24.2
解一元二次方程
第1课时
配方法
学习目标：
1.学会用直接开平方法解简单的一元二次方程.
2.了解配方法解一元二次方程的解题步骤.
学习重点：配方法的解一元二次方程的步骤.
学习难点：用配方法解一元二次方程.
知识链接
36的平方根是_______,49的平方根是________.
若x2=4,则x=_______;若2x2=1,则x=______.
3.
根据完全平方公式填空：
⑴
x2＋6x＋9＝﹙
﹚2
⑵
x2－8x＋16＝﹙
﹚2
⑶
x2＋10x＋﹙
﹚2＝﹙
﹚2
⑷
x2－3x
＋﹙
﹚2＝﹙
﹚2
新知预习
3.试着解下列方程：
（1）（x+1）2=4；
把x+1看成一个整体，先由开平方得x+1=______,则x=_______.
【自主归纳】形如x2=p(p≥0)或（mx+n）2=p(p≥0)的一元二次方程可利用平方根的定义用
开平方的方法直接求解，这种解方程的方程叫做直接开平方法.
（2）x2+2x-3=0.
第一步：把常数项移到等式的右边，方程变形为x2+2x=_____
第二步：等号两边同时加上一个常数，使等号左边成为一个完全平方形式：
x2+2x+_____=______，（想一想，等号两边应同时加上几，依据是什么？）
第三步：用直接开平方法解方程，
（x+____）2=____.开平方可得x+____=±____.
于是可以得到方程的解为________________.
这样，我们就可以得到解方程x2+2x-3=0的一种方法：
【自主归纳】像这种先对原一元二次方程配方,使它一边出现含未知数的一次式的平方后,
再用直接开平方求解的方法叫做配方法.
三、自学自测
1.解下列方程
（1）(x-3)2＝9；
（2）x2－2x+1＝0
四、我的疑惑
_____________________________________________________________________________
要点探究
探究点1：直接开平方法解一元二次方程
如果方程能化成x2=p或(mx+n)2=p(p≥0)的形式，那么可得x=____,或mx+n=_______,即x=________.解一元二次方程的数学思想是“降次”，将一元二次方程转化为两个一元一次方程.
【针对训练】
1.方程x2－36＝0的解是( )
A．x＝6
B．x＝－6
C．x＝4或9
D．x＝±6
2.解下列方程：
（1）（x+2）2=36
（2）x2+6x+9=0.
探究点2：用配方法解一元二次方程
问题2：用配方法解二次项系数为1的一元二次方程
例1：用配方法解下列方程：
x2-10x-11=0；
（2）x2+2x-1=0.
解：移项，得_____________________.
解：移项，得_____________________.
配方，得______________________.
配方，得______________________.
即____________________.
即____________________.
两边开平方，得_____________.
两边开平方，得_____________.
所以___________________.
所以___________________.
【归纳总结】利用配方法解二次项系数为1的一元二次方程时，先将常数项移至另一边，再在方程两边同时加上一次项系数一半的平方.
问题2：用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程
例2：用配方法解：2x2+3=6x.
解：移项，并将二次项系数化为1，得_____________.
配方，得______________________.
即____________________.
两边开平方，得_____________.
所以___________________.
【归纳总结】用配方法解一元二次方程的一般步骤是：
1.把常数项移到方程右边，使方程的左边只有二次项和一次项；
2.两边加上的常数是一次项系数一半的平方．
3.变成(x+a)
2=b的形式．
4.用直接开平方法解这个一元二次方程．
【针对训练】
3.解下列方程：
（1）y2-4y+2=0.
（2）3x2-6x=1.
二、课堂小结
内容
公式
直接开平方法
形如x2=p(p≥0)或（mx+n）2=p(p≥0)的一元二次方程可利用平方根的定义用
开平方的方法直接求解，这种解方程的方程叫做直接开平方法
如果方程能化成x2=p或(mx+n)2=p(p≥0)的形式，那么可得x=____,或mx+n=_______,即x=________.
配方法
对原一元二次方程配方,使它一边出现含未知数的一次式的平方后,
再用直接开平方求解的方法叫做配方法
用配方法解方程x2-2x-5=0时，原方程应变形为（
）
（x+1）2=6
B.（x-1）2=6
C.（x+2）2=9
D.（x-2）2=9
将方程x2-6x+7化成（x+m）2=k的形式，则m、k的值分别是（
）
m=3，k=2
B.m=-3，k=-7
C.m=3，k=9
D.m=-3，k=2
用配方法解方程：
（1）3x2-27=0；
（2）x2+6x-7=0；
（3）4x2-2x-1=0；
（4）
已知两个连续奇数的乘积是195，求这两个数的和.
5.（拓展）用配方法证明：2x2-8x+9恒为正.
当堂检测参考答案：
B
2.D
（1）
（2）
（3）
（4）
4.设较小的一个奇数为x，另一个为x+2，由题意，列方程得：x（x+2）=195，解得x=13或x=-15.所以这两个数的和为28或-28.
自主学习
合作探究
当堂检测24.4
一元二次方程的应用
第1课时
面积问题
学习目标：学会一元二次方程解决几何图形问题.
学习重点：根据实际问题列出一元二次方程.
学习难点：从实际结合问题中抽象出数学模型.
【问题】已知一本数学书长为26cm宽为18.5cm，厚为1cm，一张长方形包书纸如图所示，它的面积为1260cm2，虚线表示的是折痕.由长方形相邻两边与折痕围城的四角均为大小相同的正方形.
求正方形的边长.
解：设正方形的边长为xcm，根据题意，得
（_______）（_________）=1260
整理，得：_________________________.
解这个方程，得（不合题意，舍去）、
答：正方形的边长为_______cm.
三、自学自测
1.如图，在宽为20m，长为30m的矩形地面上修建两条同样宽的道路，余下部分作为耕地．若耕地面积需要551m2，则修建的路宽应为
( )
A．1m
B．1.5m
C．2m
D．2.5m
四、我的疑惑
_________________________________________________________________________
________________________________________________________
__________________________________________________________________________
要点探究
探究点：列一元二次方程解几何图形问题
问题1：如图所示，用一块长80cm，宽60cm的薄钢片，在四个角上截去四个相同的小正方形，然后做成底面积为1500cm2的没有盖的长方体盒子．求截去的小正方形的边长.
解：设截去的小正方形的边长xcm.则长和宽分别为（______）cm、（______）cm.
根据题意，得
整理，得：_________________________.
解这个方程，得
检验：当x1＝______时,长为______cm
，宽为______cm._____题意.
当x2＝______时,长为______cm
，宽为______cm._____题意.
答：截取的小正方形的边长是______cm.
【归纳总结】利用一元二次方程解决几何问题的一般步骤：①审清题意，依据几何图形的性质或数量关系找到等量关系；②设合适的未知数，并依据等量关系列出一元二次方程；③解方程；④检验解的合理性.
问题2：如图1，在宽为20米，长为32米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为540平方米，求道路的宽.
思路提示：通过平移将小路平移到如图2所示的位置，再设未知数，列一元二次方程求解.
解：
【归纳总结】1.常见的几何图形有三角形、长方形、正方形、梯形、圆等，若是不规则几何图形，则需要将图形分割或组成规则图形.
2.把分散的图形拼接成一个完整的、规则的图形是解决图形问题中的常用方法，也是较为简便有效的方法.
【针对训练】
1.在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为xcm，那么x满足的方程是（
）
A．x2+130x-1400=0
B．x2+65x-350=0
C．x2-130x-1400=0
D．x2-65x-350=0
2.如图，有一矩形空地，一边靠墙，这堵墙的长为30m，另三边由一段总长度为35m的铁丝网围成．已知矩形空地的面积是125m2，求矩形空地的长和宽．
二、课堂小结
一元二次方程的应用
内容
运用策略
面积问题
①等积变形；②把不规图形转换为规则图形，通常用到______进行转化.
熟记常见几何图形的面积公式
一个矩形周长为28cm，若它的面积为40cm2，则这个矩形的长为_______cm，宽为_______cm
2.如图，一块享有宽度相等的花边的长方形十字绣，它的长为120cm，宽为80cm，如果十字绣中央长方形的面积是6000cm2，则花边的宽为_____.
如图，要设计一幅宽20cm，长30cm的图案，自重有两横两竖的彩条，横竖彩条的宽度比为2:1，如果使得彩条所占面积是图案的面积的，则竖彩条的宽度为(
)
A
.1cm
B
.2cm
C.19cm
D.1cm或19cm
4.如图，张大叔从市场上买回一块矩形铁皮，他将此铁皮的四个角各剪去一个边长为1m的正方形后，剩下的部分刚好能围成一个容积为15m3的无盖长方体箱子，且此长方体箱子的底面长比宽多2m．现已知购买这种铁皮每平方米需20元钱，问张大叔购回这张矩形铁皮共花了多少元钱？
当堂检测参考答案：
1.10
4
2.10cm
3.A
4.设长方体箱子的宽为xm，则长为(x＋2)m，根据题意得
x(x＋2)×1＝15，解之得x1＝－5，x2＝3.
因为宽为正数，
所以x＝3，宽为3m，长为5m.
则原来长方形铁皮的宽为5m，长为7m.
费用为5×7×20＝700(元)．
答：张大叔购回这张矩形铁皮共花了700元钱．
复习导入
合作探究
当堂检测24.4
一元二次方程的应用
第3课时
其他问题
学习目标：
学会一元二次方程解决数字问题、握手问题.
能够根据实际情况对所得结果进行分析决策.
学习重点：根据实际问题列出一元二次方程.
学习难点：从实际结合问题中抽象出数学模型.
知识链接
某少年宫组织一次足球赛，采取单循环的比赛形式，即每两个足球队之间都要赛一场，计划安排28场比赛，可邀请多少支球队从参加比赛呢？
设邀请x支球队参加比赛，探究下列问题：
根据“每两个足球队之间都要赛一场”，每支球队都要比赛______场.
用含有x的代数式表示比赛的总场次为__________.于是可以得到方程____________.
新知预习
.新华商场销售某种冰箱,每台进价为2500元.市场调研表明:当销售价为2900元时,平均每天能售出8台;而当销价每降低50元时,平均每天能多售4台.商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元,每台冰箱的定价应为多少元
解：
如果设每台冰箱降价x元，那么每台冰箱的定价就是_________元，每________台冰箱的销售利润为_________元，平均每天销售冰箱的数量为_________台，
根据题意，得
整理，得：_________________________.
解这个方程，得
检验：当x1＝______时,_____题意.当x2＝______时,_____题意.
答：__________________________.
三、自学自测
1.如有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感．
(1)求每轮传染中平均一个人传染了多少个人？
(2)如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？
四、我的疑惑
_____________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
要点探究
探究点1：列一元二次方程解决其他问题
问题1：一个两位数，十位上的数字与个位上的数字之和为5，把这个数的个位数字与十位数字对调后，所得的新数与原数的积为736，求原数.
解：设原数的个位上数字为x,十位上的数字为______则原数表示为_______,对调后新数表示为_______.
根据题意，得
整理，得：_________________________.
解这个方程，得
检验：当x1＝______时,_____题意.当x2＝______时,_____题意.
答：__________________________.
【归纳总结】数字排列问题常采用间接设未知数的方法求解．(2)注意数字只有0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这10个，且最高位上的数字不能为0，而其他如分数、负数根不符合实际意义，必须舍去．
【针对训练】
有一个两位数，个位数字与十位数字的和为14,交换为之后，得到新的两位数，比这两个数字的积还大38，求这个两位数.
问题2：甲型流感病毒的传染性极强，某地因1人患了甲型流感没有及时隔离治疗，经过两天的传染后共有9人患了甲型流感，每天平均一个人传染了几人？如果按照这个传染速度，再经过5天的传染后，这个地区一共将会有多少人患甲型流感？
【针对训练】
1.有一根月季，它的主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长出同样数目的小分支，主干、枝干、小分支的总数是73，设每个枝干长出x个小分支，根据题意可列方程为（
）
A.1+x+x(1+x)=73
B.1+x+x2=73
C.1+x2
=73
D.(1+x)2=73
有一人患了流感,经过两轮传染后共有121人患了流感,每轮传染中平均一个人传染了几个人
问题3：要组织一场篮球联赛,赛制为单循环形式,即每两队之间都赛一场,计划安排15场比赛,应邀请多少个球队参加比赛
【针对训练】
元旦将至，九年级一班全体学生互赠贺卡，共赠贺卡1980张，问九年级一班共有多少名学生？设九年级一班共有x名学生，那么所列方程为（
）
A.x2=1980
B.
x(x+1)=1980
C.
x(x-1)=1980
D.x(x-1)=1980
问题4：某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600个，调查表明，这种台灯的售价每上涨1元，某销售量就将减少10个，为了实现平均每月10000元销售利润，这种台灯的售价应定为多少？这时应进台灯多少个？
【针对训练】
某超市将进价为40元的商品按定价50元出售时，能卖500件已知该商品每涨价1元，销售量就会减少10件，为获得8000元的利润，且尽量减少库存，售价应为多少？
二、课堂小结
一元一次方程的应用
内容
运用策略
传播、裂变问题
若设每轮传染x人，n轮后被传染的人数为_________.
弄清题意，分清类型
握手问题
x个同学彼此握手，握手册数为__________
比赛场次
x支足球队比赛，单循环赛制时比赛的总场次为________.双循环赛制时比赛的总场次为________.
数字问题
一个三位数的百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c，则这个三位数为________.
某校九年级组织一次篮球比赛，每两班之间都赛一场，共进行了55场比赛，则该校九年级一共有_______个班.
经研究发现，若是一个人患上甲型流感，经过两轮传染后，共有144人患上流感，按照这样的传染速度，若3人患上流感，则第一轮传染后换流感的人数共______人.
3.一个两位是，十位上的数字与个位上的数字之和是5，把这个数的十位上的数字与个位上的数字对调后，所得的新两位数与原来的两位数的乘积是736，则原来的两位数是_____.
4.有一个两位数，个位数字与十位数字的和为14，交换位置后，得到新的两位数，比这两个数字的积还大38，求这个两位数．
5.如图所示，A，B，C，D为矩形的四个顶点，AB＝16cm，AD＝6cm，P，Q分别从点A，C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B运动，一直到达B为止，点Q以2cm/s的速度向D移动，点P停止运动时点Q也停止运动．
(1)P，Q两点从出发开始几秒时，四边形PBCQ的面积为33cm2
(2)P，Q两点从出发开始几秒时，点P和点Q的距离第一次是10cm
当堂检测参考答案：
1.10
2.11
3.23或32
4.设个位数字为x，则十位数字为14－x，两数字之积为x(14－x)，两个数字交换位置后的新两位数为10x＋(14－x)．
根据题意，得10x＋(14－x)－x(14－x)＝38.
整理，得x2－5x－24＝0，解得x1＝8，x2＝－3.
因为个位数上的数字不可能是负数，所以x＝－3应舍去．
当x＝8时，14－x＝6.
所以这个两位数是68.
5.(1)设P，Q两点从出发开始xs时，四边形PBCQ的面积为33cm2，根据题意得PB＝AB－AP＝(16－3x)cm，CQ＝2xcm.
故(2x＋16－3x)×6＝33，解得x＝5.
故P，Q两点从出发开始5s时，四边形PBCQ的面积为33cm2；
(2)设P，Q两点从出发开始xs时，点P和点Q的距离是10cm.
如图，过Q点作QM⊥AB于点M，则BM＝CQ＝2xcm，故PM＝(16－5x)cm.
在Rt△PMQ中，PM2＋MQ2＝PQ2，
∴(16－5x)2＋62＝102.解得x1＝，x2＝.
∵所求的是第一次满足条件的时间，∴x＝.
故P，Q两点从出发开始s时，点P和点Q的距离第一次是10cm.
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合作探究
当堂检测24.2
解一元二次方程
第3课时
因式分解法
学习目标：
1.学会用因式分解法解一元二次方程.
2.能够选择合适的方法解一元二次方程.
学习重点：用因式分解法解一元二次方程.
学习难点：选择适当的解法解一元二次方程.
知识链接
(1)因式分解的方法有_______、________.
(2)平方差公式：a2-b2=___________,a2±2ab+b2=___________________.
将下列各式因式分解：
（1）45a+25a2=__________________.（2）9x2-36y2=__________________.
a2-3a-18=________________.
新知预习
对于方程，除了可以用配方法和公式法求解，还可以怎样求解呢？
用配方法求解：
（2）用公式法求解：
（3）小梁同学认为上述两种方法都比较复杂，想尝试其他解法，他的解题思路是将方程左边因式分解，进而转化成两个一元一次方程求解，请你根据他的思路完成解题过程：
【结论】
像这样，把一元二次方程的一边化为0，另一边分解成两个一次因式的乘积，进而转为为两个一元一次方程，从而求出原方程的根，这种解法叫做因式分解法.
三、自学自测
用因分解法解下列方程：
（2）
四、我的疑惑
______________________________________________________________________________________________________________________________________________________
要点探究
探究点：因式分解法
问题1：用因分解法解下列方程：
（1）
解：原方程可化为：_______________,
________________________.
得_________=0或_________=0.
（2）
解：原方程可化为：_______________,
_______________.
得_________=0或_________=0.
【归纳总结】因式分解法的基本步骤是：若方程的右边不是零，则先移项，使方程的右边为零；将方程的左边分解因式；根据若A·B=0,则A=0或B=0,将解一元二次方程转化为解两个一元一次方程.
问题1：填空
①
x2-3x+1=0
；
②
3x2-1=0
；
③
-3t2+t=0
；
④
x2-4x=2
；
⑤
2x2-x=0；
⑥
5(m+2)2=8；⑦
3y2-y-1=0；
⑧
2x2+4x-1=0；⑨
(x-2)2=2(x-2).
适合运用直接开平方法:_____________；
适合运用因式分解法:_____________；
适合运用公式法:_____________；
适合运用配方法:_____________.
【归纳总结】
【针对训练】
选择合适的方法解下列方程：
x2-5x+6=0；
（2）（x+4）（x-1）=6.
（3）x（x-2）=2-x.
二、课堂小结
因式分解法
内容
运用策略
定义
把原方程化为两个______方程求解的方法.
适合因式分解法求解的三种方程形式：（1）x2+bx=0，（2）x2-a2=0，（3）x2+（a+b）x+ab=0
理论依据
A·B=0,则A_____或_____
方程（x-a）（x-b）=0的解是
因式分解法解一元二次方程的一般步骤
（1）把方程右边化为0；（2）将方程左边因式分解成两个一次因式乘积；（3）令每个因式分别等于0；（4）解这个两个一次方程，它们的解就是原方程的解.
1.方程（x-3）（x-1）=x-3的解是（
）
A.x=0
B.x=3
C.x=3或x=-1
D.x=3或x=0
2..填空：
（1）方程x2+x=0的根是
_________________；
（2）x2－25=0的根是________________.
3.已知等腰三角形的腰和底边分别是一元二次方程的根，则该三角形的周长是_______.
4.解下列一元二次方程：
（1）（x－5)
(3x－2)=10;
(2)
(3x－4)2=(4x－3)2.
当堂检测参考答案：
D
（1）x1=0,
x2=-1
（2）x1=5,
x2=-5
7
(1)
（2）x1=1,
x2=-1.
自主学习
合作探究
当堂检测24.4
一元二次方程的应用
第2课时
百分率问题
学习目标：学会一元二次方程解决增长率和利润率问题.
学习重点：根据实际问题列出一元二次方程.
学习难点：从实际结合问题中抽象出数学模型.
知识链接
1.列代数式.
（1）某公司今年的销售收入是a万元，如果每年的增长率是x,那么一年后的销售收入将
达到______万元
（2）某公司今年的销售收入是a万元，如果每年的增长率是x，那么两年后的销售收入将达到_____万元.
2填一填：(1)利润=售价-_______;
(2)利润率=利润/售价=；
（3）售价=进价×（1+_______）;
(4)总利润=单价利润×________.
3.列方程解应用题的一般步骤有：_______________________________________________.
新知预习
【自主探究1】随着我国汽车产业的快速发展以及人们经济收入的不断提高，汽车已将越来越多的进入普通家庭，某市交通部门统计，2013年底，该市汽车保有量为15万辆，截止到2015年底，汽车保有量已经达到21.6万辆.若该市这两年汽车保有量增加率相同，设这个增长率为x.
（1）2014年底比2013年底增加了______万辆汽车，达到了______万辆；
（2）2015年底比2014年底增加了______万辆汽车，达到了______万辆；
根据题意，可列出方程_____________.
【自主探究2】
（一）某商品每件进价10元，售价15元，可得利润_______元
（1）若涨价2元，则售价________,利润________
(2)
若涨价3元，则售价________,利润_________
（3）若涨价x元，则售价________,利润________
(4)
若涨价x元，则售价________,利润_________
【结论】一件商品的利润=__________-____________
如果该商品涨价或降价，那么每件商品的利润=___________________________.
（二）
某商品原来每天可销售100件，后来进行价格调整,市场调查发现
1.
该商品每降价1元，商场平均每天可多销售2件
（1）如果降价2元，则多卖______件，每天销售量为______件
（2）如果降价3元，则多卖______件，每天销售量为______件
（3）如果降价x元，则多卖______件，每天销售量为______件
2.
该商品每涨价3元，商场平均每天少销售5件
（1）如果涨价6元，则少卖______件，每天销售量为______件
（2）如果涨价9元，则少卖______件，每天销售量为______件
（3）如果涨价x元，则少卖______件，每天销售量为______件
【结论】价格调整后商品的销售量=________________.
三、自学自测
1.某品牌服装每件进价a元，售价b元，降价x元后，则每件利润为______元
2.商场销售某品牌服装，每天售出a件，调查发现，该服装每涨价2元，商场每天可少销售
m件，如果涨价x元，则商场平均每天可销售_______件.
3.某商场今年一月份的销售额为60万元，由于经营不善，二三月份的销售额有所下降，到三月底时，销售额已经降为52.4万元，求二三月份的销售额的平均下降率.
四、我的疑惑
_______________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
要点探究
探究点1：列一元二次方程解决增长率问题
问题：西藏地震牵动着全国人民的心，某单位开展了“一方有难，八方支援”赈灾捐款活动．第一天收到捐款10000元，第三天收到捐款12
100元．
(1)如果第二天、第三天收到捐款的增长率相同，求捐款增长率；
解：(1)设捐款增长率为x，
根据题意，可列出方程_____________.
解方程得
检验：当x1＝______时,_____题意.当x2＝______时,_____题意.
答：捐款的增长率为_______.
按照(1)中收到捐款的增长速度，第四天该单位能收到多少捐款？
解：
【归纳总结】1.常见增长率问题一般公式为“原来的量×（1±变化率）n=后来的量”，其中增长用“﹢”，减少用“-”，“n”表示增长或减少的次数.
2.得出一元二次方程的解后，一定要注意检验，使一元二次方程的解符合实际意义.
【针对训练】
1.某商品原价100元，连续两次涨价x%后售价为120元，下面所列方程正确的是( )
A．100(1－x%)2＝120
B．100(1＋x%)2＝120
C．100(1＋2x%)2＝120
D．100(1＋x2%)2＝120
某渔船出海捕鱼，2011年平均每次捕鱼量为10吨，2013年平均每次捕鱼量为8.1吨，求
2011年～2013年每年平均每次捕鱼量的年平均下降率．
3.某农场的粮食产量在两年内由50万千克增加到60.5万千克，那么平均每年增长的百分率是多少？
探究点2：列一元二次方程解决利润率问题
问题：山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100
kg.后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售量可增加20
kg.若该专卖店销售这种核桃想要平均每天获利2240元，请回答：
(1)每千克核桃应降价多少元？
解：设每千克核桃应降价x元，根据题意，可列出方程_____________.
解方程得
检验：当x1＝______时,_____题意.当x2＝______时,_____题意.
答：每千克核桃应降价_______.
在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？
解：
【归纳总结】在解决定价或降价问题时，通常会出现两个结果，需根据题意进行取舍，所以要注意题中的隐含条件.
【针对训练】
商场某种商品的进价为每件100元，当售价定为每件150元时平均每天可销售30件．为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．设每件商品降价x元(x为整数)．据此规律，请回答：
(1)商场日销售量增加____件，每件商品盈利________元(用含x的代数式表示)；
(2)在上述条件不变、销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2
100元？
二、课堂小结
一元一次方程的应用
内容
运用策略
增长率问题
原来的量×（1±变化率）n=后来的量,其中“n”表示增长或减少的________.
解题时要理清原来的数，后来的数以及变化情况
利润问题
利润问题中常用的关系式：①利润=___________;②利润率=___________.
关键是弄清标价、售价、成本价的实际意义以及利润的灵感等量关系
1..某校去年对实验器材的投资为2万元,预计今明两年的投资总额为8万元,若设该校今明两年在实验器材投资上的平均增长率是x,则可列方程为_________________________
.
2.某种文化衫，每天销售40件，每件盈利20元，若每件降价1元，则每天可多销售10件，如果每天要盈利1080元，设每件应该降价x元，则可列方程为_________________________
.
3.某校坚持对学生进行近视眼的防治,近视学生人数逐年减少.据统计,今年的近视学生人数是前年人数的64%,那么这两年平均每年近视学生人数降低的百分率是多少
4.菜农李伟种植的某蔬菜，计划以每千克5元的价格对外批发销售.由于部分菜农盲目扩大种植，造成该蔬菜滞销，李伟为了加快销售，减少损失，对价格经过两次下调后，以每千克3.2元的价格对外批发销售.求平均每次下调的百分率；
当堂检测参考答案：
1.2（1+x)+2(1+x)2=8
2.（20-x）（40+10x）=1080
3.设平均每年近视学生人数降低的百分率为x,
前年近视人数为“1”，去年近视人数为（1
-
x）,今年近视人数为（1
-
x）2.
(1
–
x
)2
=
0.64
.
解得,
x1
=
0.2
,
x2
=
1.8（不合题意，舍去）.
答：3,4月份销售额的月平均增长率为20%.
4.（1）设平均每次下调的百分率为x，由题意，得
5(1－x)2=3.2，
解得
x1=20%，x2=1.8
（舍去）
∴平均每次下调的百分率为20%;
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合作探究
当堂检测24.1
一元二次方程
学习目标：
1.了解一元二次方程的相关概念并运用其解决问题.
2.会根据实际问题列出一元二次方程.
学习重点：一元二次方程的一般形式及其有关概念.
学习难点：将实际问题转化为数学问题的建模过程.
知识链接
一件标价为600元的上衣，按8折（即按标价的80%）销售仍可获利20元．设这件上衣的成本价为x元，根据题意，列方程得
．
张栋同学到百货大楼买了两种型号的信封，共30个，其中买Ａ型号的信封用了1元5角，买Ｂ型号的信封用了1元2角，Ｂ型号的信封每个比Ａ型号的信封便宜2分．设Ｂ型号的信封的单价为x分，根据题意，列方程得
．
新知预习
如图，某学校要在校园内墙边的空地上修建一个长方形的存车处，存车处的一面靠墙（墙长22m），另一面用90m长的铁栅栏围起来.如果这个存车处的面积为700m2，求成长方形存车处的长和宽.
解：方法一
设长方形存车处的宽（靠墙的一边）为x
m，则它的长为_________m，
根据题意，可得方程：______________.
整理，得__________________________.
方法二
设长方形存车处的长（与墙垂直的一边）为x
m，则它的宽为_________m，
根据题意，可得方程：______________.
整理，得__________________________.
观察由方法一和方法二得到的两个方程，这两个方程的共同点是：
只含有一个未知数，都是关于x的________方程；
x的最高次数都为_________.
像这样的方程我们称之为一元二次方程.
一元二次方程的一般形式可以归纳为__________________________________.
我们解出这两个方程后，得到的解，称为这个一元二次方程的解也叫作一元二次方程的根.
三、自学自测
1.下列方程中一定是关于x的一元二次方程的是( )
A．3(x＋1)2＝2(x＋1)
B.＋－2＝0
C．ax2＋bx＋c＝0
D．x2＋2x＝x2－1
2．将下列方程化为一元二次方程的一般形式:
(1);
;
3.判断下列各题括号内未知数的值是不是方程的根：
x2-3x+2=0
(x1=1
x2=2
x3=3)
4.某小区准备在每两幢楼房之间开辟面积为300平方米的一块长方形绿地，并且长比宽多10米，设长方形绿地的宽为x米，则可列方程(化为一般形式)为_______．
四、我的疑惑
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
要点探究
探究点1：一元二次方程的定义及一般形式
问题1：方程（2a-4)x2-2bx+a=0在什么条件下为一元二次方程？
解：方程的二次项系数为_________,
因为方程为一元二次方程，所以其二次项系数不为零.
所以___________________,
根据一元二次方程的定义可得_____________.
综上所述，方程（2a-4)x2-2bx+a=0为一元二次方程的条件是__________.
问题2：将下列一元二次方程化为一般形式，并写出二次项系数、一次项系数及常数项．
(1)2x2＋3x＝x2－3x－2；
(2x－1)(3x＋2)＝(x－2)2－1；
(3)4x2＝3x－＋1.
【归纳总结】利用等式的性质可将任何一个一元二次方程化为一般形式，其步骤是去括号、去分母、移项、合并同类项.
【针对训练】
若关于x的方程(k－3)x|k|－1－x－2＝0是一元二次方程，求不等式k
x－2k＋6≤0的解集，并将解集在数轴上表示出来．
2.已知关于x的方程(m2－16)x2＋(m＋4)x－9＝0.
(1)当m为何值时，此方程是一元一次方程？并求出此时方程的解．
(2)当m为何值时，此方程是一元二次方程？并写出这个方程的二次项系数、一次项系数及常数项．
探究点2：一元二次方程的解
问题：若x=1是关于x的一元二次方程x2+3mx+n=0的解，求6m+2n的值.
【归纳总结】已知解求关于待定系数的代数式的值，将解代入方程，求得关于待定系数的方差或等量关系，通常运用整体代入的思想求解.
【针对训练】
已知一元二次方程ax2－8x＋b＝0的两根为x1＝3，x2＝－，求这个方程．
2.已知关于x的一元二次方程(m－1)x2＋3x－5m＋4＝0有一根为2，求m＋1的值.
探究点2：列一元二次方程
问题：在一幅长8分米，宽6分米的矩形风景画(如图①)的四周镶宽度相同的金色纸边，制成一幅矩形挂图(如图②)．如果要使整个挂图的面积是80平方分米，求金色纸边的宽．(请根据题意列出方程)
【归纳总结】根据实际问题列一元二次方程的一般步骤是：
确定x的取值范围
【针对训练】
在一块宽20m、长32m的矩形空地上，修筑宽相等的三条小路（两条纵向，一条横向，纵向与横向垂直），把矩形空地分成大小一样的六块，建成小花坛.如图要使花坛的总面积为570m2，问小路的宽应为多少？
二、课堂小结
一元二次方程
内容
运用策略
定义及一般形式
一般式____________________二次项___,二次项系数_____,一次项_____,常数项_____.
化一般形式的口诀：一般式，形式定，等左二次三项式，右边只有孤单0，项和系数方可谈，系数连同前符号
一元二次方程的根（解）
使方程左右两边________相等的未知数的值.
已知方程的根求字母系数的值，将根代入方程，得到关于字母系数的方差，通常运用整体代入思想
根据实际问题列一元二次方程
1.将一元二次方程2(x＋1)(x－2)＝x(x＋3)－5化为一般形式为( )
A．x2－5x＋1＝0B．x2＋x－9＝0
C．x2－4x＋3＝0D．x2－x＋1＝0
2.下列各数是一元二次方程2x2＋5x＋2＝0的根的是( )
A．1
B．－1
C．2
D．－2
3.若关于x的方程x2－2x＋c＝0有一个根是1，那么c的值是( )
A．1
B．2
C．3
D．4
4．一块面积为600平方米的长方形土地,它的长比宽多10米,求长方形的长与宽,若设长方形的长为x米,则它的宽为___________米,根据题意的方程为_______________________.
5.方程化为一般式为___________________，它的二次项系数为______，一次项系数为_______，常数项为______.
7.如图，在一块长为22米、宽为17米的矩形地面上，要修建一条长方形道理LMPQ及一条平行四边形道理RSTK，剩余部分种上草坪，使草坪面积为300平方米.若LN=RS=x米，请根据题意列出方程.
6.有一个两位数，它的个位数字与十位数字的和等于6，且这两个数字的积等于这个两位数的，设这个两位数的十位数字为x，求这个两位数．(只需根据题意列出方程)
当堂检测参考答案：
A
2.D
3.
A
,
,
1,
3,
-1.
（22-x）（17-x）=300.
7.根据题意，得x(6－x)＝[10x＋(6－x)]，即x2－3x＋2＝0.
自主学习
合作探究
当堂检测24.2
解一元二次方程
第2课时
公式法
学习目标：
1.学会推导一元二次方程根的判别式和求根公式.
2.能够用公式法解一元二次方程.
学习重点：求根公式的推导与正确使用.
学习难点：求根公式的推导.
知识链接
2.用配方法解下列方程：x2-3x+1=0.
新知预习
2.上述2中的方程，一次项系数为奇数，若采用配方，计算过程会比较繁琐，那么是否有更
简便的方法呢？
3.尝试用配方法解一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0.
（1）移项，得_____________________.
（2）将二次项系数化为1，得_____________.
（3）配方，得_______=______.
（4）整理，得___________________________.
于是得到
（5）当_____________>0时，___________>0,得=______________.
原方程有两个不相等的实数根：
当_____________=0时，___________=0,得=______.
原方程有两个相等的实数根：
当_____________<0时，___________<0,而______.
原方程没有实数根.
于是我们可以得到：
我们把这个决定一元二次方程根的情况的式子________叫做一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式.
三、自学自测
1.用公式法解方程3x2+4=12x，下列代入公式正确的是（
）
A.
B.
C.
D.
2.一元二次方程x2-2x+3=0的根的情况是（
）
A.有两个相等的实数根
B.有关两个不相等的实数根
C.只有一个实数根
D.没有实数根
用公式法解方程：x2-x-1=0.
四、我的疑惑
_________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
要点探究
探究点1：一元二次方程根的判别式
【概念补充】一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），对于b2-4ac我们可称之为根的判别式，可用△表示.所以当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程没有实数根.
例1：不解方程，判断下列方程的根的情况：
（1）
解：Δ=___________,方程__________实数根；
解：Δ=___________,方程__________实数根；
解：Δ=___________,方程__________实数根.
例2：已知关于x的一元二次方程有实数根，求m的取值范围.
解：因为方程有实数根，所以Δ=___________,解得_____________.
故m的取值范围是_________________.
【归纳总结】判断一元二次方程是否有实根，只需计算方程判别式，判断其正负即可.反过来，若已知根的情况，求字母的取值，根据判别式的正负列方程或不等式求解即可.
【针对训练】
下列方程中，没有实数根的是
（
）
B.
C.
D.
关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，求整数m的最大值.
探究点2：公式法
例：用公式法解下列方程：
解：
解：
问题2：当m为何值时，关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，此时这两个实数根是多少？
解：
【归纳总结】利用公式法解一元二次方程的一般步骤：
将方程化成一元二次方程的一般形式
确定a,b,c的值，并注意它们的符号，
计算的值，满足≥0时，代入求根公式
【针对训练】
用公式法解下列方程：
(2)
二、课堂小结
公式法
内容
运用策略
根的判别式及求根公式
对于，Δ=___________,当________≥0时，方程的根为x=_____________________.
_______≥0是求根公式成立的前提.
用公式法解一元二次方程的一般步骤
（1）把方程化为一般形式；（2）确定a、b、c的值；（3）代入判别式判断方程根的情况，满足________≥0时，代入求根公式求出方程的根（注意不要丢掉各项系数的符号）.
用公式法解方程，正确的是（
）
A.
B.
C.
D.
2.关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是______.
3.用公式法解下列方程：
（1）
（2）
（3）
关于x的一元二次方程
求出方程的根；
m为何整数时，此方程的两个根都为正整数？
在等腰△ABC
中，三边分别为a,b,c，其中a=5，若关于x的方程x2+(b+2)x+6-b=0有两个相等的实数根，求△ABC
的周长.
当堂检测参考答案：
C
2.
（1）
（2）
（3）没有实数根.
（1）
（2）m=2或3.
5.关于x的方程x2+(b+2)x+6-b=0有两个相等的实数根，所以Δ=b2－4ac=（b-2）2-4（6-b）=b2+8b-20=0.
所以b=-10或b=2.
将b=-10代入原方程得x2-8x+16=0，x1=x2=4；
将b=2代入原方程得x2+4x+4=0，x1=x2=-2（不符题设，舍去）；
所以△ABC
的三边长为4，4，5，其周长为4+4+5=13.
自主学习
合作探究
当堂检测24.3
一元二次方程根与系数的关系
学习目标：
1.学会用直接开平方法解简单的一元二次方程.
2.了解配方法解一元二次方程的解题步骤.
学习重点：配方法的解一元二次方程的步骤.
学习难点：用配方法解一元二次方程.
知识链接
1.(1)一元二次方程的一般形式是________________.
(2)一元二次方程的求根公式是_________________.
2.由因式分解法可知，方程（x-2）（x-3）=0的两根为x1=_____，x2=_____.
方程（x-2）（x-3）=0可化为x2-5x+6=0的形式，则x1+x2=________,x1x2=______.
新知预习
【问题】解下列方程，将得到的解填入下面的表格中，观察表中x1+x2,x1·x2的值，它们
一元二次方程的各系数之间有什么关系？从中你能发现什么规律？
【自主探究一】
【猜想1】若方程x2+px+q=0的两根为x1,x2,则x1+x2=______,x1·x2=______.
【自主探究二】
【猜想1】若方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根为x1,x2,则x1+x2=______,x1·x2=______.
三、自学自测
1.已知是x1，x2方程x2+3x-4=0的两根，则x1+x2=________,x1x2=______.
2.不解方程，求方程2x2+3x-1=0的两根的（1）平方和；（2）倒数和.
四、我的疑惑
_____________________________________________________________________
要点探究
探究点1：一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）
【验证猜想】对于一元二次方程ax2+bx+c=0，当b2-4ac≥0时，设方程的两个分别为x1，x2，
求x1+x2,x1x2的值.
（1）根据公式法，我们可以知道x1=_____，x2=_____.
（2）则x1+x2=________,x1x2=______.
一元二次方程根与系数的关系
例1：设x1，x2是方程2x2+4x-3=0的两根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：
（1）（2）
解：根据根与系数的关系，可知x1+x2=________,x1x2=______.
=____________=______________;
=____________=______________;
【归纳总结】配方解决此类问题先要确定a，b，c的值，再求出的x1+x2,x1x2值，最后将所求式做适当变形，把x1+x2与x1x2的值整体代入求解即可.
【针对训练】
1.已知α，β是一元二次方程x2－5x－2＝0的两个实数根，则α2＋α
β＋β2的值为( )
A．－1
B．9
C．23
D．27
2.请写出两根分别是2和－5的一个一元二次方程________．
探究点2：一元二次方程根与系数的关系的应用
例2：已知方程的一个根是－3，求另一根及k的值.
解：方法一
方法二
【归纳总结】利用根与系数的关系求未知字母的值时，求出的值必须保证原方程有解，通常解这类题目时，最后都需要检验.
【针对训练】
1.已知的两个实数根，求的值
2.关于的一元二次方程的两个实数根分别是，且，求的值.
二、课堂小结
根与系数的关系
公式
应用
应用前提
方程必须有解
应用形式
①已知一根求另一根和未知系数；②求变形式的值；③已知两根求方程；④已知两个根的数量关系，求未知字母的值（要注意取舍）
1.若方程的两个根为，，则的值是
.
2.已知实数a，b分别满足a2－6a＋4＝0，b2－6b＋4＝0，且a≠b，则＋的值是( )
A．7
B．－7
C．11
D．－11
3.设x1，x2是一元二次方程3x2＋6x－＝0的两实数根，不解方程，求下列各式的值．
(1)x·x2＋x1·x；
|x1－x2|.
4.设x1，x2是关于x的方程x2－4x＋k＋1＝0的两个实数根．问：是否存在实数k，使得3x1·x2－x1＞x2成立，请说明理由．
已知a，b，c是Rt△ABC三边的长，a＜b＜c，
求证：关于x的方程a(1－x2)－2bx＋c(1＋x2)＝0有两个不相等的实数根；
(2)若c＝3a，x1，x2是这个方程的两根，求x＋x的值．
当堂检测参考答案：
-1
2.A
3.x1＋x2＝－2，x1·x2＝－，
(1)x·x2＋x1·x＝x1·x2(x1＋x2)＝－×(－2)＝3.
(2)(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝(－2)
2－4×＝4＋6＝10.
故|x1－x2|＝.
4.∵关于x的方程x2－4x＋k＋1＝0有两个实数根，
∴Δ＝16－4(k＋1)≥0.∴k≤3.
又3x1·x2－x1＞x2，
∴3x1·x2－(x1＋x2)＞0.
而x1＋x2＝4，x1·x2＝k＋1，
∴3×(k＋1)－4＞0.∴k＞.
∴＜k≤3，
∴存在实数k，使得3x1·x2－x1＞x2成立．
5.(1)证明：把方程a(1－x2)－2bx＋c(1＋x2)＝0化成一般形式为(c－a)x2－2bx＋a＋c＝0，
其判别式Δ＝8b2－4a2＋4c2，
∵a，b，c是Rt△ABC三边的长，
且a＜b＜c，
∴Δ＝8b2－4a2＋4c2＞0.
∴方程a(1－x2)－2bx＋c(1＋x2)＝0有两个不相等的实数根．
(2)∵x1＋x2＝，x1·x2＝，
又c＝3a，∴x1＋x2＝，x1·x2＝2，
∴x＋x＝－4.
自主学习
合作探究
当堂检测
