27.2
反比例函数的图像和性质
第2课时
反比例函数的性质
学习目标：
1.根据反比例函数的图像归纳出反比例函数的性质.
2.能够结合反比例函数的图像和性质解决问题.
学习重点：反比例函数的性质.
学习难点：反比例函数的图像和性质的运用.
一、知识链接
1.在直角坐标系中作出反比例函数的图像.
二、新知预习
2.根据1中得到的图像，完成下表：
表达式
图像的位置
y随x的变化情况
在第_____象限内
函数值y随自变量x的增大而_____
在第_____象限内
函数值y随自变量x的增大而_____
在第_____象限内
函数值y随自变量x的增大而_____
在第_____象限内
函数值y随自变量x的增大而_____
【归纳】反比例函数的性质:
反比例函数的图像，当k>0时,图像位于第____、____象限，在每一象限内，y的值随x的增大而____；
当k<0时，图象位于第____、____象限，y的值随x的增大而____.
三、自学自测
1.下列函数中，其图象位于第一，三象限的有
；在其图象所在象限内，
y的值随x值的增大而增大的有
。
①
y=
②
y=
③
y=
④
y=
2.
已知点(
2,
y1),
(
3,
y2
)在反比例函数y=的图象上，则y1
y2.
四、我的疑惑
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
要点探究
探究点：反比例函数的性质
问题1：
在反比例函数y＝的图象的每一条曲线上，y都随x的增大而增大，则k的值可以是（ ）
－1
B.0
C.1
D.2
【归纳总结】反比例函数图象的位置和函数的增减性，都是由比例系数k的符号决定的；反过来，由双曲线所在位置和函数的增减性，也可以推断出k的符号.
【针对训练】
问题2：在反比例函数y＝－的图象上有三点（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），若x1＞x2＞0＞x3，则下列各式正确的是（ ）
A.y3＞y1＞y2
B.y3＞y2＞y1
C.y1＞y2＞y3
D.y1＞y3＞y2
【归纳总结】此题有多种解法，图象法形象直观，具有一般性；特殊值法最简单，这种方法对于解答许多选择题都很有效，要注意学会使用.
【针对训练】
已知点(
x1,
y1),
(
x2,
y2
)都在反比例函数y=的图象上，且x1＜x2＜0,则
y1
y2
问题3：如图，两个反比例函数和在第一象限内的图象分别是和，设点P在上，PA⊥x轴于点A，交于点B，则△POB的面积为_______.
【归纳总结】
求阴影部分的面积的方法：当它无法直接求出时，一般都采用“割补法”的方法，将它转化为易求面积的图形面积的和或差来进行计算.
【针对训练】
反比例函数的图象如图所示，点M是该函数图象上一点，MN垂直于x轴，垂足是点N，如果S△MON＝2，则k的值为 .
二、课堂小结
反比例函数
图象
性质
在第_____象限内，函数值y随自变量x的增大而_____.
在第_____限内，函数值y随自变量x的增大而_____.
k的几何意义
1.对于反比例函数，下列说法不正确的是（
）
A．点在它的图象上
B．它的图象在第一、三象限
C．当时，随的增大而增大
D．当时，随的增大而减小
2.已知点A（）、B（）是反比例函数（）图象上的两点，
若，则(
)
A．
B．
C．
D．
3.在反比例函数图象的每一支曲线上，y都随x的增大而减小，则k的取值范围是
.
4.
已知点（-m，n）在反比例函数的图象上，则它的图象也一定经过点
。
5.如图，四边形OABC是边长为1的正方形，反比例函数y＝的图象经过点B（x0，y0），则k的值为 .
6.如图，在平面直角坐标系中，点O为原点，反比例函数y＝(k≠0)的图像经过点(1，4)，菱形OABC的顶点A在函数的图像上，对角线OB在x轴上．
求反比例函数的表达式；
直接写出菱形OABC的面积．
当堂检测参考答案：
C
2.A
3.k>3
4.（m，-n）
5.-1
6.(1)∵y＝的图像经过点(1，4)，∴4＝，即k＝4.∴所求反比例函数的表达式为y＝.
(2)S菱形OABC＝8.
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当堂检测27.2
反比例函数的图像和性质
第1课时
反比例函数的图像
学习目标：
1.复习我们已经学习过的函数图像的画法.
2.掌握反比例函数图像的画法.
学习重点：反比例函数图像的画法.
学习难点：根据反比例函数图像解决问题.
一、知识链接
1.在直角坐标系中，由函数表达式画函数图像主要的步骤有哪些？
2.在同一坐标系中，画出下列函数的图像？
（1）y=x；（2）y=-x；（3）y=x+6；（4）y=x-6.
二、新知预习
3.我们来画出反比例函数的图像.
（1）列表：
x
…
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
…
…
…
描点：以表中各组对应值作为点的坐标，在如图所示的直角坐标系中描出对应的点.
连线：用平滑的曲线顺次连接各点，就得到反比例函数的图像.
根据3中得到的反比例函数的图像回答下列问题：
反比例函数的图像与坐标轴有交点吗？为什么？
答：__________________________________________________.
（2）仅凭两个点的坐标，能画出反比例函数的图像吗？
答：__________________________________________________.
反比例函数（k为常数，且k≠0）的图像由分别位于______个象限内的_____条曲线组成，这样的曲线叫做双曲线.
三、自学自测
在直角坐标系中，画出反比例函数的图像.
四、我的疑惑
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
要点探究
探究点：反比例函数的图像
问题1：反比例函数的图象在（ ）
A.第一、二象限
B.第二、三象限
C.第一、三象限
D.第二、四象限
【归纳总结】反比例函数y＝的图象是由两支曲线组成的.当k＞0时，两支曲线分别位于第一、三象限内；当k＜0时，两支曲线分别位于第二、四象限内.
【针对训练】
若双曲线y＝的两个分支分别在第二、四象限，则k的取值范围是（ ）
k＞
B.k＜
C.k＝
D.不存在
问题2：已知一个长方形的面积是8，则这个长方形的一组邻边长y与x之间的函数关系图象大致是图中的（ ）
【归纳总结】在解决与反比例函数的图象有关的实际问题时，因自变量的取值范围有限制，常只有一个分支或一个分支中的部分曲线段符合题意.
【针对训练】
正方形的边长为2，反比例函数过点，则的值是（
）
A．
B．
C．
D．
问题3：
已知反比例函数y＝的图象与一次函数y＝3x＋m的图象相交于点（1，5）.
求这两个函数的解析式；
求这两个函数图象的另一个交点的坐标.
【针对训练】
已知：如图，反比例函数的图象经过点A、B，点A的坐标为（1，3），点B的纵坐标为1，点C的坐标为（2，0）.
（1）求该反比例函数的解析式；
（2）求直线BC的解析式.
二、课堂小结
做法
（1）________；（2）________;（3）________.
图象（）
k>0时，函数图象位于第_______象限
k<0时，函数图象位于第________象限
特征
无限接近坐标轴，但不与坐标轴相交.
对称性
既是______对称，又是________对称，其对称轴是________或________，对称中心是_________.
1.．已知反比例函数y＝的图像经过点(1，－2)，则k的值为( )
A．2
B．－
C．1
D．－2
2.在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax＋b与y＝（ab≠0）的图象大致是（ ）
点P在反比例函数y＝(k≠0)的图像上，点Q(2，4)与点P关于y轴对称，则反比例函数的表达式为__________．
已知反比例函数的图像在第二象限，则m的值为__________.
已知一次函数y=x+1的图像与反比例函数y＝的图像相交，其中一个交点的横坐标是2，则k
值为________.
如果一个正比例函数的图像与反比例函数的图像交于点A（）、B（）那么的值为________.
当堂检测参考答案：
D
2.C
3.y＝－
4.-2
5.6
6.28
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当堂检测27.1
反比例函数
学习目标：
理解并掌握反比例函数的定义并会判定反比例函数.
2.能够根据实际情况列出反比例函数表达式.
学习重点：反比例函数的定义及判定.
学习难点：根据实际情况列反比例函数表达式.
一、知识链接
1.京沪线铁路全程为1463km，某次列车平速度v（单位:km/h）随此次列车的全程运行时间t（单位:h）的变化而变化．则vt=__________,用t表示v的函数表达式为________.
2.某住宅小区要种植一块面积为
1
000
m2的矩形草坪，草坪的长
y（单位：m）随宽
x（单位：m）的变化而变化．则xy=__________,用x表示y的函数表达式为________.
二、新知预习
3..观察上面各函数关系式有什么特点,完成下面填空.
上面的函数关系式，都具有______的形式，其中＿＿是常数．
如果两个变量
x
，y
之间的函数关系可以表示成＿＿＿＿（k≠0）的形式，那么
y
是
x
的反比例函数，反比例函数的自变量
x
_____为零.
三、自学自测
1．下列函数中，y是x的反比例函数的是( )
A．y＝－4x
B．y＝－6x＋1
C．y＝
D．xy＝2
2．计划修建铁路l千米，铺轨天数为t(天)，每日铺轨量s(千米/天)，则在下列三个结论中，正确的是( )
①当l一定时，t是s的反比例函数；
②当t一定时，l是s的反比例函数；
③当s一定时，l是t的反比例函数．
A．①
B．②
C．③
D．①②③
四、我的疑惑
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
要点探究
探究点1：反比例函数的定义
问题1：
在下列反比例函数表达式中，哪些函数表示y是x的反比例函数？
(1)y＝； (2)y＝； (3)y＝；
(4)xy＝； (5)y＝； (6)y＝－；
(7)y＝2x－1； (8)y＝(a≠5，a是常数)．
【归纳总结】判断一个函数是否是反比例函数，关键看它能否写成y＝(k是常数，k≠0)或xy＝k(k≠0)及y＝kx－1(k≠0)的形式，即两个变量的积是不是一个非零常数．如果两个变量的积是一个不为0的常数，则这两个变量就是反比例关系；否则便不成反比例关系．
【针对训练】
下列函数关系中，是反比例函数的是（
）
A
.圆的面积S与半径r的函数关系
B.三角形的面积为固定值时（即为常数），底边a与这
条边上的高h的函数关系
C.人的年龄与身高关系
D.小明从家到学校，剩下的路程s与速度v的函数关系
问题2：若y＝(k2＋k)xk2－2k－1是反比例函数，试求(k－3)2015的值．
【归纳总结】反比例函数表达式的一般形式y＝(k是常数，k≠0)也可以写成y＝kx－1(k≠0)，利用反比例函数的定义求字母参数的值时，一定要注意y＝中k≠0这一条件，不能忽略，否则易造成错误．
【针对训练】
如果函数错误！未找到引用源。是反比例函数，那么m的值是__________．
探究点2：确定反比例函数的关系式
问题1：已知y是x的反比例函数，当x＝－4时，y＝3.
写出y与x的函数表达式；
当x＝－2时，求y的值；
(3)当y＝12时，求x的值．
【归纳总结】(1)求反比例函数表达式时常用待定系数法，先设其表达式为y＝(k≠0)，然后再求出k值；(2)当反比例函数的表达式y＝(k≠0)确定以后，已知x(或y)的值，将其代入表达式中即可求得相应的y(或x)的值．
【针对训练】
已知一个函数的关系式满足下表(x为自变量)：
x
－4
－3
－2
－1
1
2
3
4
y
1.5
2
3
6
－6
－3
－2
－1.5
则这个函数的关系式为( )
A．y＝
B．y＝
C．y＝－
D．y＝
问题2：如图所示，某学校广场有一段25米长的旧围栏(图中用线段AB表示)．现打算利用该围栏的一部分(或全部)为一边建成一块面积为100平方米的矩形草坪(图中的矩形CDEF，CD(1)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
(2)若利用旧围栏12米，则计划修建费用应为多少元？
【归纳总结】解此类题型，首先要理解题意，然后根据已知条件选择合适的数学模型，最后根据实际情况确定自变量的取值范围．
【针对训练】
一定质量的氧气放在容器中，体积V与它的密度ρ成反比例函数，当它的体积V是10m3时，它的密度ρ=1.43kg/m3。
写出ρ与V的函数关系；
（2）当氧气密度是7.15
kg/m3时，容器的容积是多少m3．
二、课堂小结
1.某厂有煤1500吨，则这些煤能用的天数y与每天用煤的吨数x之间的函数关系是__________．
2.现有一批救灾物资要从A市送往B市，如果两城市间的路程为500km，车速为每小时xkm，从A市到B市所需的时间为yh，那么y与x的函数关系式是__________，且y是x的__________函数．
3.指出下列函数关系式中，哪些是反比例函数，如果是请指出k的值．
4.反比例函数y＝(k≠0)，当x的值由4增加到6时，y的值减少3，求这个反比例函数的表达式．
5.已知y＝y1＋y2，其中y1与x成正比例关系，y2与x成反比例关系，并且当x＝2时，y＝－4；当x＝－1时，y＝5.求y与x的函数表达式．
当堂检测参考答案：
y＝(x＞0)
y＝(x＞0) 反比例
（1）是，k=3
（2）是，k=
（3）不是，y=2x
（4）不是
（5）是，k=3
（6）不是
4.当x＝4时，y＝；当x＝6时，y＝；∵当x的值由4增加到6时，y的值减少3，∴－＝3，解得k＝36.∴这个反比例函数的表达式为y＝.
5.解：∵y1与x成正比例关系，∴设y1＝k1x(k1≠0)．∵y2与x成反比例关系，∴设y2＝(k2≠0)．∴y＝k1x＋.把x＝2，y＝－4及x＝－1，y＝5代入y＝k1x＋，得解得∴y＝－x－.
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当堂检测
PAGE
327.3
反比例函数的应用
学习目标：
1.复习并巩固反比例函数的图像与性质.
2.能够运用反比例函数解决实际问题.
学习重点：反比例函数图像和性质的运用.
学习难点：运用反比例函数解决实际问题.
一、知识链接
1.在一段长为45km的高速公路上，规定汽车行驶的速度最低为60km/h，最高车速根据汽车车型的不同而有所区别.
请根据图中信息回答下列问题：
在这段高速公路上，设小桥车行驶的速度为v，时间为t，写出v与t之间的函数关系式；
答：___________________________________.
某客车司机开车用了25min匀速通过了这段高速公路，请你判断这辆客车是否超速；
答：_____________________________________.
某天，由于天气原因，要求车辆通过这段高速公路时，车速均不能超过70km，此时车辆通过这段路最少需要多长时间？
答：______________________________________.
二、新知预习
2.在1中的（1）中得到的函数的图像由什么特点？
答：____________________________________________.
当中的电压一定时，怎样用电阻R表示电流I，电流I是怎样随着电阻R的变化而变化的？请根据下图进行具体分析.
用R表示I的函数表达式为_______________.
当R=36Ω时，I=________A.
当I=0.36A时，R=______Ω.
三、自学自测
在某一电路中，保持电压不变，电流I(A)与电阻R(Ω)成反比例，当电阻R＝5Ω时，电流I＝2A．
求I与R(R＞0)之间的函数关系式；
当电流I＝0.5安培时，求电阻R的值．
四、我的疑惑
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
要点探究
探究点：运用反比例函数解决实际问题
问题1：做拉面的过程中，渗透着反比例函数的知识.一定体积的面团做成拉面，面条的总长度y（m）是面条的粗细（横截面积）S（mm2）的反比例函数，其图象如图所示：
写出y与S之间的函数表达式；
当面条的横截面积为1.6mm2时，面条的总长度是多少米？
【归纳总结】解决实际问题的关键是认真阅读，理解题意，明确基本数量关系（即题中的变量与常量之间的关系），抽象出实际问题中的反比例函数模型，由此建立反比例函数，再利用反比例函数的图象与性质解决问题.
【针对训练】
人的视觉机能受运动速度的影响很大，行驶中司机在驾驶室内观察前方物体时是动态的，车速增加，视野变窄．当车速为50km/h时，视野为80度．如果视野f(度)是车速v(km/h)的反比例函数，求f，v之间的函数关系式，并计算当车速为100km/h时视野的度数．
问题1：某校科技小组进行野外考察，途中遇到一片十几米宽的烂泥湿地，为了安全、迅速通过这片湿地，他们沿着前进路线铺了若干木块，构筑成一条临时近道.木板对地面的压强p（Pa）是木板面积S（m2）的反比例函数，其图象如图所示.
请直接写出这一函数表达式和自变量的取值范围；
当木板面积为0.2m2时，压强是多少？
（3）如果要求压强不超过6000Pa，木板的面积至少要多大？
【归纳总结】本题渗透了物理学中压强、压力与受力面积之间的关系.当压力F一定时，p与S成反比例.另外，利用反比例函数的知识解决实际问题时，要善于发现实际问题中变量之间的关系，从而进一步建立反比例函数模型.
【针对训练】
某物体质量一定，则物体的体积V与物体的密度ρ成反比例函数．若体积V＝40m3，则密度ρ＝1.6kg/m3.
写出此物体的体积V与密度ρ的函数关系式．
当物体密度ρ＝3.2kg/m3时，它的体积V是多少？
(3)若为了将物体的体积控制在4～80m3之间，则该物体的密度在哪一个范围内？
二、课堂小结
类型
解题策略
实际问题与反比例函数
一般解题步骤：①审题，建立反比例函数关系式；②根据已知条件，由一个变量求出另一个_______,也就是解方程的过程
反比例函数与其他学科知识的综合
几个重要公式：①压强公式：p=______;②闭合电路中的电流、电压、电阻间的关系：I=________;③物体做功的功率P=____.
1.已知甲、乙两地相距s(km)，汽车从甲地匀速行驶到乙地，则汽车行驶的时间t(h)与行驶速度v(km/h)的函数关系图像大致是( )
2.近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）成反比例，已知400度近视眼镜镜片的焦距为0.25米，则眼镜度数与镜片焦距之间的函数关系式为
．
3.在某一电路中，保持电压不变，电流I(安培)与电阻R(欧姆)成反比例，当电阻R=5欧姆时，电流I=2安培。
（1）求I与R之间的函数关系式;
（2）当电流I=0.5安培时，求电阻R的值.；
4.如图，小华设计了一个探究杠杆平衡条件的实验：在一根匀质的木杆中点O左侧固定位置B处悬挂重物A，在中点O右侧用一个弹簧秤向下拉，改变弹簧秤与点O的距离x(cm)，观察弹簧秤的示数y(N)的变化情况．实验数据记录如下：
x(cm)
…
10
15
20
25
30
…
y(N)
…
30
20
15
12
10
…
把上表中(x，y)的各组对应值作为点的坐标，在坐标系中描出相应的点，用平滑曲线连接这些点并观察所得的图像，猜测y与x之间的函数关系，并求出函数关系式；
(2)当弹簧秤的示数为24N时，弹簧秤与O点的距离是多少厘米？随着弹簧秤与O点的距离不断减小，弹簧秤上的示数将发生怎样的变化？
当堂检测参考答案：
1.C
2.
3.(1)设I与R之间的函数关系式为,把R=5,I=2带入的k=10,所以
(2)当I=0.5时,
R=20.
4.(1)画图略，
由图像猜测y与x之间的函数关系为反比例函数关系，
设函数关系式为y＝(k≠0)，
把x＝10，y＝30代入，得k＝300，
∴y＝，将其余各点代入验证均适合．
∴y与x之间的函数关系式为y＝.
(2)把y＝24代入y＝得x＝12.5，
∴当弹簧秤的示数为24N时，弹簧秤与O点的距离是12.5cm，
∵k＝300＞0，
∴随着弹簧秤与O点的距离不断减小，弹簧秤上的示数不断增大．
自主学习
合作探究
当堂检测
