21.2.4一元二次方程根与系数的关系 教案

课题：21.2.4
一元二次方程的根与系数的关系
【教学目标】
1．理解并掌握根与系数关系：
2．会用根与系数关系，根的判别式解答相关类型的问题．
【学情分析】
本节是学生熟练掌握了一元二次方程的求根公式及其解法后安排的一节选学内容，有一定难度，教学时注意帮助学生理解。
一元二次方程根与系数的关系是以一元二次方
( http: / / www.21cnjy.com )程的求根公式为基础，研究一元二次方程的两根和、两根积与系数的关系．学生学习这部分内容后，在处理有关一元二次方程的问题时，就会多一些思想和方法．
本节先由发现数字系数的一元二次方程的两根和
( http: / / www.21cnjy.com )、两根积与方程系数的关系，到引导学生去推导论证一般形式的一元二次方程两根和、两根积与系数的关系及其应用．向学生渗透认识事物的规律是由特殊到一般，再由一般到特殊，培养学生勇于探索、积极思维的精神．
【重点难点】
1．教学重点：一元二次方程根与系数关系的内容及其推导、应用．
2．教学难点：一元二次方程根与系数关系和根的判别式的综合应用．
【教学过程】
一、问题引领
一元二次方程的求根公式是由系数表达的，它
( http: / / www.21cnjy.com )反映了根与系数之间的一种运算关系，除此之外，同学们想知道一元二次方程两根的和、两根的积与系数之间又有怎样的关系吗？这就是本节课要学习的知识。（板书课题）
二、自主学习
自学课本P15-16内容，思考并解答下列问题:
1．一元二次方程的一般形式为
，求根公式是
。
2．填写表（一），并猜想其中的规律：
方程
两实数根
两根的和
两根的积
x1
x2
x1+x2
x1·x2
x2-6x+8=0
x2-3x-4=0
规律1：若二次项系数为1的
( http: / / www.21cnjy.com )一元二次方程x2+px+q=0的两个根是x1，x2，那么x1+x2=
，x1·x2=
。
3．填写表（二），上面的规律还成立吗？若不成立，又有怎样的规律呢？
方程
两实数根
两根的和
两根的积
x1
x2
x1+x2
x1·x2
2x2-x-3=0
-1
3x2-7x+2=0
2
规律2：若一元二次方程ax2+bx+c
( http: / / www.21cnjy.com )=0（a≠0）的两个根是x1，x2，那么x1+x2=
，x1·x2=
。
三、疑难摘要
写出你自学过程中遇到的困惑：
。
【学习探究】
一、合作交流、解决困惑
（一）小组交流:
通过自学你学会了什么？还有什么问题不明白？在小组内讨论并解决疑难.
（二）班级展示与教师点拔：
1.一元二次方程两根之和、两根之积与系数之间有怎样的关系？
用式子表示：
用语言叙述：
2.利用求根公式推导一元二次方程根与系数的关系。
3.（口答）下列方程中，两根的和与两根的积各是多少？
（1）
x2-9x＋10＝0；
（2）
x2-1＝0；
（3）
2x2-9x＋5＝0；
（4）
3x2=5x+2.
4.
下列关于方程x2＋7＝4x的根的说法，正确的是
。（填序号）
①
两根之和为4；
②
两根之和为-4；
③
两根之积为7；
④
没有实数根。
二、应用新知,解决问题：
例1
已知方程2x2＋kx-4＝0的根是-4，求它的另一根及k的值．
例2.
已知方程的两个根为、，求的值.
例3.
已知关于的一元二次方程有两个实数根和．
（1）求实数的取值范围；
（2）当时，求的值．
三、巩固新知,当堂训练：
1.课本P16练习.(完成在课本上)
2.已知方程的两个根为、，求的值.
3.若关于的一元二次方程的两个实数根分别是,且满足.则的值为（
）
（A）
－1或
（B）－1
（C）
（D）
不存在
四、反思小结
本节课你学到了什么知识和方法？还有什么困惑？（小组交流，互助解决）
教师注意点评，同时强调：
在利用根与系数的关系时，（1）需将一元二次方程化成一般形式；（2）求出的字母系数，必须使得△才可以，因此需要检验。
【自我检测】
1.课本P17习题21.2
第7题.
2.
关于的方程的两根同为负数，则（
）
（A）且
（B）且
（C）且
（D）且
3．已知为方程的两实根，则
4.已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程的两个根，求这个直角三角形的斜边长。
【拓展应用】
5.
已知关于的方程有两个实数根.
(1)
求的取值范围；
（2）若，求的值。