进行合作交流，共同探讨．然后展示答案，教师对于解决问题有困难的学生从以下两个方面进行指导：⑴银行的储蓄利率是随时间的变化而变化的，利率是一个变量；⑵利息＝本金×利率×期数（时间）．
设计意图：让学生通过解决实际生活中的数学问题，进一步了解掌握用函数表达式反应变量的变化过程．
三、归纳总结，生成新知
活动内容1：二次函数定义
一般地，若两个变量，之间的对应关系可以表示成(其中,,
是常数，)的形式，则称是的二次函数(quadratic
funcion)
．其中是自变量，为二次项系数，叫做二次项，为一次项系数，叫做一次项，为常数项．
活动内容2：概念理解
1、函数
(其中，，是常数)当，，满足什么条件时
(1)它是二次函数
(2)它是一次函数？
(3)它是正比例函数？
2、下列函数中，哪些是二次函数？
；
；
；
；
3、分别说出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项：
；
；
4.用总长为60m的篱笆围成矩形场地，场地面积S(m )与矩形一边长a(m)之间的关系是什么？是函数关系吗？是哪一种函数？
处理方式：先让学生自主独立思考，尝试解答，然后找学生口答；师生共同纠错．
设计意图：进一步加深对二次函数概念的理解与认识，学会运用概念解决一些简单的数学问题．同时对二次函数的特征及注意事项进行强调：（1）等号左边是变量，右边是关于自
变量的整式；（2），，为常数，且；（3)等式的右边最高次数为2，可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项；（4）自变量的取值范围是任意实数．
活动内容3：应用提升
例
已知函数是二次函数，求的值．
处理方式：先给学生两分钟时间独立思考尝试解答，然后找学生板演，学生评析，老师纠正并对二次项系数重点做强调.
四、回顾反思，提炼升华
活动内容：通过这节课的学习，你有哪些收获？有何感想？学会了哪些方法？先想一想，再分享给大家．
处理方式：学生畅谈自己的收获！
设计意图：课堂总结是知识沉淀的过程，使学生对本节课所学进行梳理，养成反思与总结的习惯，培养自我反馈，自主发展的意识．
五、达标检测，反馈提高（多媒体出示）
活动内容：通过本节课的学习，同学们的收获真多！收获的质量如何呢？请完成导学案中的达标检测题．
1．函数是二次函数的条件是（
）
A．m、n为常数，且m≠0
B．m、n为常数，且m≠n
C．m、n为常数，且n≠0
D．m、n可以为任何常数
2．半径为3的圆，如果半径增加2x，则面积S与x之间的函数表达式为（
）
A．
B．
C．
D．
3．下列函数关系中，可以看作二次函数y=ax2＋bx＋c（a≠0）模型的是（
）
A．在一定的距离内汽车的行驶速度与行驶时间的关系
B．我国人口年自然增长率为1%，这样我国人口总数随年份的变化关系
C．竖直向上发射的信号弹，从发射到落回地面，信号弹的高度与时间的关系（不计空气阻力）
D．圆的周长与圆的半径之间的关系．
4．下列函数中，二次函数是（
）
A．
B．
C．
D．
5．若函数为二次函数，则m的值为
．
6．在生活中，我们知道，当导线有电流通过时，就会发热，它们满足这样一个表达式：若导线电阻为R，通过的电流强度为I，则导线在单位时间所产生的热量Q=RI2．若某段导线电阻为0．5欧姆，通过的电流为5安培，则我们可以算出这段导线单位时间产生的热量Q=
．
7．某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件．现在他采用提高售出价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品每提高1元，其销售量就要减少10件．若他将售出价定为x元，每天所赚利润为y元，请你写出y与x之间的函数表达式？
处理方式：学生做完后，教师出示答案，指导学生校对，并统计学生答题情况．学生根
据答案进行纠错．
设计意图：学以致用，当堂检测及时获知学生对所学知识掌握情况，并最大限度地调动全体学生学习数学的积极性，使每个学生都能有所收益、有所提高，明确哪些学生需要在课后加强辅导，达到全面提高的目的．
六、布置作业，课堂延伸（多媒体出示）
基础作业：课本
P30
习题2.1
第1题，第3题，第4题．
拓展作业：助学
P210
自主评价
第1——6题．
板书设计：
§2.1
二次函数
二次函数定义：
例题：
达标检测情况统计：
投
影
区
学生活动区
