2017九年级数学上册25.6相似三角形的应用导学案（新版）冀教版

25.6
相似三角形的应用
学习目标：
理解并掌握运用相似三角形测量物体高度和宽度的方法.
学习重点：运用相似三角形测量.
学习难点：相似三角形的性质和判定的综合应用.
知识链接
如何判定两个三角形相似？
答：________________________________________.
相似三角形的性质有哪些？
答：________________________________________.
我们学过哪些方法测量物体的高度和宽度？
答：____________________________________.
新知预习
如图，有些空心圆柱形机械零件的内径是不能直接测量的，往往需要使用教程卡钳进行测量，图中为一个零件的剖面图，它的外经为a，内径AB未知，现用交叉卡钳去测量，若，CD=b，则这个零件的内径为多少？零件的壁厚x又是多少？（用含有a、b、m的代数式表示）
解：∵，∠_____=∠_____.
∴△______∽△______.
∴______
又∵CD=b，∴AB=_____,x=_______.
故这个零件的内径为_________零件的壁厚x是______.
如图，在学校操场上，高高耸立的旗杆上悬挂着五星红旗.如何测量学校操场上旗杆的高度呢？某同学给出了一种测量方法，你能根据其设计出其他的方案吗？
解：
三、自学自测
1.如图，为了测量一池塘的宽DE，在岸边找到一点C，测得CD＝30m，在DC的延长线上找一点A，测得AC＝5m，过点A作AB∥DE交EC的延长线于B，测出AB＝6m，则池塘的宽DE为(　　)
A．25m
B．30m
C．36m
D．40m
2.如图，小亮同学在晚上由路灯A走向路灯B，当他走到点P时，发现他的身影顶部正好接触路灯B的底部，这时他离路灯A25米，离路灯B5米，如果小亮的身高为1.6米，那么路灯高度为(　　)
A．6.4米
B．8米
C．9.6米
D．11.2米
四、我的疑惑
_____________________________________________________________________________
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要点探究
探究点1：相似三角形测物体的高度
例1：如图所示，身高为1.6m的某同学想测量学校旗杆的高度，当他站在C处时，正好站在旗杆影子的顶端处，已测得该同学在地面上的影长为2m，旗杆在地面上的影长为8m，那么旗杆的高度是多少呢？
【归纳总结】同一时刻，对于都垂直于地面的两个物体来说，它们的高度之比等于它们的影长之比，即物体的高度之比与其影长之比相同.
例2：已知：如图①，在离某建筑物CE4m处有一棵树AB，在某时刻，1.2m的竹竿FG垂直地面放置，影子GH长为2m，此时树的影子有一部分落在地面上，还有一部分落在建筑物的墙上，墙上的影子CD高为2m，那么这棵树的高是多少？
（提示如图②③④中辅助线）
解：
【归纳总结】在图上补全影子或构造相似三角形是求出树高的关键.三种方法的解题依据实质上都是应用了相似三角形的性质，但其解题的简便性不同，显然方法二和方法三比方法一简单.
【针对训练】
赵亮同学想利用影长测量学校旗杆的高度，如图，他在某一时刻立1米长的标杆测得其影长为1.2米，同时旗杆的投影一部分在地面上，另一部分在某一建筑的墙上，分别测得其长度为9.6米和2米，则学校旗杆的高度为__________米．
探究点2：相似三角形测物体的宽度
例3：
如图，为了估算河的宽度，我们可以在河的对岸选定一个目标作为点A，再在河的这一边选定点B和点C，使AB⊥BC，然后，再选点E，使EC⊥BC，用视线确定BC和AE的交点D，此时如果测得BD=118米，DC=61米，EC=50米，求河的宽度AB.（精确到0.1米）
【归纳总结】测量不能直接到达两点间的距离,常构造相似三角形求解.
【针对训练】
如图，丁轩同学在晚上由路灯AC走向路灯BD，当他走到点P时，发现身后他影子的顶部刚好接触到路灯AC的底部，当他向前再步行20m到达Q点时，发现身前他影子的顶部刚好接触到路灯BD的底部，已知丁轩同学的身高是1.5m，两个路灯的高度都是9m，则两路灯之间的距离是(　　)
A．24m
B．25m
C．28m
D．30m
二、课堂小结
相似三角形的应用
基本图形
测量高度
测量宽度
1.如图，A，B两处被池塘隔开，为了测量A，B两处的距离，在AB外选一适当的点C，连结AC，BC，并分别取线段AC，BC的中点E，F，测得EF＝20m，则AB＝__________m.
2.如图所示，CD是一个平面镜，光线从A点射出经CD上的E点反射后照射到B点，设入射角为α(入射角等于反射角)，AC⊥CD，BD⊥CD，垂足分别为C，D.若AC＝3，CE＝4，ED＝8，则BD＝________.
3.如图，小明为了测量一棵树CD的高度，他在距树24m处立了一根高为2m的标杆EF，然后小明前后调整自己的位置，当他与树相距27m的时候，他的眼睛、标杆的顶端和树的顶端在同一条直线上.已知小明的眼高1.6m，求树的高度.
4.一块直角三角形木板的一条直角边AB长为1.5m，面积为1.5m2，工人师傅要把它加工成一个面积最大的正方形桌面，请甲、乙两位同学设计加工方案，甲设计方案如图(1)，乙设计方案如图(2)．你认为哪位同学设计的方案较好？试说明理由(加工损耗忽略不计，计算结果可保留分数)．
　
(1)　　　　　　　(2)
当堂检测参考答案：
1.40
2.6
3.过点A作AN∥BD交CD于N，交EF于M，因为人、标杆、树都垂直于地面，
所以∠ABF＝∠EFD＝∠CDF＝90°，
所以AB∥EF∥CD，所以∠EMA＝∠CNA.
因为∠EAM＝∠CAN，
所以△AEM∽△ACN，所以＝.
因为AB＝1.6m，EF＝2m，BD＝27m，FD＝24m，
所以＝，所以CN＝3.6（m），
所以CD＝3.6＋1.6＝5.2（m）.
故树的高度为5.2m.
4.由AB＝1.5m，S△ABC＝1.5m2，可得BC＝2m.
　
　
　　(1)　　　　　　　(2)
由图(1)，若设甲设计的正方形桌面边长为xm.
由DE∥AB，得Rt△CDE∽Rt△CBA，
所以＝，
即＝，
所以x＝m.
由图(2)，过点B作Rt△ABC斜边上的高BH交DE于P，交AC于H.
由AB＝1.5，BC＝2，
得AC＝＝＝2.5
(m)．
由AC·BH＝AB·BC，可得
BH＝＝＝1.2
(m)．
设乙设计的桌面的边长为ym.
因为DE∥AC，Rt△BDE∽Rt△BAC，
所以＝.
即＝，解得y＝m.
因为＝＞，所以x2＞y2.
故甲同学设计的方案较好．
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