课题：§1.3.1函数的单调性
教学目的：（1）通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性及其几何意义；
（2）学会运用函数图象理解和研究函数的性质；
（3）能够熟练应用定义判断数在某区间上的的单调性．
教学重点：函数的单调性及其几何意义．
教学难点：利用函数的单调性定义判断、证明函数的单调性．
教学过程：
引入课题
观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律：
随x的增大，y的值有什么变化？
能否看出函数的最大、最小值？
函数图象是否具有某种对称性？
画出下列函数的图象，观察其变化规律：
1．f(x)
=
x
从左至右图象上升还是下降
______
在区间
____________
上，随着x的增
大，f(x)的值随着
________
．
2．f(x)
=
-2x+1
从左至右图象上升还是下降
______
在区间
____________
上，随着x的增
大，f(x)的值随着
________
．
3．f(x)
=
x2
在区间
____________
上，f(x)的值随
着x的增大而
________
．
在区间
____________
上，f(x)的值随
着x的增大而
________
．
新课教学
（一）函数单调性定义
1．增函数
一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，
如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1function）．
思考：仿照增函数的定义说出减函数的定义．（学生活动）
注意：
函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；
必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2；当x1．
2．函数的单调性定义
如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间：
3．判断函数单调性的方法步骤
利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤：
任取x1，x2∈D，且x1作差f(x1)－f(x2)；
变形（通常是因式分解和配方）；
定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；
下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）．
（二）典型例题
例1．（教材P34例1）根据函数图象说明函数的单调性．
解：（略）
巩固练习：课本P38练习第1、2题
例2．（教材P34例2）根据函数单调性定义证明函数的单调性．
解：（略）
巩固练习：
课本P38练习第3题；
证明函数在（1，+∞）上为增函数．
例3．借助计算机作出函数y
=－x2
+2
|
x
|
+
3的图象并指出它的的单调区间．
解：（略）
思考：画出反比例函数的图象．
这个函数的定义域是什么？
它在定义域I上的单调性怎样？证明你的结论．
说明：本例可利用几何画板、函数图象生成软件等作出函数图象．
归纳小结，强化思想
函数的单调性一般是先根据图象判断，再利用定义证明．画函数图象通常借助计算机，求函数的单调区间时必须要注意函数的定义域，单调性的证明一般分五步：
取
值
→
作
差
→
变
形
→
定
号
→
下结论
作业布置
书面作业：课本P45
习题1．3（A组）
第1-
5题．
提高作业：设f(x)是定义在R上的增函数，f(xy)=f(x)+f(y)，
求f(0)、f(1)的值；
若f(3)=1，求不等式f(x)+f(x-2)>1的解集．
y
x
1
-1
1
-1
y
x
1
-1
1
-1
y
x
1
-1
1
-1
y
x
1
-1
1
-1
y
x
1
-1
1
-1
y
x
1
-1
1
-1(共23张PPT)
1.3.1函数的单调性
T(℃)
气温T是关于时间t的函数曲线图
4
8
12
16
20
24
t
o
-2
2
4
8
6
10
思考:气温发生了怎样的变化？
在哪段时间气温升高，在哪段气温降低？
观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律
1、观察这三个图象，你能说出图象的特征吗？
2、随x的增大，y的值有什么变化？
画出函数f(x)=x+1的图象，观察其变化规律：
1、从左至右图象上升还是下降
2、在区间
________上，随着x的增大，f(x)的值随着
______
．
(-∞,+∞)
增大
上升
y
o
-1
1
1、在区间
____
上，f(x)的值随着x的增大而
______．
2、
在区间
_____
上，f(x)的值随着x的增大而
_____．
(-∞,0]
[0,+∞)
增大
减小
画出函数f(x)=x2的图象，观察其变化规律：
x
O
y
1
1
2
4
-1
-2
x
y
o
-1
x
O
y
1
1
2
4
-1
-2
1
1
在某一区间内，
当x的值增大时,函数值y也增大——图象在该区间内逐渐上升；
当x的值增大时,函数值y反而减小——图象在该区间内逐渐下降。
函数的这种性质称为函数的单调性
思考2：通过上面的观察，如何用图象上动点P（x，y）的横、纵坐标关系来说明上升或下降趋势？
一、函数单调性定义
一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x11．增函数
一、函数单调性定义
一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是减函数．
2．减函数
1、函数的单调性是针对定义域内的某个区间而言的，是函数的一个局部性质；
注意：
2
、必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2；当x1或f(x1)>f(x2)
分别是增函数和减函数.
判断：定义在[1,2]上的函数
f
(x)满足
f
(2)>
f(1)，则函数
f
(x)在[1,2]上是增函数吗
y
x
O
1
2
f(1)
f(2)
例如：y=x在整个定义域(-∞,+∞)
上单调递增;
y=x2在[0,+∞)单调递增,在(-∞,0]单调递减.
如果函数y=f(x)在某个区间D上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间.
二、函数单调区间定义
y
x
o
y
(1)y=2x+1
x
o
2)y=(x-1)2-1
1
2
-1
增区间为
增区间为
减区间为
(4)y=2
无单调性
O
y
x
例1、下图是定义在区间[-5，5]上的函数y=f(x)，根据图象说出函数的单调区间，以及在每个区间上，它是增函数还是减函数？
解：函数y=f(x)的单调区间有
[-5,-2],[-2,1],[1,3],[3,5]
其中y=f(x)在区间[-5,-2],
[1,3]上是减函数，
在区间[-2,1],
[3,5]
上是增函数。
例1.
如图是定义在闭区间[－5,5]上的函数
y
=
f(x)的图象,
根据图象说出函数的单调区间,
以及在每一单调区间上,
函数是增函数还是减函数？
说明:1.区间端点处若有定义写开写闭均可.
2.图象法判断函数的单调性：从左向右看图象的升降情况
-4
3
2
1
5
4
3
1
2
-1
-2
-1
-5
-3
-2
x
y
O
质发疑展答思辩维
？
画出函数
图象，写出定义域并写出单调区间：
x
y
_____________
,
讨论：根据函数单调性的定义
拓展探究
y
O
x
在
(0,+∞)
上任取
x1、
x2
当x1<
x2时，都有f(x1)
f(x2)
>
y
O
x
-1
1
-1
1
取自变量－1<
1，
而
f(－1)
f(1)
∴不能说
在(-∞,0)∪(0,+∞)上是减函数
要写成(-∞,0)，(0,+∞)的形式。
<
逗号隔开
巩固
证明函数
在R上是减函数.
即
∵
∴
∴
练一练.利用定义：
证明：设
是R上任意两个值，且
，
∴函数
在R上是减函数．
则
三、函数单调性的方法步骤
1
取值:任取x1，x2∈D，且x12
作差:f(x1)－f(x2)；
3
变形:（通常是因式分解或配方等）；
4
定号:（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；
5
结论:（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）．
利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤：
证明：设x1,x2是(0，+∞)上任意两个实数，且x1f(x1)-
f(x2)=
由于x1,x2
得x1x2>0,又由x10
所以f(x1)-
f(x2)>0,
即f(x1)>
f(x2)
因此
f(x)=1/x
在(0，+∞)上是减函数。
取值
定号
变形
作差
判断
证明：函数f(x)=
在(0，+∞)上是减函数。
设量
判断差符号
作差变形
下结论
课堂小结
1.
两个定义：增函数、减函数的定义；
②(定义法)证明函数单调性，步骤:
①图象法判断函数的单调性：
增函数的图象从左到右
减函数的图象从左到右
上升
下降
3.一个数学思想：数形结合
2：两种方法
如何确定函数
的单调区间？
选做题：
作业:（必做）课本39页A组第1、
2题
布置作业
数与形,本是相倚依,
焉能分作两边飞;
数无形时少直觉,
形少数时难入微;
数形结合百般好,
隔离分家万事休;
切莫忘,几何代数统一体,
永远联系莫分离.
——华罗庚
课本P３９
习题1.3（A组）
第1、
2、3题．
五、作业
