4.5利用三角形全等测距离
班级
姓名
【学习目标】
能利用三角形的全等解决实际问题，体会数学与实际生活的联系。
能在解决问题的过程中进行有条理的思考和表达。
学习重点:
利用三角形的全等解决实际问题。
学习难点：在解决问题的过程中进行有条理的思考和表达。
【复习引入】
1.回顾：
（1）判定三角形全等的方法有________、________、__________、___________.
（2）全等三角形的性质：两三角形全等，对应边
，对应角
2．情境引入：阅读课本108页内容(战争老人讲诉的故事)并回答下列问题：
（1）战士所讲述的方法中，已知条件是什么？战士要测的是什么？
（2）你能用所学的数学知识说明得出测量结果的理由吗？
【探究学习】
1.
如图：A、B两点分别位于一个池塘的两端，小明想用绳子测量A，B间的距离，但绳子不够长。他叔叔帮他出了一个这样的主意：先在地上取一个可以直接到达A点和B点的点C，连接AC并延长到D，使CD=AC；连接BC并延长到E，使CE=CB；连接DE并测量出它的长度,DE的长度就是A、B间的距离。
(1)你能说明其中的道理吗？
(2)小明的想法如下：你能在括号写出其理由吗？
在△ABC和△DEC中
∴
△ABC≌△△DEC
（
）
∴
AB=DE
(
)
(3)小组交流：解决此类问题的关键是什么？
【巩固练习】
1.如右图，要测量河两岸相对的两点A、B的距离，先
在AB
的垂线BF上取两点C、D，使CD=BC，再定出
BF的垂线DE，可以证明△EDC≌△ABC，得ED=AB，
因此，测得ED的长就是AB的长。判定△EDC≌△ABC
的理由是(
)。
A、SSS
B、ASA
C、AAS
D、SAS
2.如图，△ABC≌△ADE，则AB=
．若∠DAC=45°，
∠BAD=40°，则∠DAE=
°．
3.如图，山脚下有A、B两点，要测出A、B两点的距离。在地上取一个可以直接到达A、B点的点O，连接AO并延长到C，使AO=CO，你能完成这个图形吗？说明你是如何求AB的距离，并说出理由。
【课堂小结】
1.
利用三角形全等测距离这类问题的关键是：
【作业布置】
课本109页习题4.10第2
B
A
●
●
D
C
E
F4.4用尺规作三角形
班级
姓名
【学习目标】
在分别给出两角及其夹边、两边及其夹角和三边的条件下，能够利用尺规作出三角形。
了解作图方法的合理性。
学习重点:
能根据条件利用尺规作出三角形。
学习难点：能根据条件利用尺规作出三角形。
【复习引入】
1.同学们，还记得尺规作图吗？尺规作图中的“尺”指的是什么，“规”指的是什么？
2．按要求用尺规做图（保留作图痕迹，不要求写作法）：
（1）作一条线段等于已知线段.
已知：a
求作：AB，使AB=a
（2）作一个角等于已知角.
已知：∠
求作：∠AOB，使∠AOB=∠
【探究学习】
根据课本105页至107页的作图步骤，按要求完成作图。
1．已知三角形的两边以及其夹角，求作这个三角形.
已知：线段a,
c,
∠α
(如图).
求作：ΔABC，使BC=a,
AB=c,
∠ABC=∠α.
（1）教师可以在黑板上做一次示范，学生跟着一起操作。
（2）除了课本上的做法，你还有其它作法吗？与同伴交流。
（3）思考：你作出的三角形和同伴作出的三角形全等吗？为什么？
2．已知三角形的两角及其夹边，求作这个三角形.
已知：∠α，∠β，线段c
(如图).
求作：ΔABC，使∠A=∠α，∠B=∠β,AB=c.
思考：你作出的三角形和同伴作出的三角形全等吗？为什么？
3．已知三角形的三条边，求作这个三角形.
已知：线段a
,
b,
c
(如图).
求作：ΔABC，使AB=c,
AC=b,
BC=
a.
思考：你作出的三角形和同伴作出的三角形全等吗？为什么？
【巩固练习】
1．根据下列条件，能画出唯一Δ
ABC的是（
）
A.
AB=3,
BC=4,
AC=8
B.AB=4,
BC=3,
∠A=30
C.
∠A=60 ,
∠B=45 ,
AB=4
D.∠A=90 ,
AB=6
2．课本107页习题4.9第1题。
【课堂小结】
1.
尺规作三角形的三种基本情况：
【作业布置】
课本107页习题4.9第2、34.3.1探索三角形全等的条件
班级
姓名
【学习目标】
1.经历探索三角形全等“边边边”条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程．
2.了解三角形的稳定性．
学习重点:
三角形全等的条件“SSS”．
学习难点：寻求三角形全等的条件．
【复习引入】
1.
已知△ABC≌△A′B′C′，找出其中相等的边与角．
图中相等的边是：AB=_____，BC=_______，C=_______．
相等的角是：∠A=______，∠B=______，∠C=________．
2.提出问题：你能画一个三角形与小明画的三角形全等吗？怎样画？
【探究学习】
1.课本97页“做一做”：讨论下面几种情况：
（1）给一个条件：
只给定一条边时：
只给定一个角时：
（2）给出两个条件可能是：①一边一内角；②两内角；③两边．
可以发现按这些条件画出的三角形都_______________保证一定全等．
2.如果给出三个条件画三角形，你能说出有几种可能的情况吗？
有四种可能：_________、_________、__________和______________
3．课本98页“做一做”：讨论“三角”、“三边”的情况
（1）已知一个三角形的三个内角分别为40°，60°和80°，你能画出这个三角形吗？把你画的三角形与同伴画的进行比较，它们一定全等吗？
（2）已知一个三角形的三条边分别为4cm，5cm和7cm，你能画出这个三角形吗？把你画的三角形与同伴画出的进行比较，它们一定全等吗？
这反映了一个规律：
_______________的两个三角形全等，简写为_________或_________．
几何语言：在△ABC和△A'B'C'中
∴△ABC≌△A′B′C′（SSS）
4．由以上结论还可以知道，只要三角形三边的长度确定了，这个三角形的形状和大小就完全确定了.三角形的这个性质叫做三角形的__________．
【巩固练习】
两个锐角对应相等的两个直角三角形一定全等吗？为什么？
一个四边形的门框，为使其牢固，请用木条加固，你能找出几种方法？最少用几根木条？
【课堂小结】
1.
三角形全等的条件：
2.
三角形具有稳定性。
【作业布置】
课本99页习题4.6第1、3题
七年级数学第二学期导学案
4.3.2探索三角形全等的条件
班级
姓名
【学习目标】
1.探索出三角形全等的条件“ASA”和“AAS”，并能应用它们来判定两个三角形是否全等。
2.能够有条理的思考和理解简单的推理过程，并运用数学语言说明问题。学习重点:
探索出三角形全等的条件“ASA”和“AAS”。
学习难点：应用“ASA”和“AAS”判定两个三角形是否全等。
【复习引入】
1.我们学过判定两个三角形全等的方法是什么 判定三角形全等是不是还有其它方法呢？
2.提出问题，设置悬念：
有一块三角形纸片撕去了一个角，要去剪一块新的，如果你手头没有测量的仪器，你能保证新剪的纸片形状、大小和原来的一样吗
【探究学习】
1.今天我们主要讨论“两角及一边”的情况：
（1）“两角及其夹边”：如三角形的两个内角分别是60°和80°，它们所夹的边为2cm，你能画出这个三角形吗？你画的与同伴画的全等吗？
结论：________________对应相等的两个三角形全等。（简写为_______或者
_________）
几何语言：在△ABC和△A'B'C'中
∴△ABC≌△A′B′C′（
）
(2)
“两角及一角对边”
如果“两角及一边”条件中的边是其中一角的对边，你能转化为上面第（1）种“两角及夹边”的情况来考虑吗？
结论：_________________对应相等的两个三角形全等。（简写为_______或者
_________）
几何语言：在△ABC和△A'B'C'中
∴△ABC≌△A′B′C′（
）
2．学习课本101页“想一想”。
【精讲试练】
例1：如图，已知AO=DO，∠AOB与∠DOC是对顶角，还需补充条件_____________=_____________，就可根据“ASA”说明△AOB≌△DOC；
或者补充条件______________=____________，就可根据“AAS”，说明△AOB≌△DOC。
【巩固练习】
1．请在下列空格中填上适当的条件，使△ABC≌△DEF。
在△ABC和△DEF中
∵
∴△ABC
≌△DEF（
）
2．如图，已知，∠C＝∠E，∠1＝∠2，AB＝AD，△ABC和△ADE全等吗？为什么？
【课堂小结】
1.
三角形全等的条件：
【作业布置】
课本102页习题4.7第1、2、3题
七年级数学第二学期导学案
4.3.3探索三角形全等的条件
班级
姓名
【学习目标】
1.
通过动手操作得出“SAS”可以判定两个三角形全等.
2.
让学生在活动过程中，发展合作交流能力和语言表达能力。学习重点:
探索出三角形全等的条件“SAS”。
学习难点：应用“SAS”判定两个三角形是否全等。
【复习引入】
1.
到目前为止，你知道哪些判定三角形全等的方法？
2.
根据探索三角形全等的条件，至少需要三个条件，前面我们已经探索了三种情况，最后一种“两边及一角”，又有几种可能情况呢？
【探究学习】
今天我们主要讨论“两边及一角”的情况：
1.“两边及其夹角”：
三角形两边分别为2.5cm，3.5cm，它们所夹的角为40°，你能画出这个三角形吗？
你画的三角形与同伴画的一定全等吗？
结论：________________对应相等的两个三角形全等。（简写为_______或者
_________）
几何语言：在△ABC和△A'B'C'中
∴△ABC≌△A′B′C′（
）
2.
“两边及一边的对角” ：比如以2.5cm，3.5cm为三角形的两边，长度为2.5cm的边所对的角为40°，情况又怎样？动手画一画。
下图是两位同学分别按上述条件画的三角形，由此你发现了什么？这种情况能判定两个三角形全等吗
【精讲试练】
例1：如图：
已知AB=A′B′，BC=B′C′，那只要再知道______=______，
就可以根据“SAS”得到△ABC≌△A′B′C′.
已知AB=A′B′，∠BAC＝∠B′A′C′，那只要再知道
______=______,就可以根据“SAS”得到△ABC≌△A′B′C′.
已知∠C＝∠C′，那只要再知道_____=_____
，
____=_____，就可以根据“SAS”得到△ABC≌△A′B′C′.
【巩固练习】
1．课本103页“随堂练习”第1、2题。
2．如图，已知AB＝AC，AD＝AE。那么∠B与∠C相等吗？为什么？
【课堂小结】
1.
三角形全等的所有判定条件：
【作业布置】
课本104页习题4.8第1、2、3
A
B
C
D
E
F
A
B
C
D
E
1
2
A
B
C
C
′
B′
A′
E
D
B
A
C4.1.1认识三角形
班级
姓名
【学习目标】
1.掌握三角形的概念，认识其基本元素，能用适当的符号表示三角形以及这些基本元素．
2.能证明“三角形内角和等于180°”，能发现“直角三角形的两个锐角互余”；
3.按角将三角形分成三类。
学习重点：三角形内角和定理推理
学习难点：三角形内角和定理推的应用
【复习引入】
1.请同学们展示收集的生活中有关三角形的图片，并说说学过哪些有关三角形的知识.
2.认识基本概念：
（1）你能从图中找出四个不同的三角形，并表示出来吗？
（2）一个三角形有三个要素：内角、顶点、边。
如图右图，请分别写出这些要素：
内角：
顶点：
边：
【探究学习】
1．例1：证明三角形的内角和等于180°.
2．猜角游戏：
下面的图⑴、图⑵、图⑶中的三角形被遮住的两个内角是什么角？试着说明理由。
将图⑶的结果与图⑴、图⑵的结果进行比较，可以将三角形如何按角分类？
3．直角三角形：
（1）表示方法：___________________
（2）两锐角的关系：___________________
【巩固练习】
1.已知∠A，∠B，∠C是△ABC的三个内角，如果∠A＝70°，∠C＝30
°，那么
∠B＝________.
2.直角三角形一个锐角为70°，另一个锐角等于____________度．
3.在△ABC中，∠A=80°，∠B=∠C，则∠C=_________.
4.如果△ABC中，∠A∶∠B∶∠C=2∶3∶5，此三角形按角分类应为_______________.
【课堂小结】
1.
三角形的三个要素：
2.
三角形的内角和是180°
3.
三角形按角分类：
【作业布置】
课本84页习题4.1第1、3题
七年级数学第二学期导学案
4.1.2认识三角形
班级
姓名
【学习目标】
1.认识等腰三角形和等边三角形.
2.理解掌握三角形三边的关系：“三角形任意两边之和大于第三边；三角形任意两边之差小于第三边”.
3.通过观察、操作、想象、推理、交流等活动，发掌空间观念、推理能力和有条理地表达能力；
学习重点：理解并掌握三角形三边关系。
学习难点：灵活运用三角形三边关系解决一些实际问题。
【复习引入】
1.观察下面的三角形，并把它们的标号填入相应的椭圆框内：
锐角三角形
直角三角形
钝角三角形
（2）在上面的三角形中各自的边长有什么关系？有等腰三角形吗？
2.等腰三角形和等边三角形的定义：
(1)等腰三角形：有______边相等的三角形.
在右图中分别标出等腰三角形的腰、底边、顶角和底角.
(2)等边三角形:
有_____边相等的三角形.
【探究学习】
1．(1)
元宵节的晚上，房梁上亮起了彩灯(P85图3-13)，装有黄色彩灯的电线与装有红色彩灯的电线哪根长呢？说明你的理由。
(2)在一个三角形中,任意两边之和与第三边的长度有怎样的关系
为什么？由此，你能得到什么结论？
2．分别量出下图三个三角形的三边长度，并填入空格内：
（1）a=
，
（2）a=_______，
（3）a=______，
b=
，
b=
，
b=
，
c=
；
c=
；
c=
.
计算每个三角形的任意两边之差，并与第三边比较，你能得出什么结论？
3．学以致用
例1：三角形的两边长分别为3和5，第三边的长可以是8吗？可以是2吗？说说你的理由。
【巩固练习】
1.下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形的有
.
（1）3cm,
4cm,
5cm
;
(2)
8cm,
7cm,
15cm；
(3)
13cm,
12cm,
20cm;
(4)
5cm,
5cm,
11cm
2.
在△ABC中，a=4，b=2，若第三边c的长为偶数，那么c=
.
3.一个等腰三角形的两边长分别为5和8，则它的周长为
.
4．等腰三角形一边长9cm，另一边长4cm，它的第三边是多少？为什么？
【课堂小结】
1.
三角形三边关系：
【作业布置】
课本87页问题解决第3题。
七年级数学第二学期导学案
4.1.3认识三角形
班级
姓名
【学习目标】
1.认识三角形的中线及角平分线并能画任意三角形的角平分线及中线.
2.了解三角形中线及三条角平分线所在直线交于一点。
3.培养学生动手动脑,发现问题及解决问题的能力.
学习重点:三角形中线、角平分线的概念及计算。
学习难点：三角形中线、角平分线的简单计算应用。
【复习引入】
1.在△ABC中，∠A
=80°，∠B
=∠C，则∠C
=
.
2.如图1，点C是线段AB的中点，若AB=10cm，
则BC=______cm.
3.如图2，射线OD是∠AOB的角平分线，
若∠AOD=35°，则∠AOB=________.
【探究学习】
知识点（一）
1.动手试一试，你能用一只铅笔支起一张均匀的
三角形卡片吗？如果能，你又是怎样确定这个支点？
2.三角形的中线
（1）定义：在三角形中，连接一个顶点与它对边______的_______叫做三角形的中线。
（2）如右图，△ABC的BC边上中线是________.
一个三角形有_____条中线。
（3）几何表达：
∵____________________
∴BD＝DC＝BC
3.探索三角形的三条中线的性质：在下面的锐角三角形、直角三角形和钝角三角形中，分别画出它的三条中线，它们有怎样的位置关系？
结论:
知识点（二）
1．三角形的角平分线
(1)定义：在三角形中，一个内角的________与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的________叫做三角形的角平分线。
（2）如右图，△ABC的一条角平分线是________.
一个三角形有_____条中线。
（3）几何表达：∵___________________________
∴∠1＝∠2＝∠BAC（
或∠BAC＝
2∠1＝
2∠2）
（4）分组画不同形状的三角形的三条角平分线，并探究其规律。
（5）用折纸的方法探究三角形三条角平分线的位置关系。
结论：_________________________________________________________
【巩固练习】
1.如图，若AD是ΔABC的角平分线，那么∠BAD=
∠CAD；
若AE是ΔABC的中线，那么BE=
CE。
2.三角形的角平分线是一条（
）
A.
射线
B.
直线
C.
线段
D.以上均可
3.如图,在△ABC中,∠BAC=60°,∠B=45°,AD是△ABC的一条角平分线，
求∠ADB的度数.
【课堂小结】
1.三角形的中线，角平分线的性质：
【作业布置】
课本88页“随堂练习”
七年级数学第二学期导学案
4.1.4认识三角形
班级
姓名
【学习目标】
1.认识三角形的高线并能画任意三角形的高线，
了解三角形三条高所在直线交于一点。
2.培养学生动手动脑,发现问题及解决问题的能力.
学习重点:
认识三角形高。
学习难点：认识三角形高。
【复习引入】
1.如图（1），已知直线l和l外的一点A
,作的垂线.
2.如图（2）过的一个顶点A，你能画出它的对边的垂线吗
3.三角形的高线：_____________________________________________
_________________________，简称______________
【探究学习】
1.做一做：请每人准备一个锐角三角形纸片。
(1)你能画出这个三角形的三条高吗
(2)你能用折纸的办法得到它们吗
2.
议一议：(1)锐角三角形的三条高之间有怎样的位置关系？将你的结果与同伴进行交流.
（2）请分别画出直角三角形和钝角三角形的三条高线,它们之间有怎样的位置关系？将你的结果与同伴进行交流.
(3)通过以上的操作，你能完成下表吗？
锐角三角形
直角三角形
钝角三角形
三角形内部高的数量
三条高是否相交
三条高所在直线的交点位置
3.学以致用：
例：分别指出下图中△ABC
的三条高。
图1
图2
图1中
直角边BC边上的高是
;
图2
AB边上的高是
直角边AB边上的高是
;
BC边上的高是
;
斜边AC上的高是
.
CA边上的高是
【巩固练习】
1.如图，在中，BC边上的高是_______，AB边上的高是_____；在△BCE中，BE边上的高是______，EC边上的高是______；△ACD中，AC边上的高是____，CD边上的高是_______。
2.如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（
）
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.锐角三角形
【课堂小结】
1.三角形三条高的性质
【作业布置】
课本90页随堂练习第1题
A
B
C
D
E
F
G
A
B
C
B
图1
C
B
A
图2
A
B
C
D
1
A
B
C
E
2
D
A
B
C
E
图（1）
图（2）4.2图形的全等
班级
姓名
【学习目标】
1.通过实例理解图形全等的概念和特征，并能识别图形的全等。
2.掌握全等三角形对应边相等，对应角相等的性质，并能进行简单的推理和计算，解决一些实际问题.
学习重点:
掌握全等三角形对应边相等，对应角相等的性质。
学习难点：全等三角形性质的应用。
【复习引入】
1.
观察课本92页的几组图形
2._________
______两个图形就是全等图形。?
【探究学习】
1.议一议：
（1）观察下面三组图形，它们是不是全等图形？为什么？
（2）如果两个图形全等，它们的形状和大小一定都相同吗？
全等图形的________和______都相同。
2.
阅读课本93页，回答以下问题：
（1）全等三角形：能够_________的两个三角形叫做全等三角形，
(2)△ABC与△DEF全等，记作________________.
记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上.
（3）全等三角形的_________相等，_______相等。
（4）△ABC≌△DEF，如果BC=5，∠D=50°，则EF=________，∠A=____°.
3.
思考课本94页“议一议”的2个问题。
【精讲试练】
例：1．如图，△ABC≌△A’B’C’，
∠C=25°，BC=6cm，AC=4cm，你能求出△A’B’
C’中哪些角的大小、哪些边的长度？
【巩固练习】
1．找朋友：请找出图中全等的图形。
2.如图:△ABC≌△AEC,
∠B=30°,
∠ACB=85°,求出△AEC各内角的度数.
【课堂小结】
全等三角形的性质：
【作业布置】
课本95页习题4.5第1、2、4题
A
B
C
E
