北京市第四中学2016-2017学年高二下学期期中考试数学（理）试题 Word版含答案

北京四中2016-2017学年下学期高二年级期中考试数学试卷（理科）
试卷分为两卷，卷（I）100分，卷（II）50分，共计150分，考试时间120分钟
卷（I）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.
1. 复数=
A. +i B. +i C. 1-i D. 1+i
2. 下列求导正确的是
A. （3x2-2）'=3x B. （log2x） '=
C. （cosx） '=sinx D. （）'=x
3. 曲线y=x·ex在x=1处切线的斜率等于
A. 2e B. e C. 2 D. 1
4. 等于
A. -21n 2 B. 21n 2 C. -ln 2 D. ln 2
5. 函数f（x）=3+x lnx的单调递增区间为
A. （0，） B. （e，+∞） C. （，+∞） D. （，e]
6. 在复平面内，复数（i是虚数单位）的共轭复数对应的点位于
A. 第四象限 B. 第三象限 C. 第二象限 D. 第一象限
7. 函数f（x）=在区间[0，3]的最大值为
A. 3 B. 4 C. 2 D. 5
8. 已知f（x）=1+（1+x）+（1+x）2+（1+x）3+…+（1+x）n，则f '0）=
A. n B. n-1 C. D. n（n+1）
9. 函数f（x）=x3+ax2+（a+6）x+1有极大值和极小值，则实数a的取值范围是
A. （-1，2） B. （-3，6）
C. （-∞，-3）∪（6，+∞） D. （-∞，-1）∪（2，+∞）
10. 方程x2=xsinx+cosx的实数解个数是
A. 3 B. 0 C. 2 D. 1
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.
11. 复数（2+i）·i的模为__________.
12. 由曲线y=x2,y=x3围成的封闭图形的面积为__________.
13. 若曲线y=x3+x-2上的在点P0处的切线平行于直线y=4x-1，则P0坐标为__________.
14. 如下图，由函数f（x）=x2-x的图象与x轴、直线x=2围成的阴影部分的面积为__________. 21世纪教育网版权所有
15. 已知Sn=++…+，n∈N*，利用数学归纳法证明不等式Sn>的过程中，从n=k到n=k+l（k∈N*）时，不等式的左边Sk+1=Sk+__________.
16. 对于函数y=f（x），x∈D，若对于任意x1∈D，存在唯一的x2∈D，使得=M，则称函数f（x）在D上的几何平均数为M. 那么函数f（x）=x3-x2+1，在x∈[1，2]上的几何平均数M=____________. f(x)=x2-x21教育网
三、解答题：本大题共2小题，共20分.
17. 设函数f（x）=lnx-x2+x.
（I）求f（x）的单调区间；
（II）求f（x）在区间[，e]上的最大值.
18. 已知函数f（x）=，其中a∈R.
（I）当a=1时，求曲线y=f（x）在原点处的切线方程；
（II）求f（x）的极值.
卷（II）
一、选择题：本大题共3小题，每小题5分，共15分
1. 若f（x）=-x2+bln（x+2）在（-1，+∞）上是减函数，则实数b的取值范围是
A. [-1，+∞） B. （-1，+∞） C. （-∞，-1] D. （-∞,-1）
2. 观察（）'=-，（x3）'=3x2，（sinx）'=cosx，由归纳推理可得：若函数f（x）在其定义域上满足f（-x）=-f（x），记g（x）为f（x）的导函数，则g（-x）=
A. -f（x） B. f（x） C. g（x） D. -g（x）
3. 若i为虚数单位，设复数z满足| z |=1，则|z-1+i|的最大值为
A. -1 B. 2- C. +1 D. 2+
二、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
4. 曲线y=xn在x=2处的导数为12，则正整数n=__________.
5. 设函数y=-x2+l的切线l与x轴，y轴的交点分别为A，B，O为坐标原点，则△OAB的面积的最小值为__________. 21·cn·jy·com
6. 对于函数①f（x）=4x+-5，②f（x）=|log2 x|-（）x，③f（x）=cos（x+2）-cosx，判断如下两个命题的真假：www.21-cn-jy.com
命题甲：f（x）在区间（1，2）上是增函数；
命题乙：f（x）在区间（0，+∞）上恰有两个零点x1，x2，且x1x2<1.
能使命题甲、乙均为真的函数的序号是_____________.
三、解答题：本大题共2小题，共20分
7. 已知函数f（x）=x3+ax2+bx+a2.
（I）若f（x）在x=1处有极值10，求a，b的值；
（II）若当a=-1时，f（x）<0在x∈[1，2]恒成立，求b的取值范围
8. 已知函数f（x）=x3-3ax+e，g（x）=1-lnx，其中e为自然对数的底数.
（I）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线l：x+2y=0垂直，求实数a的值；
（II）设函数F（x）=-x[g（x）+x-2]，若F（x）在区间（m,m+1）（m∈Z）内存在唯一的极值点，求m的值；2·1·c·n·j·y
（III）用max{m，n}表示m，n中的较大者，记函数h（x）=max{f（x），g（x）}（x>0）. 若函数h（x）在（0，+∞）上恰有2个零点，求实数a的取值范围.
参考答案
卷（I）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
B
A
D
C
D
A
D
C
C
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分
11
12
13
（1，0）或（-1，-4）
14
1
15
16
三、解答题：本大题共2小题，共20分.
17. （本小题满分8分）
解：（I）因为f（x）=lnx-x2+x其中x>0
所以f '（x）=-2x+1=
所以f（x）的增区间为（0，1），减区间为（1，+∞）.
（II）由（I）f（x）在[，1]单调递增，在[1，e]上单调递减，
∴f（x）max=f（1）=0 f（x）max=f（1）=a-1
18. （本小题满分12分）
（I）解：当a=1时，f（x）=，f '（x）=-2 …………2分
由f '（0）=2，得曲线y=f（x）在原点处的切线方程是2x-y=0. …………4分
（II）解：f '（x）=-2. ……………6分
①当a=0时，f '（x）=.
所以f（x）在（0，+∞）单调递增，在（-∞，0）单调递减. ………………7分
当a≠0，f '（x）=-2a.
②当a>0时，令f '（x）=0，得x1=-a，x2=，f（x）与f '（x）的情况如下:
x
（-∞，x1）
x1
（x1,x2）
x2
（x2,+∞）
f '（x）
-
0
+
0
-
f（x）
↘
f（x1）
↗
f（x2）
↘
故f（x）的单调减区间是（-∞，-a）,（,+∞）；单调增区间是（-a，）.
f（x）有极小值f（-a）=-1，有极大值f（）=a2 ………10分
③当a<0时，f（x）与f '（x）的情况如下：
x
（-∞，x2）
x2
（x2,x1）
x1
（x1,+∞）
f '（x）
+
0
-
0
+
f（x）
↗
f（x2）
↘
f（x1）
↗
所以f（x）的单调增区间是（-∞，）；单调减区间是（-，-a），（-a,+ ∞）.
f（x）有极小值f（-a）=-1，有极大值f（）=a2 ………………12分
综上，a>0时，f（x）在（-∞，-a），（，+∞）单调递减；在（-a,）单调递增. a=0时，f（x）在（0，+∞）单调递增，在（-∞，0）单调递减，f（x）有极小值f（-a）=-1，有极大值f（）=a2；a<0时，f（x）在（-∞,），（-a,+∞）单调递增；在（，-a）单调递减，f（x）有极小值f（-a）=-1，有极大值f（）=a2. 21cnjy.com
卷（II）
一、选择题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
题号
1
2
3
答案
C
C
C
二、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
题号
4
5
6
答案
3
①②
三、解答题：本大题共2小题，共20分.
7. （本小题满分8分）
解：（I）f '（x）=3x2+2ax+b，由题设有f '（1）=0，f（1）=10
即解得或
经验证，若则f '（x）=3x2-6x+3=3（x-1）2
当x>1或x<1时，均有f '（x）>0，可知
此时x=1不是f（x）的极值点，故舍去
符合题意，故.
（II）当a=-1时，f（x）=x3-x2+bx+l
若f（x）<0在x∈[1，2]恒成立，即
x3-x2+bx+1<0在x∈[1，2]恒成立
即b<在x∈[1，2]恒成立
令g（x）=，则
g '（x）==
（法一：由g '（x）=0解得x=1…）
（法二）由-2x3+x2+1=1-x3+x2（1-x） 可知x∈[1，2]时g '（x）<0
即g（x）=在x∈[1，2]单调递减
（g（x））max=g（2）=-
∴b<-时，f（x）<0在x∈[1，2]恒成立
8. （本小题满分12分）
解：（I）易得，f '（x）=3x2-3a，所以f '（1）=3-3a，
依题意，（3-3a）（-）=-1，解得a=; ………3分
（II）因为F（x）=-x[g（x）+x-2]=-x[（1-lnx）+x-2]=xlnx-x2+x,
则F'（x）=lnx+l-x+l=lnx-x+2. 设t（x）=lnx-x+2，
则t '（x）=-1=.
令t '（x）=0，得x=1.
则由t '（x）>0，得0由t '（x）<0，得x>1，F '（x）为减函数；
而F '（）=-2-+2=-<0，F '（1）=1>0.
则F '（x）在（0，1）上有且只有一个零点x1，
且在（0，x1）上F '（x）<0，F（x）为减函数；
在（x1，1）上F '（x）>0，F（x）为增函数.
所以x1为极值点，此时m=0.
又F '（3）=ln3-1>0，F '（4）=21n2-2<0,
则F '（x）在（3，4）上有且只有一个零点x2，
且在（3，x2）上F '（x）>0，F（x）为增函数；
在（x2，4）上F '（x）<0，F（x）为减函数.
所以x2为极值点，此时m=3.
综上m=0或m=3. …………………9分
（III）（1）当x∈（0，e）时，g（x）>0，依题意，h（x）≥g（x）>0，不满足条件；
（2）当x=e时，g（e）=0，f（e）=e3-3ae+e，
①若f（e）=e3-3ae+e≤0，即a≥，则e是h（x）的一个零点；
②若f（e）=e3-3ae+e>0，即a<，则e不是h（x）的零点；
（3）当x∈（e，+∞）时，g（x）<0，所以此时只需考虑函数f（x）在（e,+∞）上零点的情况.
因为f '（x）=3x2-3a>3e2-3a，所以
①当a≤e2时，f '（x）>0，f（x）在（e，+∞）上单调递增.
又f（e）=e3-3ae+e，所以
（i）当a≤时，f（e）≥0，f（x）在（e，+∞）上无零点；
（ii）当又f（2e）=8e3-6ae+e≥8e3-6e3+e>0，
所以此时f（x）在（e，+∞）上恰有一个零点；
②当a>e2时，令f '（x）=0，得x=±.
由f '（x）<0，得e由f '（x）>0，得x>；
所以f（x）在（e，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增.
因为f（e）=e3-3ae+ef（2a）=8a3-6a2+e>8a2-6a2+e=2a2+e>0，
所以此时f（x）在（e，+∞）上恰有一个零点；
综上，a>. …………12分