(共15张PPT)
2
.
二次函数y=ax2+bx+c的图象是一条
，
它的对称轴是
，顶点坐标是
.
当a>0时，抛物线开口向
，有最
点，函数有最
值，是
；当
a<0时，抛物线开口向
，
有最
点，函数有最
值，是
。
抛物线
知识回顾
上
小
下
大
高
低
1.二次函数y=a(x-h)2+k的图象是一条
，它
的对称轴是
，顶点坐标是
.
抛物线
直线x=h
(h，k)
学习目标
1、理解二次函数最值的概念，会根据二次函数的表达式判断并求出其最值。
2、会求自变量x在某一范围内的二次函数的最值。
3、会用二次函数的最值性质解决与之有关的实际问题。
重点：
引导学生将简单的实际问题转化为数学问题，并运用二次函数知识求出实际问题的最大（小）值，从而得到解决某些实际生活中最大（小）值问题的思想方法．
难点：
从实际问题中抽象出二次函数模型，以利用二次函数知识解决某些实际生活中的最大（小）值问题．
合作探究
某商店经营T恤衫,已知成批购进时单价是2.5元.根据市场调查,销售量与销售单价满足如下关系:在某一时间内,单价是13.5元时,销售量是500件,而单价每降低1元,就可以多售出200件.
请你帮助分析:销售单价是多少时,可以获利最多
设销售价为x元(x≤13.5元),那么
销售量可表示为
:
件;
销售额可表示为:
元;
所获利润可表示为:
元;
当销售单价为
元时,可以获得最大利润,最大利润是
元.
设利润为y元，则
y=（x-2.5）[500+200(13.5-x)]
=-200x2+3700x-8000
=-200(x-9.25)2
+
9112.5
某果园有100棵橙子树,每一棵树平均结600个橙子.现准备多种一些橙子树以提高产量,但是如果多种树,那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少结5个橙子.问增种多少棵橙子树，总产量最高？
分析：假设果园增种x棵橙子树，果园橙子的总产量为y个,则y与x之间的关系式为：
∵a=
-5
<
0
∴当x=10时，y有最大值，最大值为60500.
即增种10棵橙子树时，总产量最高，为60500个.
做一做
（1）利用函数图象描述橙子的总产量与增种橙子树的棵数之间的关系。
议一议
O
5
10
15
20
x/棵
60000
60100
60200
60300
60400
60500
60600
y/个
x1
x2
（2）增种多少棵橙子,可以使橙子的总产量在60400
个以上
增种6,7,8,9,10,11,12,
13,14棵树时，总产量在60400个以上.
1、某商店购进一批单价为20元的日用品,如果以单价30元销售,那么半个月内可以售出400件.根据销售经验,提高单价会导致销售量的减少,即销售单价每提高1元,销售量相应减少20件.售价提高多少元时,才能在半个月内获得最大利润
解：设售价提高x元时，半月内获得的利润为y元.则
y=(x+30-20)(400-20x)
=-20x2+200x+4000
=-20(x-5)2+4500
∵a=-20<0
,
∴当x=5时，y最大
=4500
答：当售价提高5元时，半月内可获最大利润4500元
巩固练习
2、某旅行社组团去外地旅游，30人起组团，每人单价800元。旅行社对超过30人的团给予优惠，即旅行团每增加一人，每人的单价就降低10元。当一个旅行团的人数是多少时，旅行社可以获得最大营业额？
解：设一个旅行团有x人时，旅行社营业额为y元.则
y=[800-10(x-30)]·x
=-10x2+1100x
=-10(x-55)2+30250
∵a=-10<0
,
∴当x=55时，y最大=30250
答：一个旅行团有55人时，旅行社可获最大利
润30250元
.
巩固练习
1.理解问题;
“二次函数应用”
的思路
回顾本课“最大利润”和
“最高产量”解决问题的过程，你能总结一下解决此类问题的基本思路吗？
2.分析问题中的变量和常量,以及它们之间的关系;
3.用数学的方式表示出它们之间的关系;
4.做数学求解;
5.检验结果的合理性,拓展等.
课堂点睛
1．本节课，你最深的感受是什么？
2．在这节课学习过程中，你还有什么疑问没有解决？先想一想，再分享给大家．
课堂小结
1、关于二次函数y=ax2＋bx＋c的图象有下列命题：①当c=0时，函数的图象经过原点；②当c＞0且函数图象开口向下时，方程ax2＋bx＋c=0必有两个不等实根；③当a＜0，函数的图象最高点的纵坐标是
；④当b=0时，函数的图象关于y轴对称．其中正确命题的个数有（
）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
大展身手
D
2、二次函数y=-2x2-4x+1
,当-5≤
x
≤
0
时，它的最大值和最小值分别是（
）
A.
1
,
29
B.
3
,
-29
C.
3
,1
D.
1
,
-3
B
y
=-2x2-4x+1
∵-5≤x≤0
=-2(x+1)2+3
∴x=-1时，y最大=3
对称轴为直线x=-1
x=-5
时，y最小=-29
3、（青岛）某市政府大力扶持大学生创业．李明在政府的扶持下投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯．销售过程中发现，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系可近似的看作一次函数：y=-10x+500.
（1）设李明每月获得利润为w（元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？
（2）如果李明想要每月获得2000元的利润，那么销售单价应定为多少元？
)
故当销售单价定为35元时，每月可获得最大利润．
（2）由题意知：
解得：x1
=
30，x2
=
40．
答：李明想要每月获得2000元的利润，销售单价应定为30元或40元.
解（1）由题意，得：
w
=
(x－20)·y
=(x－20)·(-10x
+500）
=-10x2+700x-10000
基础作业：习题2．9第2，3题.
拓展作业：课本P62页第24题及助学.
作业
祝同学们：学业有成！课题：2.4.2二次函数的应用
课型：新授课
年级：九年级
教学目标：
知识与技能
1.经历探索T恤衫销售中最大利润等问题的过程，体会二次函数是一类最优化问题的数学模型，并感受数学的应用价值.
2.能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最大(小)值，发展解决问题的能力.
过程与方法
经历销售中最大利润问题的探究过程，让学生认识数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用，发展学生运用数学知识解决实际问题的能力.
情感态度与价值观
1.体会数学与人类社会的密切联系，了解数学的价值。增进对数学的理解和学好数学的信心.
2.认识到数学是解决实际问题和进行交流的重要工具，了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用.
教学重与难点：
重点：能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最值.
难点：运用二次函数的知识解决实际问题.
课前准备：多媒体课件
教学过程：
一、知识回顾、夯实基础
活动内容：
1.二次函数y=a(x-h)2+k的图象是一条
，它的对称轴是
，顶点坐标是
.
2
.二次函数y=ax2+bx+c的图象是一条
，它的对称轴是
，顶点坐标是
.
当a>0时，抛物线开口向
，有最
点，函数有最
值，是
；当
a<0时，抛物线开口向
，有最
点，函数有最
值，是
.
处理方式：先让学生口答．然后多媒体出示，教师及时纠正在口答过程中出现的问题，并且作强调．
设计意图：知识回顾一方面帮助学生复习回顾旧知，另一方面通过回顾旧知为后面学习做好铺垫．
二、创设情境、引入问题
活动内容：（有关利润的问题）
某商店经营T恤衫，已知成批购进时单价是2.5元。根据市场调查，销售量与销售单价满足如下关系：在一段时间内，单价是13.5元时，销售量是500件，而单价每降低1元，就可以多售出200件.
请你帮助分析，销售单价是多少时，可以获利最多
设销售单价为x(x≤13.5)元，那么
(1)销售量可以表示为
；
(2)销售额可以表示为
；
(3)所获利润可以表示为
；
(4)当销售单价是
元时，可以获得最大利润，最大利润是
．
处理方式：这是一个有实际意义的问题，要想解决它，就必须寻找出问题本身所隐含的一些关系，并把这些关系用数学的语言表示出来.
针对上面的问题让学生开展小组讨论，各组间进行补充.同时，教师积极参与到学生的讨论中，观察学生的思考方法和解决问题的思路，并对出现的问题及时给与解决，给学生足够多的时间思考.
教师引导学生分析题中的变量，从而得到二次函数的关系式.
设计意图：
通过这个实际问题，让学生感受到二次函数是一类最优化问题的数学模型，并感受数学的应用价值.在这里帮助学生分析和表示实际问题中变量之间的关系，帮助学生领会有效的思考和解决问题的方法，学会思考、学会分析，是教学的一个重要内容.
三、合作探究，解决问题
活动内容：解决本章伊始，提出的“橙子树问题”（1.验证猜测；2.进一步分析）
1．本章一开始的“种多少棵橙子树”的问题，我们得到了表示增种橙子树的数量x(棵)与橙子总产量y(个)的函数关系是：二次函数表达式y＝(600-5x)(100+x)＝-5x2+100x+60000。
当时曾经利用列表的方法得到一个猜测，现在可以验证当初的猜测是否正确？你是怎么做的？与同伴进行交流.
2．议一议：（要求学生画出二次函数的图象，并根据图象回答问题）
(1)利用函数图象描述橙子的总产量与增种橙子树的棵数之间的关系.
增种多少棵橙子树，可以使橙子的总产量在60400个以上？
处理方式：先独立思考，然后小组交流，教师巡视走到学生中，参与学生的交流．通过师生交流、生生交流补充完善，达成共识．
设计意图：实际问题的解决难点在于建立数学模型.让学生进一步用图象刻画橙子的总产量与增种橙子树之间的函数关系，将实际问题转化为数学模型.使学生感受到“何时获得最大利润”就是在自变量取值范围内，此二次函数何时取得最大值问题.进一步明确求二次函数最大（小）值的方法.在教学中，还要引导学生养成题后反思的习惯，让知识的应用得以升华.
四、学以致用、应用新知
活动内容1：巩固训练
1.某商店购进一批单价为20元的日用品，如果以单价30元销售，那么半个月内可以售出400件.根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20件.如何提高售价,才能在半个月内获得最大利润？
解：设销售单价为；元，销售利润为y元，则
y
=(x-20)[400-20(x-30)]
=-20x2+1400x-20000
=-20(x-35)2+4500.
所以当x=35元，即销售单价提高5元时，可在半月内获得最大利润4500元．
2．某旅行社组团去外地旅游，30人起组团，每人单价800元.旅行社对超过30人的团给予优惠，即旅行团每增加一人，每人的单价就降低10元.当一个旅行团的人数是多少时，旅行社可以获得最大营业额？
解：设一个旅行团有x人时，旅行社营业额为y元.则
y
=[800-10(x-30)]·x
=-10x2+1100x
=-10(x-55)2+30250
∵a=-10<0
,
∴当x=55时，y最大=30250
答：一个旅行团有55人时，旅行社可获最大利润30250元
.
处理方式：先自主解答，然后小组交流，最后实物仪展示学生的解答．
设计意图：把数学问题变式到实际生活问题，让学生运用数学知识到日常生活中，体会用数学的过程，通过本题的训练让学生进一步体会利用二次函数解决最大（小）利润问题的方法、过程．
活动内容2：.提炼方法
大家做得非常棒．通过上面的学习，大家能否总结一下应用二次函数知识，解决实际问题的基本思路呢？先独立思考，然后与同伴交流．
处理方式：先独立思考，然后小组交流，教师巡视走到学生中，参与学生的交流．通过师生交流、生生交流补充完善，达成共识．
设计意图：趁热打铁，及时进行小结，总结做题的方法及思路，抓住这种题目的本质，达到举一反三的目的和效果．
五、回顾反思，提炼升华
活动内容：本节课我们进一步学习了用二次函数知识解决最大利润问题，增强了应用意识，获得了利用数学方法解决实际问题的经验，并进一步感受了数学模型思想和数学的应用价值．
1．请你总结一下解决这类问题的基本思路及要注意的问题．
2．本节课，你最深的感受是什么？
3．在这节课学习过程中，你还有什么疑问没有解决？先想一想，再分享给大家．
处理方式：本节课比较抽象，可能有部分学生跟不上，在小结时，可给多学生一些时间和空间，让学生在自己的小组里畅所欲言，更好的总结、归纳本课的学习情况.
设计意图：1.锻炼学生的语言表达能力，培养学生对知识进行系统整理的能力.2.
课堂总结是知识沉淀的过程，使学生对本节课所学进行梳理，养成反思与总结的习惯，培养自我反馈，自主发展的意识．
六、达标检测，反馈提高
活动内容：通过本节课的学习，同学们的收获真多！收获的质量如何呢？请同学们独立完成完成下列检测题（大展身手）．
1．关于二次函数y=ax2＋bx＋c的图象有下列命题：①当c=0时，函数的图象经过原点；②当c＞0且函数图象开口向下时，方程ax2＋bx＋c=0必有两个不等实根；③当a＜0，函数的图象最高点的纵坐标是
；④当b=0时，函数的图象关于y轴对称．其中正确命题的个数有（
）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
2．二次函数y=-2x2-4x+1
,当-5≤
x
≤
0
时，它的最大值和最小值分别是（
）
A.
1
,
29
B.
3
,
-29
C.
3
,1
D.
1
,
-3
3．（青岛）某市政府大力扶持大学生创业．李明在政府的扶持下投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯．销售过程中发现，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系可近似的看作一次函数：y=-10x+500.
（1）设李明每月获得利润为w（元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？
（2）如果李明想要每月获得2000元的利润，那么销售单价应定为多少元？
处理方式：学生自主解答，第3题学生板演．学生做完后，教师出示答案，指导学生校对，并统计学生答题情况．学生根据答案进行纠错．
设计意图：学以致用，当堂检测及时获知学生对所学知识掌握情况，并最大限度地调动全体学生学习数学的积极性，使每个学生都能有所收益、有所提高，明确哪些学生需要在课后加强辅导，达到全面提高的目的．
七、布置作业，课堂延伸
基础作业：习题2．9第2，3题.
拓展作业：课本P62页第24题及助学.
设计意图：基础题让学生课后练习、巩固，拓展作业供学有余力的同学再提高.同时，教师也能根据作业了解学生掌握知识的程度和存在的问题.
板书设计：
§2.4.2二次函数应用(2)
一、知识回顾、夯实基础二、创设情境、引入问题
三、合作探究，解决问题四、学以致用、应用新知
五、回顾反思，提炼升华六、达标检测，反馈提高七、布置作业，课堂延伸
投
影
区
学生活动区
