北京四中2016-2017学年下学期高二年级期中考试数学试卷(文科)
试卷分为两卷,卷(I)100分,卷(II)50分,共计150分,考试时间120分钟。
卷(I)
一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。
1. 复数=
A. +i B. +i C. 1-i D. 1+i
2. 下列求导正确的是
A. (3x2-2)'=3x B. (log2x)'=
C. (cosx)'=sinx D. ()'=x
3. 曲线y=x·ex在x=1处切线的斜率等于
A. 2e B. e C. 2 D. 1
4. 设a>0,b>0,则“a>b”是“lna>lnb”的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 既不充分也不必要条件 D. 充要条件
5. 函数f(x)=3+xlnx的单调递增区间为
A. (0,) B. (e,+∞) C. (,+∞) D. (,e)
6. 在复平面内,复数(i是虚数单位)的共轭复数对应的点位于
A. 第四象限 B. 第三象限 C. 第二象限 D. 第一象限
7. 命题“x0∈(0,+∞),lnx0=x0-1”的否定是
A. x0∈(0,+∞),lnx0≠x0-1 B. x0(0,+∞),1nx0=x0-1
C. x∈(0,+∞),lnx≠x-1 D. x(0,+∞),lnx=x-1
8. 已知f(x)=1+(1+x)+(1+x)2+(1+x)3+…+(1+x)n,则f'(0)=
A. n B. n-1 C. D.
9. 函数f(x)=x3+ax2+(a+6)x+1有极大值和极小值,则实数a的取值范围是
A. (-1,2) B. (-3,6)
C. (-∞,-3)∪(6,+∞) D. (-∞,-1)∪(2,+∞)
10. 方程x2=xsinx+cosx的实数解个数是
A. 3 B. 0 C. 2 D. 1
二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分。
11. 复数(2+i)·i的模为___________.
12. 命题“若a-b=0,则(a-b)(a+b)=0”的逆否命题为___________.
13. 若曲线y=x3+x-2上的在点P0处的切线平行于直线y=4x-1,则P0坐标为___________.
14. 函数f(x)=在区间[0,3]的最大值为___________.
15. 若命题“x{x|x2-5 x+4>0}”是假命题,则x的取值范围是___________.
16. 对于函数y=f(x),xD,若对于任意x1D,存在唯一的x2D,使得,则称函数f(x)在D上的几何平均数为M. 那么函数f(x)=x3-x2+1,在x=[1,2]上的几何平均数M=____________.21世纪教育网版权所有
三、解答题:本大题共2小题,共20分.
17. 设函数f(x)=lnx-x2+x.
(I)求f(x)的单调区间;
(II)求f(x)在区间[,e]上的最大值.
18. 已知函数f(x)=,其中a∈R.
(I)当a=1时,求曲线y=f(x)在原点处的切线方程;
(II)求f(x)的极值.
卷(II)
一、选择题:本大题共3小题,每小题5分,共15分。
1. 若函数f(x)=x3-ax2+(a-1)x+1在区间(1,+∞)上为增函数,则实数a的取值范围是21教育网
A. [2,+∞) B. (2,+∞) C. (-∞,2] D. (-∞,2)
2. 观察()'=-,(x3)'=3x2,(sinx)'=cosx,由归纳推理可得:若函数f(x)在其定义域上满足f(-x)=-f(x),记g(x)为f(x)的导函数,则g(-x)=
A. -f(x) B. f(x) C. g(x) D. -g(x)
3. 若i为虚数单位,设复数z满足|z|=1,则|z-1+i|的最大值为
A. -1 B. 2- C. +1 D. 2+
二、填空题:本大题共3小题,每小题5分,共15分。
4. 曲线y=xn在x=2处的导数为12,则正整数n=________.
5. 若a>0,b>0,且函数f(x)=4x3-ax2-2bx在x=1处有极值,则ab的最大值为________.
6. 已知函数f(x)=sinx-x,x∈[0,]. cosx0=(x0∈[0,],那么下面命题中真命题的序号是__________. 21cnjy.com
①f(x)的最大值为f(x0) ②f(x)的最小值为f(x0)
③f(x)在[0,x0]上是减函数 ④f(x)在[x0,]上是减函数
三、解答题:本大题共2小题,共20分。
7. 已知函数f(x)=x3+ax2+bx+a2.
(I)若f(x)在x=1处有极值10,求a,b的值;
(II)若当a=-1时,f(x)<0在x∈[1,2]恒成立,求b的取值范围.
8. 已知函数f(x)=x3-3ax+e,g(x)=1-lnx,其中e为自然对数的底数.
(I)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与直线l:x+2y=0垂直,求实数a的值;
(II)设函数F(x)=-x[g(x)+x-2],若F(x)在区间(m,m+1)(m∈Z)内存在唯一的极值点,求m的值;21·cn·jy·com
(III)用max{m,n}表示m,n中的较大者,记函数h(x)=max{f(x),g(x)}(x>0).若函数h(x)在(0,+∞)上恰有2个零点,求实数a的取值范围.
参考答案
卷(I)
一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
B
A
D
C
D
C
D
C
C
二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分。
11. 12. 若(a-b)(a+b)≠0则a-b≠0 13. (1,0)或(-1,-4)
14. 3 15. 1≤x≤4 16.
三、解答题:本大题共2小题,共20分。
17. (本小题满分8分)
解:(I)因为f(x)=lnx-x2+x其中x>0
所以f '(x)=-2x+1=-
所以f(x)的增区间为(0,1),减区间为(1,+∞).
(II)由(I)f(x)在[,1]单调递增,在[1,e]上单调递减,
∴f(x)max=f(1)=0,f(x)max=f(1)=a-1.
18. (本小题满分12分)
(I)解:当a=1时,f(x)=,f '(x)=-2.…………2分
由f '(0)=2,得曲线y=f(x)在原点处的切线方程是2x-y=0.………4分
(II)解:f '(x)=-2. ………6分
①当a=0时,f '(x)=.
所以f(x)在(0,+∞)单调递增,(-∞,0)单调递减. ………………7分
当a≠0,f '(x)=-2a.
②当a>0时,令f '(x)=0,得x1=-a,x2=,f(x)与f '(x)的情况如下:
x
(-∞,x1)
x1
(x1,x2)
x2
(x2,+∞)
f '(x)
-
0
+
0
-
f(x)
↘
f(x1)
↗
f(x2)
↘
故f(x)的单调减区间是(-∞,-a),(,+∞);单调增区间是(-a,).
f(x)有极小值f(-a)=-1,有极大值f()=a2 ………10分
③当a<0时,f(x)与f '(x)的情况如下:
x
(-∞,x2)
x2
(x2,x1)
x1
(x1,+∞)
f '(x)
+
0
-
0
+
f(x)
↗
f(x2)
↘
f(x1)
↗
所以f(x)的单调增区间是(-∞,);单调减区间是(-,-a),(-a,+ ∞)。
f(x)有极小值f(-a)=-1,有极大值f()=a2 ………………12分
综上,a>0时,f(x)在(-∞,-a),(,+∞)单调递减;在(-a, )单调递增.
a=0时,f(x)在(0,+∞)单调递增,在(-∞,0)单调递减,f(x)有极小值f(-a)=-1,有极大值,f()=a2;a<0时,f(x)在(-∞,),(-a,+∞)单调递增;在(,-a)单调递减,f(x)有极小值f(-a)=-1,有极大值f()=a2. www.21-cn-jy.com
卷(II)
一、选择题:本大题共3小题,每小题5分,共15分。
题号
1
2
3
答案
C
C
C
二、填空题:本大题共3小题,每小题5分,共15分
题号
4
5
6
答案
3
9
①④
三、解答题:本大题共2小题,共20分
7. (本小题满分8分)
解:(I)f '(x)=3x2+2ax+b,由题设有f '(1)=0,f(1)=10
即解得或
经验证,若则f '(x)=3x2-6x+3=3(x-1)2
当x>1或x<1时,均有f '(x)>0,可知
此时x=1不是f(x)的极值点,故舍去
符合题意,故.
(II)当a=-1时,f(x)=x3-x2+bx+l
若f(x)<0在x∈[1,2]恒成立,即
x3-x2+bx+1<0在x∈[1,2]恒成立
即b<在x∈[1,2]恒成立
令g(x)=,则
g '(x)==
(法一:由g '(x)=0解得x=1…)
(法二)由-2x3+x2+1=1-x3+x2(1-x) 可知x∈[1,2]时g '(x)<0
即g(x)=在x∈[1,2]单调递减
(g(x))max=g(2)=-
∴b<-时,f(x)<0在x∈[1,2]恒成立
8. (本小题满分12分)
解:(I)易得,f '(x)=3x2-3a,所以f '(1)=3-3a,
依题意,(3-3a)(-)=-1,解得a=;………3分
(II)因为F(x)=-x[g(x)+x-2]=-x[(1-lnx)+x-2]=xlnx-x2+x,
则F' (x)=lnx+l-x+l=lnx-x+2. 设t(x)=lnx-x+2,
则t '(x)=-1=.
令t '(x)=0,得x=1.
则由t '(x)>0,得0
由t '(x)<0,得x>1,F '(x)为减函数;
而F '()=-2-+2=-<0,F '(1)=1>0.
则F '(x)在(0,1)上有且只有一个零点x1,
且在(0,x1)上F '(x)<0,F(x)为减函数;
在(x1,1)上F '(x)>0,F(x)为增函数.
所以x1为极值点,此时m=0.
又F '(3)=ln3-1>0,F '(4)=21n2-2<0,
则F '(x)在(3,4)上有且只有一个零点x2,
且在(3,x2)上F '(x)>0,F(x)为增函数;
在(x2,4)上F '(x)<0,F(x)为减函数.
所以x2为极值点,此时m=3.
综上m=0或m=3. …………………9分
(III)(1)当x∈(0,e)时,g(x)>0,依题意,h(x)≥g(x)>0,不满足条件;
(2)当x=e时,g(e)=0,f(e)=e3-3ae+e,
①若f(e)=e3-3ae+e≤0,即a≥,则e是h(x)的一个零点;
②若f(e)=e3-3ae+e>0,即a<,则e不是h(x)的零点;
(3)当x∈(e,+∞)时,g(x)<0,所以此时只需考虑函数f(x)在(e,+∞)上零点的情况.
因为f '(x)=3x2-3a>3e2-3a,所以
①当a≤e2时,f '(x)>0,f(x)在(e,+∞)上单调递增.
又f(e)=e3-3ae+e,所以
(i)当a≤时,f(e)≥0,f(x)在(e,+∞)上无零点;
(ii)当又f(2e)=8e3-6ae+e≥8e3-6e3+e>0,
所以此时f(x)在(e,+∞)上恰有一个零点;
②当a>e2时,令f '(x)=0,得x=±.
由f '(x)<0,得e由f '(x)>0,得x>;
所以f(x)在(e,)上单调递减,在(,+∞)上单调递增.
因为f(e)=e3-3ae+ef(2a)=8a3-6a2+e>8a2-6a2+e=2a2+e>0,
所以此时f(x)在(e,+∞)上恰有一个零点;
综上,a>. …………12分