26.2
锐角三角函数的计算
学习目标：
学会利用计算器求三角函数值并进行相关计算.
学会利用计算器根据三角函数值求锐角度数并计算.
学习重点：三角函数值并进行相关计算.
学习难点：利用计算器求三角函数值.
一、知识链接
1.填表：
α
30°
45°
60°
sin
α
cos
α
tan
α
如图，有一个斜坡，现在要在斜坡OC上植树造林，要保持两棵树水平间的距离为2米，那么应沿斜坡方向每隔几米挖坑(已知坡面的倾斜角为16°18′，即图中的∠COD)？你能求出两坑的距离吗？
二、新知预习
3.求下列各三角函数值：（结果保留两位小数）
（1）sin63°；
解：对于sin63°，在计算器开机状态下可按照下列程序操作.按键顺序为：
显示结果为：_______________________.
即sin63°≈__________.
cos50°26'
37''；
对于cos50°26'
37'，在计算器开机状态下可按照下列程序操作.按键顺序为：
显示结果为：_______________________.
即cos50°26'
37'≈__________.
tan55°.
对于tan55°，在计算器开机状态下可按照下列程序操作.按键顺序为：
显示结果为：_______________________.
即tan55°≈__________.
用计算器求下列各锐角的度数：（结果精确到1''）
（1）已知cos
α=0.6258，求锐角α；
解：在计算器开机状态下，按键顺序为：
显示结果为：_______________________.
即α≈__________.
若将其化为度、分、秒表示，可继续按键：
显示结果为_________.
即α≈__________.
（2）已知tan
β=0.6838，求锐角β；
解：在计算器开机状态下，按键顺序为：
显示结果为：_______________________.
即β≈__________.
若将其化为度、分、秒表示，可继续按键：
显示结果为_________.
即β≈__________.
三、自学自测
利用计算器计算，并填表：
α
15°
50°
75°
sin
α
cos
α
tan
α
四、我的疑惑
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
要点探究
探究点1：用计算器求三角函数值
问题1：
计算sin20°－cos20°的值约为(保留4个有效数字)( )
－0.5976
B．0.5976
C．－0.5977
D．0.5977
【归纳总结】利用计算器求锐角的三角函数值时要注意：(1)参照计算器的说明书，掌握正确的按键顺序；(2)按键时要细心，不能输入错误的数据．
【针对训练】
使用计算器求下列三角函数值.（精确到0.0001）
sin24゜,cos51゜42′20″,tan70゜21′,cot70゜.
问题2：用计算器求下列锐角三角函数值；
sin20°=____________，
cos70°=____________；
sin35°=____________，cos55°=____________；
sin15°32
'
=____________，cos74°28
'
=____________.
你从中发现什么规律？
答：_________________________________________.
【针对训练】
利用互为余角的两个角的正弦和余弦的关系，试比较下列正弦值和余弦值的大小：sin10°、cos30°、sin50°、cos70°.
问题3：比较大小：若α＝45°，则sinα________cosα；若α<45°，则sinα________cosα；若α>45°，则sinα________cosα(填“<”“>”或“＝”)；
【归纳总结】正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；余弦值随着角度的增大
（或减小）而减小（或增大）；正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）.
【针对训练】
下列各式中一定成立的是（
）
A.tan75°﹥tan48°﹥tan15°
B.
tan75°﹤tan48°﹤tan15°
C.
cos75°﹥cos48°﹥cos15°
D.
sin75°﹤sin48°探究点2：利用计算器求锐角的度数
问题：
已知sinα＝0.2，cosβ＝0.8，则α＋β≈________．(精确到1′)
【针对训练】
已知锐角a的三角函数值，使用计算器求锐角a.（精确到1′）
sin
a=0.2476;
（2）cos
a=0.4174;
（3）tan
a=0.1890;
（4）cot
a=1.3773.
二、课堂小结
内容
用计算器求三角函数值
按键顺序：输入度、分、秒表示，可按键：
利用计算器求锐角的度数
按键顺序：转化为度、分、秒表示，可按键：
三角函数值的大小比较
正弦值随着角度的增大（或减小）而_____（或_____）；余弦值随着角度的增大（或减小）而_____（或_____）；正切值随着角度的增大（或减小）而_____（或_____）.
用计算器计算cos
44°的结果（精确到0.01）是（
）
A.0.90
B.0.72
C.0.69
D.0.66
计算：（结果精确到0.01）
比较大小：sin
40°·cos50°-_______0.
根据条件求锐角α（精确到1''）:
若sin
α=0.964，则∠α≈___________；
（2）若cos
α=0.291，则∠α≈___________；
（3）若tan
α=8.671，则∠α≈___________；
3.
求sin63°52′41″的值．(精确到0.0001)
当堂检测参考答案：
B
2.10.02
3.<
4.(1)
7434'
46''
(2)73°4'
56''
(3)83°25'
17''
5.0.8979
自主学习
合作探究
当堂检测26.3
解直角三角形
学习目标：
理解直角三角形中的五个元素之间的联系.
2.学会解直角三角形.
学习重点：解直角三角形.
学习难点：直角三角形中的五个元素之间的联系.
知识链接
1.如图，轮船在A处时，灯塔B位于它的北偏东35°的方向上.轮船向东航行5km到达C处时，轮船位于灯塔的正南方，此时轮船距离灯塔多少千米？（结果保留两位小数）
二、新知预习
2.由1中我们可知：在直角三角形中，已知一条直角边和一个锐角，可求出另一条直角边.
在直角三角形中，除直角外，还有三条边和两个锐角共五个元素.那么在直角三角形中已知哪些元素能够求出其他元素？
三边之间的关系是：________________.
两锐角之间的关系是：__________________.
边角之间的关系是：
sin
A=______________.
cos
A=______________.
tan
A
=_____________.
由这五个元素的已知元素求其余未知元素的过程叫做解直角三角形.
三、自学自测
在Rt△ABC中，∠C＝90°，c＝2，a＝3，解这个直角三角形．
四、我的疑惑
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
要点探究
探究点1：解直角三角形
问题1：已知Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝－1，b＝3－，解直角三角形．
【归纳总结】在解直角三角形时，可以画一个直角三角形的草图，按照题意标明哪些元素是已知的，哪些元素是未知的，进而结合勾股定理、三角形内角和定理、锐角三角函数求解．
【针对训练】
1.在Rt△ABC中,∠C=90°,a=35,b=28,则tanA= ,tanB= .
2.在Rt△ABC中，a、b、c是∠A、∠B、∠C的对边，∠C＝90°，∠B＝60°，a＝4，解这个三角形．
问题2：在△ABC中，∠A＝55°，b＝20cm，c＝30cm，求三角形ABC的面积S△ABC.(精确到0.1cm2)
【归纳总结】求三角形面积可先作高构造直角三角形，然后用已知量的三角函数表示出高，代入数据即可求得．
【针对训练】
在Rt△ABC中,∠C=90°,c=10,b=5,则∠A= ,S△ABC= .
二、课堂小结
已知条件
内容
两边
两直角边(a,b)
由________可求∠A，则∠B=____，c=________
斜边，一直角边(c,a)
由________可求∠A，则∠B=____，b=________
一边一角
一直角边和一锐角
锐角，邻边(∠A,b)
∠B=____，a=b·______,c=______或c=______
锐角，对边(∠A,a)
∠B=____，b=a·______或b=______，c=______或c=______
锐角，斜边
∠B=____，a=c·______,b=c·______,
如图，已知Rt△ABC中，斜边BC上的高AD=4，cosB=
，则AC=____.
2.已知在Rt△ABC中
，∠C
=
90°，sinA
=
，则tanB的值为____.
3.已知在Rt△ABC中,∠C=90°,a=104,b=20.49,求∠A和∠B.(可利用计算器进行运算,精确到1°)
4.如图,在Rt△ABC中,BC=7.85,AB=11.40,解这个直角三角形.(边长保留三个有效数字,角度精确到1°)
5.如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，将此矩形折叠，使C点和A点重合，求折痕EF的长．
当堂检测参考答案：
1.5
2.
3.∠A=79°,∠B=11°
4.AC=8.27,∠A=44°,∠B=46°
5.解：如图，连接AC，则AC⊥EF，OA＝OC，∴∠AOE＝90°.又∵AB＝6，BC＝8，∴AC＝＝＝10，∴OA＝5.在Rt△ADC中，tan∠DAC＝＝＝.在Rt△AOE中，tan∠EAO＝，∴OE＝AO·tan∠EAO＝AO·tan∠DAC＝5×＝.在△AOE和△COF中，∴△AOE≌△COF，∴OE＝OF.∴EF＝2OE＝2×＝.
自主学习
合作探究
当堂检测26.1
锐角三角函数
第2课时
正弦与余弦
学习目标：
理解并掌握正弦和余弦的定义，会求一个角的正弦值和余弦值.
会推导特殊角的正切值并熟记几个特殊角的正切值.
学习重点：求一个角的正弦值和余弦值.
学习难点：推导特殊角的正弦值和余弦值.
知识链接
1.为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行喷灌．现测得斜坡与水平面所成角的度数是30°，为使出水口的高度为35m，那么需要准备多长的水管？
新知预习
2.如图，∠BAC为任意给定的一个锐角，B1，B2为射线AB上任意两点，过点分别作AC的垂线B1C1，B2C2，垂足分别为C1，C2试说明分别相等
在Rt△ABC中，∠C=90°，锐角A的对边和斜边的比、邻边与斜边的比都是一个定值、∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦记作sin
A，∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cos
A.
即
分别求出30°，45°，60°的正弦和余弦，并将结果填入下表：
α
30°
45°
60°
sin
α
cos
α
三、自学自测
如图,△ABC直角三角形,你能根据图中所给数据求出sin
A，cos
A吗？
四、我的疑惑
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
要点探究
探究点1：正
弦
例1：已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，则tanB的值为( )
A.
B.
C.
D.
【归纳总结】正确地画出草图，根据条件将已知角的三角函数值转化为直角三角形中两边的关系，利用勾股定理求出第三边，然后计算出待求角的三角函数值．
【针对训练】
在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝3，c＝5，求sinA和tanA的值．
探究点2：余
弦
例2：如图所示，∠AOB是放置在正方形网格中的一个角，则cos∠AOB＝________.
【归纳总结】在不知道角度的情况下，求锐角的三角函数值，应先将其放置在直角三角形中，求出各边的长，再根据概念解题．
【针对训练】
如图，已知点P在第一象限，其坐标是(a，b)，则cosα等于( )
B.
C.
D.
探究点3：特殊角的正弦、余弦值
问题：计算：sin60°×cos45°；
【归纳总结】这类问题一般分两步完成，第一步把值准确地代入；第二步就是根据实数的混合运算顺序及法则进行计算．
【针对训练】
计算：
tan230°＋cos230°－sin245°tan45°.
二、课堂小结
内容
基本图形
正弦
在Rt△ABC中，∠A为锐角，sin
A=_____
余弦
在Rt△ABC中，∠A为锐角，cos
A=_____
特殊角的正切值
sin
30°=______，cos
30°=______;sin
45°=______，cos
45°=______;sin
60°=______，cos
60°=______.
1.在Rt△ABC中，若sinA＝，则cos＝________．
2.在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin(90°－∠A)＝，则∠A＝________．
3.在Rt△ABC中，如果各边长都扩大到原来的2倍，那么锐角A的正弦值______、余弦值______、正切值______.
4.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，tanA＝
，求：sinA、cosB的值．
当堂检测参考答案：
2.45°
3.不变
不变
不变
4.
自主学习
合作探究
当堂检测解直角三角形
学习目标：
能够解决与仰角、俯角有关的实际问题.
能够解决与坡度、坡角有关的实际问题.
学习重点：解直角三角形.
学习难点：运用解直角三角形解决实际问题.
知识链接
1.（本章引例）如图，小明在距旗杆4.5m的点D处，仰视旗杆顶端A，仰角（∠AOC）为50°；俯视旗杆顶部B，俯角（∠BOC）为18°.旗杆的高约为多少米？
二、新知预习
2.由1中的解题方法试着解下面这道题目：
如图所示，一艘渔船以30海里/时的速度由西向东航行.在A出看见小岛C在船北偏东60°的方向上.40min后，渔船航行到B处，此时小岛C在船北偏东30°的方向上.已知以小岛C为中心，10海里为半径的范围内是暗礁最多的危险区.如果这艘渔船继续向东航行，有没有进入危险区的可能？
解：过点C作CD⊥AB，∠AB的延长线于点D，则∠CBD=_____.
在Rt△BCD中，tan∠CBD=_________.
若设CD=x，则BD=_______.
在Rt△ACD中，∠CAD=30°，所以tan∠CAD=_______.
即AD=_______.
因为AD
-BD=AB，AB=______.
所以得到关于x的方程：________________.
解得x=________.
因为________10海里，所以，这艘渔船继续向东航行，______危险区.
如图，在筑坝、开渠、挖河和修路时，设计图纸上都要注明斜坡的倾斜程度.我们通常把坡面的垂直高度h和水平宽度l的比值叫做坡面的坡度（或坡比），坡面与水平面的夹角α叫做坡角，显然tan
α=_______.
如图，某水库大坝的横断面是四边形ABCD，CD∥AB，大坝顶宽CD=3m，斜坡AD=16m，大坝高为8m，斜坡BC的坡度为.求斜坡的坡角α和大坝底的宽AB（结果精确到0.01m）.
自学自测
1.如图，飞机A在目标B正上方1000m处，飞行员测得地面目标C的俯角为30°，则地面目标B，C之间的距离是________．
四、我的疑惑
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
要点探究
探究点1：利用仰角、俯角解决实际问题
问题1：如图所示，为了测量山的高度AC，在水平面B处测得山顶A的仰角为30°，AC⊥BC，自B沿着BC方向向前走1000m，到达D处，又测得山顶A的仰角为45°，求山高．(结果保留根号)
【归纳总结】在解直角三角形时，若仰角、俯角不是直角三角形的内角时，应利用已知条件将它转化为直角三角形的内角，再利用直角三角形的边角关系列方程求解．
问题2：如图，某人站在楼顶观测对面笔直的旗杆AB，已知观察点C到旗杆的距离(CE的长度)为8m，测得旗杆顶的仰角∠ECA为30°，旗杆底边的俯角∠ECB为45°，那么，旗杆AB的高度是( )
(8＋8)m
B．(8＋8)m
C．(8＋)m
D．(8＋)m
【归纳总结】解此类问题，要作好辅助线，将问题分为仰角和俯角两个问题来解直角三角形．
【针对训练】
1.如图,某飞机在空中A处探测到地面的目标B,此时从飞机上看目标B的俯角为α,若测得飞机与目标B之间的距离AB大约为2400米,且sinα=0.52,求飞机的飞行高度.
2.如图,一学生要测量校园内一棵水杉树的高度.他站在距离水杉树8
m的E处,测得树顶的仰角∠ACD=52°.已知测角器的架高CE=1.6
m,问树高AB为多少米 (精确到0.1
m)
探究点2：利用坡度、坡角解决实际问题
问题1：水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高23m，斜坡AB的坡度i=1∶3
，斜坡CD的坡度i=1∶2.5
，
则斜坡CD的坡面角α
，
坝底宽AD和斜坡AB的长应设计为多少？
【归纳总结】根据坡度的定义i＝，解题时需先求得水平距离l和铅直高度h.
【针对训练】
1.(1)一斜坡的坡角为30°,则它的坡度为 ;
(2)坡度通常写成1∶ 的形式.如果一个坡度为1∶2.5,则这个坡角为 ;
(3)等腰梯形的较小底长为3,腰长为5,高为4,则另一个底长为 ,坡度为 ;
(4)堤坝横断面是等腰梯形,(如图所示)
若AB=10,CD=4,高h=4,则坡度i= ,AD= ;
若AB=10,CD=4,i=,则h= .
2如图所示，在平面上种植树木时，要求株距(相邻两树间的水平距离)为4m，如果在坡度为0.75的山坡上种树，也要求株距为4m，那么相邻两树间的坡面距离为( )
A．5m
B．6m
C．7m
D．8m
二、课堂小结
方位角问题
坡度、坡比问题
仰角俯角问题
内容
以观测者的位置为原点，由东西南北四个方向把平面划成四个象限，以正北或者正南方向为始边，先转到观测者方向的锐角称为方向角
坡面的垂直高度h和水平宽度l的比值叫做坡面的坡度（或坡比），坡面与水平面的夹角α叫做坡角，显然tan
α=_______.
在进行高度测量时，由视线与水平所夹的角中，当视线在水平方向上时，叫做_____角；当视线在水平方向下时，叫做_____角
图解
1.如图，沿倾斜角为30的山坡植树，要求相邻两棵树的水平距离AC为2m，那么相邻两棵树的斜坡距离AB为
m。(精确到0.1m)
2.离旗杆20米处的地方用测角仪测得旗杆顶的仰角为，
如果测角仪高为1.5米．那么旗杆的高为
米（用含的三角函数表示）．
3.如图所示，给高为3米，坡度为1∶1.5的楼梯表面铺地毯．已知每级楼梯长度为1.5米，地毯的价格为每平方米8元，则铺完整个楼梯共需_______元.
4.如图,铁路路基的横断面是四边形ABCD,AD∥BC,路基顶宽BC=9.8
m,路基高BE=5.8
m,斜坡AB的坡度i=1∶1.6,斜坡CD的坡度i'=1∶2.5,求铁路路基下底宽AD的值(精确到0.1
m)与斜坡的坡角α和β(精确到1°)的值.
在一次实践活动中，某课题学习小组用测倾器、皮尺测量旗杆的高度，他们设计了如下的方案（如图1所示）：
在测点A处安置测倾器，测得旗杆顶部M的仰角∠MCE＝α
；
量出测点A到旗杆底部N的水平距离AN＝m;
量出测倾器的高度AC＝h。
根据上述测量数据，即可求出旗杆的高度MN。
如果测量工具不变，请参照上述过程，重新设计一个方案测量某小山高度（如图2）
在图2中，画出你测量小山高度MN的示意图
（标上适当的字母）
2）写出你的设计方案。
当堂检测参考答案：
1.2.3
2.1.5
+20tan
3.90
4.解:过点C作CD⊥AD于点F,得
CF=BE,EF=BC,∠A=α,∠D=β.
∵BE=5.8
m，斜坡AB的坡度i=1∶1.6,
∴AE=1.6×5.8=9.28(m),DF=2.5×5.8=14.5(m).
∴AD=AE+FE+DF=9.28+9.8+14.5≈33.6(m).
由tanα=i=,tanβ=i'=,得
α≈32°,β≈21°.
答:铁路路基下底宽为33.6
m,斜坡的坡角分别为32°和21°.
5.1）如图所示：
2)方案如下：
①测点A处安置测倾器，测得旗杆顶部M的仰角∠MCE＝α
；
②测点B处安置测倾器，测得旗杆顶部M的仰角∠MDE＝；
③量出测点A到测点B的水平距离AB＝m;
④量出测倾器的高度AC＝h。
根据上述测量数据可以求出小山MN的高度
自主学习
合作探究
当堂检测26.1
锐角三角函数
第1课时
正切
学习目标：
理解并掌握正切的定义，会求一个角的正切值.
会推导特殊角的正切值并熟记几个特殊角的正切值.
学习重点：求一个角的正切值.
学习难点：推导特殊角的正切值.
知识链接
在直角三角形中,知道一边和一个锐角,你能求出其他的边和角吗
答：__________________________________________________________.
新知预习
如图1，在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中，∠C=∠C'=90°，当∠A=∠A'时，具有怎样的关系？
图1
图2
答：__________________________________________________________.
3.如图2，已知∠EAF<90°，BC⊥AF，B'C'⊥AF，垂足分别为C，C'.，具有怎样的关系？
答：__________________________________________________________.
在两个直角三角形中，当一对锐角相等时，这两个直角三角形相似，从而两条对应直角边的比相等，即当∠A（小于90°）确定时，以∠A为锐角的Rt△ABC的两条直角边的比是确定的.这个比叫做∠A的正切.记作tan
A，即
如图,观察一副三角板，根据所学知识求：
(1)tan30°等于多少
(2)tan60°等于多少
(3)tan45°等于多少
三、自学自测
如图,△ABC是等腰直角三角形,你能根据图中所给数据求出tan
C吗？
四、我的疑惑
__________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
要点探究
探究点1：正
切
例1：在Rt△ABC中,∠C=90°,
如图(1),AC=3,AB=6,求tanA和tanB;
(2)如图(2),BC=3,tanA=
,求AC和AB.
【归纳总结】求锐角三角函数时,勾股定理的运用是很重要的.
【针对训练】
在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，则tan
B的值是（ ）
A.
B.
C.
D.
探究点2：特殊角的正切
例2：计算：
tan
60°·tan30°；
（2）2tan45°+3tan
30°-tan60°；
【归纳总结】这类问题一般分两步完成，第一步把值准确地代入；第二步就是根据实数的混
合运算顺序及法则进行计算.
【针对训练】
计算：
（1）tan
45°-tan30°；
.
二、课堂小结
正切
内容
基本图形
概念
在Rt△ABC中，∠A为锐角，tan
A=_____
特殊角的正切值
tan30°=______;tan45°=______;tan60°=______;
1.如图,在Rt△ABC中,锐角A的对边和邻边同时扩大100倍,tanA的值（
）
A.扩大100倍
B.缩小100倍
C.不变
D.不能确定
2.如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＋BC＝7(AC>BC)，AB＝5，tan
B=______．
计算：
4.在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝0.75，△ABC的周长为24.求△ABC的面积．
当堂检测参考答案：
1.C
2.
3.
4.∵∠C＝90°，tanA＝0.75，∴tanA＝＝.
设BC＝3k，则AC＝4k，∴AB＝＝＝5k.
∵AC＋BC＋AB＝24，∴4k＋3k＋5k＝24，∴k＝2.
∴AC＝8，BC＝6.∴S△ABC＝AC·BC＝×8×6＝24.
自主学习
合作探究
当堂检测
