28.3
圆心角和圆周角
第3课时
圆内接四边形
学习目标：
理解并掌握圆内接四边形的概念及性质并学会运用
学习重点：圆周角的性质.
学习难点：圆周角的性质及计算.
一、知识链接
如图1，△ABC叫O的________三角形，O叫△ABC的_______圆.
如图1，若的度数为100°，则∠BOC=______，∠A=______.
如图2，在四边形ABCD中，∠B与∠1互补，AD的延长线与DC所夹∠2=60°，则
∠1=______,∠B=_______.
如图，劣弧AB所对的圆心角为α，优弧ADB所对的圆心角为α，根据周角的定义，可
得α+β=________°.
图1
图2
图3
二、新知预习
5.我们已经学习过圆与三角形，现在我们探究四边形与圆的关系.
【概念学习】四个顶点都在同一个圆上的四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆.
6.圆内接四边形的角度间有哪些关系呢？用量角器量一量，并作猜想.
和所对的圆心角之和等于多少度？∠ABC和∠ADC之间具有怎样的关系？答：_______________________________________.
∠BAD和∠BCD之间具有怎样的关系？答：__________________________________.
我们发现：圆内接四边形的对角__________________.
三、我的疑惑
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
要点探究
探究点：圆内接四边形及其性质
【猜想证明】已知，如图，四边形ABCD○O的内接四边形.求证：∠BCD+∠BAD=180°，∠ABC+∠ADC=180°.
【归纳】圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补.
【问题】如图，延长BC到点E，得到∠DCE，∠DCE是四边形ABCD的一个外角，∠A称∠DCE的内对角，这两个角的大小有什么关系？
【归纳】圆内接四边形的一个外角等于它的内对角.
例1：如图，点A，B，C，D在⊙O上，点O在∠D的内部，四边形OABC为平行四边形，则∠OAD＋∠OCD＝________度．
【归纳总结】在解决有关圆的内接四边形时，通常要结合圆心角和圆周角，解题时采用连接四边形顶点与圆心，结合圆心角和圆周角的相关性质求解.
例2：如图，已知A，B，C，D是⊙O上的四点，延长DC，AB相交于点E.若BC＝BE.求证：△ADE是等腰三角形．
【归纳总结】在证明与内接四边形有关的问题时，要时刻牢记其性质：圆内接四边形内角互补.
【针对训练】
1.圆内接四边形ABCD中，已知∠A=70°，则∠C=（ ）
A．20°
B．30°
C．70°
D．110°
2.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠BOD=88°，则∠BCD的度数是（ ）
A．88°
B．92°
C．106°
D．136°
3.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠B=70°，则∠D的度数是（ ）
A．110°
B．90°
C．70°
D．50°
4.四边形ABCD为圆O的内接四边形，已知∠BOD=100°，则∠BCD= ．
5.如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，点O在∠D的内部，∠OAD+∠OCD=50°，则∠B= ．
6.如图，⊙O的内接四边形ABCD两组对边的延长线分别交于点E、F．
（1）若∠E=∠F时，求证：∠ADC=∠ABC；
（2）若∠E=∠F=42°时，求∠A的度数；
（3）若∠E=α，∠F=β，且α≠β．请你用含有α、β的代数式表示∠A的大小．
二、课堂小结
圆内接四边形
内容
概念
四个顶点都在同一个圆上的四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做四边形的___圆
性质
圆内接四边形的对角__________________.圆内接四边形的一个外角等于四边的内对角.
如图，四边形ABCD内接于半圆O，已知∠ADC=140°，则∠AOC的大小是（ ）
A．40°
B．60°
C．70°
D．80°
第1题图
第2题图
第3题图
2.如图，四边形ABCD内接于⊙O，若四边形ABCO是平行四边形，则∠ADC的大小为（ ）
A．45°
B．50°
C．60°
D．75°
3.如图，在⊙O中，∠AOC=140°，∠ACB=50°，则∠BAC= ．
4.四边形ABCD为圆O的内接四边形，已知∠BOD=100°，则∠BCD= ．
5.已知四边形ABCD顶点都在4×4的正方形网格格点上，如图所示，
（1）请画出四边形ABCD的外接圆，并标明圆心M的位置；
（2）这个圆中弦BC所对的圆周角的度数是 ．
6.如图，⊙O的内接四边形ABCD两组对边的延长线分别交于点E，F．
（1）若∠E+∠F=α，求∠A的度数（用含α的式子表示）；
（2）若∠E+∠F=60°，求∠A的度数．
当堂检测参考答案：
1.D
2.C
3.20°
4.130°或50°
（1）
（2）45°
6.（1）∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，
∴∠A=∠BCF，
∵∠EBF=∠A+∠E，
而∠EBF=180°﹣∠BCF﹣∠F，
∴∠A+∠E=180°﹣∠BCF﹣∠F，
∴∠A+∠E=180﹣∠A﹣∠F，
即2∠A=180°﹣（∠E+∠F），
∵∠E+∠F=α，
∴∠A=90°﹣α；
（2）当α=60°时，∠A=90°﹣×60°=60°．
自主学习
合作探究
当堂检测28.2
过三点的圆
学习目标：
1.理解并掌握三点确定圆的条件并会应用.用.
2.理解并掌握三角形的外接圆及外心的概念.
学习重点：经历过一点、两点和不在同一直线上的三点作圆的过程..
学习难点：知道过不在同一条直线上的三个点画圆的方法.
一、知识链接
1.过_____点能确定一条直线.
2.过三点能够作_____条直线.
3.过一点可以画出_____个圆.
4.三角形三边的垂直平分线相交于一点，这个交点到三角形三个顶点的距离_______.
二、新知预习
2.如图，平面上有两点A，B，过A，B的圆有多少个？这些圆的圆心到AB的距离具有怎样的关系？圆心是否在线段AB的垂直平分线上？
如图，平面上三点A，B，C不在同一条直线上，过点ABC的圆是否存在？如果存在，这样的圆有多少个？你能确定经过A，B，C三点的圆的圆心及半径吗？
当在A，B，C同一条直线上时，过这三点的圆是否存在？
我们发现：过两点A，B的圆也有_____个，这些圆的圆心都在线段AB的________上，过不在同一直线上的三点A，B，C的圆________，这个圆的圆心为线段AB，BC的_______的交点.过在同一条直线上的三点的圆不存在.
三、自学自测
1.经过一点的圆有_______个，经过两点的圆有_______
个.
2.若平面上A、B、C三点所满足的条件是__________.
四、我的疑惑
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
要点探究
探究点1：以三点确定圆
例1：下列给定的三点能确定一个圆的是( )
A．线段AB的中点C及两个端点
B．角的顶点及角的边上的两点
C．三角形的三个顶点
D．矩形的对角线交点及两个顶点
【归纳总结】“不在同一直线上”这个条件非常重要，千万不能漏掉.
【针对训练】
1.A，B，C为平面上的三点，AB＝2，BC＝3，AC＝5，则( )
A．可以画一个圆，使A，B，C都在圆周上
B．可以画一个圆，使A，B在圆周上，C在圆内
C．可以画一个圆，使A，C在圆周上，B在圆外
D．可以画一个圆，使A，C在圆周上，B在圆内
2.如图为一残破古物，请做出它的圆心
探究点2：三角形的外接圆及外心
【问题1】用尺规作过三角形三个顶点的圆.
已知：如图，△ABC.
求作：⊙O，使它过三点A，B，C.
作法：（1）分别作线段AB和BC的________l1和l2，设l1与l2相交于点O.
（2）以点O为圆心，_______为半径画圆，⊙O即为所求.
【归纳】
（1）我们把经过三角形三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做是三角形的外心.
（2）由作图可知，三角形的外心是三角形三条角平分线的交点，所以三角形的外心到三角形各顶点的距离相等.
【问题2】分别画出以下三个三角形的外接圆，并观察三角形外心的位置与三角形形状之间的关系.
直角三角形
锐角三角形
钝角三角形
【归纳】直角三角形的外心在三角形的斜边中点上，锐角三角形的外心在三角形的内部，钝角三角形的外心在三角形的外部.
例2：三角形的外心具有的性质是（ ）
到三边的距离相等
B．到三个顶点的距离相等
C．外心在三角形外
D．外心在三角形内
【归纳总结】无论哪种三角形，它们的外心都在任意两边的垂直平分线的交点处，锐角三角形的外心在三角形的内部，直角三角形的外心在斜边上的中点，钝角三角形的外心在三角形的外部.
【针对训练】
1.等腰三角形底边上的中线所在的直线与一腰的垂直平分线的交点是（
）
A.重心
B．垂心
C．外心
D．无法确定
2.
如图，有A，，Ｃ三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（ ）
A．在AC，BC两边高线的交点处
B．在AC，BC两边中线的交点处
C．在AC，BC两边垂直平分线的交点处
D．在∠A，∠B两内角平分线的交点处二、课堂小结
内容
图示
以三点确定圆
_________的三点确定一个圆.
.
三角形的外接圆及外心
经过三角形三个顶点的圆，叫做三角形的________，外接圆的圆心叫做是三角形的__________.
1.如图，,已知一条直线l和直线l外两定点A、B，且AB在l两旁，则经过A、B两点且圆心在l上面的圆有（ ）
A．0个
B．1个
C．无数个
D．0个或1个或无数个
2.边长为2的等边内接于，则圆心O到一边的距离为________。
3.如果三角形三条边长分别为5，12，13
，那么这个三角形外接圆半径的长为_____。
4.．“不在同一直线上的三点确定一个圆”．请你判断平面直角坐标系内的三个点A(2，3)，B(－3，－7)，C(5，11)是否可以确定一个圆．
5.已知等腰三角形ABC的底边BC的长为10cm，顶角为，求它的外接圆直径.
当堂检测参考答案：
B
2.
3.6.5
4.设经过A，B两点的直线表达式为y＝kx＋b，
由A(2，3)，B(－3，－7)，
得解得
∴经过A，B两点的直线表达式为y＝2x－1；
当x＝5时y＝2x－1＝2×5－1＝9≠11，
所以点C(5，11)不在直线AB上，即A，B，C三点不在同一直线上，
所以A，B，C三点可以确定一个圆．
解：如图，连结OA、OB，
为等边三角形，外接圆直径为20cm..
自主学习
合作探究
A
B
C
当堂检测28.1
圆的概念及性质
学习目标：
1.理解圆的相关概念并会简单应用.
2.理解并掌握圆的对称性并会简单运用和计算.
学习重点：圆的相关概念.
学习难点：掌握圆的对称性及其运用.
一、知识链接
1.请尽可能多的找出下图中的圆.
列出你所学过的轴对称图形：__________________________.
列出你所学过的中心对称图形：_________________________.
二、新知预习
2.我们来画一个圆：
（1）方法一：把绳子的一端固定在某一点O处，在绳子的另一端栓上一支笔，然后将绳子拉紧，再绕着O点转一圈，这样笔画出的痕迹就是圆.
（2）方法二：使用圆规画圆.
【概念学习】
圆：平面上，到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆.
圆心：这个定点叫做圆心.
半径：这个定长叫做圆的半径.
圆的表示方法：如图，它是以点______为圆心，______的长为半径的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”，_________也称为⊙O的半径.
【归纳】由圆的概念以及轴对称和中心对称的意义，容易得到：
圆上各点到定点（圆心）的距离都等于定长（半径）.
思考：圆中还有其他的元素吗？动手画一画.
三、自学自测
1.请用圆规和直尺画出一个半径为3cm的圆，并在这个圆中分别画出长4cm、5cm、6cm的弦.
2.以点O为圆心，可以作几个圆
( )
A．只能1个
B．2个
C．3个
D．无数个
四、我的疑惑
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
要点探究
探究点1：圆的有关概念
【概念归纳】
弦：圆上任意两点间的线段叫做这个圆的一条弦.
直径：过圆心的弦叫做这个圆的直径.
弧：圆上任意的两点间的部分叫做圆弧，简称弧.弧用⌒表示.
半圆：圆的直径将这个圆分成能够完全重合的两条弧，这样的一条弧叫
做半圆
优弧：大于半圆的弧叫做优弧.
劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧.
优、劣弧的表示：如图，以AB为端点的弧有两条，其中劣弧用AB来表示，读作“弧AB”优弧用来表示,读作“弧ADB”.
等圆：能够完全重合的两个圆叫做等圆，
等弧：能够完全重合的两条弧叫做等弧.
例1：有下列五个说法：①半径确定了，圆就确定了；②直径是弦；③弦是直径；④半圆是弧，但弧不一定是半圆；⑤任意一条直径都是圆的对称轴．其中错误的说法个数是( )
A．1
B．2
C．3
D．4
【归纳总结】对称轴是直线，不能说成每条直径就是圆的对称轴；注意圆的对称轴有无数条．
【针对训练】
1.圆上任意两点间的部分是( )
A．半圆
B．直径
C．弦
D．弧
2.下列命题中是真命题的有( )
①两个端点能够重合的弧是等弧；②圆的任意一条弦把圆分成优弧和劣弧两部分；③长
度相等的弧是等弧；④半径相等的圆是等圆；⑤直径是最大的弦；⑥半圆所对的弦是直径．
A．3个
B．4个
C．5个
D．6个
例2如图所示，OA、OB是⊙O的半径，点C、D分别为OA、OB的中点，求证：AD＝BC.
【归纳总结】“同圆的半径相等”“公共角”“直径是半径的2倍”等都是圆中隐含的条件．在解决问题时，要充分利用图形的直观性挖掘出这些隐含的条件，从而使问题迎刃而解．
【针对训练】如图所示，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB，CD的延长线交于点E.已知AB＝2DE，∠E＝18°，求∠AOC的度数．
探究点2：圆的对称性
【动手操作】在纸上任意画出一个圆，用剪刀将其剪下.
（1）将这个圆对折，左右两边能重合吗？
（2）将圆心固定，将这个圆绕着圆心旋转180°，你又发现了什么
【归纳】圆是轴对称图形，过圆心的每一条直线都是它的对称轴.圆也是中心对称图形，圆形是它的对称中心.
例3：在下图所列的图形中选出轴对称图形：______.
二、课堂小结
内容
运用策略
圆的基本概念
平面上，到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做____，这个定点叫做____，这个定长叫做圆的____.
在圆中求角的问题时，转化到含有半径的等腰三角形中，应用“等边对等角”，同时要注意结合三角形的外角记忆平行线的性质解决.
和圆有关的概念
圆上任意两点间的线段叫做这个圆的一条____，过圆心的弦叫做这个圆的____.圆上任意的两点间的部分叫做____，简称____，圆的直径将这个圆分成能够完全重合的两条弧，这样的一条弧叫做____；大于半圆的弧叫做____，小于半圆的弧叫做____.
直径是圆中最长的弦，一个圆有无数条直径.在圆中，直径是弦，但弦不是直径.半圆是弧，但弧不一定是半圆，长度相等弧不一定是等弧.
1.判断下列说法的正误：
(1)弦是直径；
（
）
(2)半圆是弧；
（
）
(3)过圆心的线段是直径；
（
）
(4)过圆心的直线是直径；
（
）
(5)半圆是最长的弧；
（
）
(6)直径是最长的弦；
（
）
(7)圆心相同，半径相等的两个圆是同心圆;
（
）
(8)半径相等的两个圆是等圆.
（
）
下列图形中，四个顶点一定在同一个圆上的是（
）
平行四边形
B.矩形
C.菱形
D.任意四边形
如图，MN为⊙O的半径，∠MON=70°，则∠M=______.
如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD⊥AB，垂足为D，已知CD=4，OD=3，则AB=______.
5.如图，半圆O的直径AB＝8，半径OC⊥AB，D为弧AC上一点，DE⊥OC，DF⊥OA，垂足分别为E，F，求EF的长．
当堂检测参考答案：
（1）×
；（2）√；（3）×；（4）×；（5）×；（6）√；（7）×；（8）×.
B
3.65°
4.10
连接OD.∵OC⊥AB，DE⊥OC，DF⊥OA，
∴∠AOC＝∠DEO＝∠DFO＝90°.
∴四边形DEOF是矩形．
∴EF＝OD.
∵OD＝OA，
∴EF＝OA＝4.
自主学习
合作探究
当堂检测28.4
垂径定理
学习目标：
1.理解并掌握垂径定理及其推论的推导过程.
2.能够运用垂径定理及其推论解决实际问题.
学习重点：垂径定理及其推论的推导.
学习难点：垂径定理及其推论的运用.
一、知识链接
1.在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦_______，所对的弧也________.
2.圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的________.
3.半圆（或直径）所对的圆周角是_____,90°的圆周角所对的弦是____.
二、新知预习
3.如图，在⊙O中，CD为直径，AB为弦，且CD⊥AB，垂足为E.如果将⊙O沿CD所在的直线对折，哪些线段重合，哪些弧重合？
答：________________________________________________.
我们发现：垂直于弦的直径_____这条弦，并且_____这条弦所对的两条弧.这就是垂径定理.
如图，在⊙O中直径CD与弦AB（非直径）相交于点E.
若AE=BE，能判断除CD与AB垂直吗？与（或）相等吗？
答：________________________________________________.
若=（或=），能判断CD与AB垂直吗？AE与BE相等吗？
答：________________________________________________.
于是我们得到垂径定理的推论：_____________________________________________.
三、自学自测
1．下列说法正确的是( )
A．过弦的中点的直线平分弦所对的弧
B．过弦的中点的直线一定经过圆心
C．弦所对的两条弧的中点的连线垂直平分弦，并且经过圆心
D．弦的垂线平分弦所对的弧
2．如图，⊙O的直径为10，圆心O到弦AB的距离OM的长为3，那么弦AB的长是（
）
A．4
B．6
C．7
D．8
四、我的疑惑
__________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
要点探究
探究点1：垂径定理及其应用
问题1：如图所示，⊙O的直径AB垂直弦CD于点P，且P是半径OB的中点，CD＝6cm，则直径AB的长是( )
A．2cm
B．3cm
C．4cm
D．4cm
【归纳总结】我们常常连接半径，利用半径、弦、垂直于弦的直径造出直角三角形，然后应
用勾股定理解决问题．
【针对训练】
如图，的直径垂直弦于，且是半径的中点，，则直径的长是（ ）
A．
B．
C．
D．
问题2：如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(图中的)，点O是这段弧的圆心，C是上一点，OC⊥AB，垂足为D，AB＝300m，CD＝50m，则这段弯路的半径是________m.
【归纳总结】将实际问题转化为数学问题，再利用我们学过的垂径定理、勾股定理等知识进行解答．
【针对训练】
如图，工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口，假设钢珠的直径是10mm，测得钢珠顶端离零件表面的距离为8mm，则这个小圆孔的宽口AB的长度为__________mm.
探究点2：垂径定理的推论
问题：如图所示，⊙O的弦AB、AC的夹角为50°，M、N分别是、的中点，则∠MON的度数是( )
A．100°
B．110°
C．120°
D．130°
【归纳总结】将实际问题转化为数学问题，再利用我们学过的垂径定理、勾股定理等知识进行解答．
【针对训练】
如图，点A、B是⊙O上两点，AB＝10cm，点P是⊙O上的动点(与A、B不重合)，连接AP、BP，过点O分别作OE⊥AP于E，OF⊥PB于F，求EF的长．
二、课堂小结
内容
运用策略
垂径定理
垂直于弦的直径_____这条弦，并且_____这条弦所对的两条弧.
垂径定理是这么么线段、弧相等的重要条件，同时也为圆的计算和作图问题提供了思考方法和理论依据.简记口诀：圆形奇妙对称性，中点垂直必共存，辅助线从圆心发，有弦就作弦心距，再连半径成斜边，构造直角三角形.
垂径定理的推论
平分弦（非直径）的直径_______弦，并且_______所对的两条弧
垂径定理的推广
如果圆的一条非直径的弦和一条直线满足以下五个条件中的任意两个，那么它一定满足其余三个条件：①直线过圆心；②直线垂直于弦；③直线平分弦；④直线平分弦所对的优弧⑤平分弦所对的劣弧.
1.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，则下列结论一定正确的个数有①CE＝DE；②BE＝OE；③＝；④∠CAB＝∠DAB；⑤AC＝AD( )
A．4个
B．3个
C．2个
D．1个
2.如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是( )
A．点P
B．点Q
C．点R
D．点M
3.如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于点C．若AB＝2，OC＝1，则半径OB的长为________．
4.．如图所示，某地有一座圆弧形的拱桥，桥下水面宽为12m，拱顶高出水面4m.
求这座拱桥所在圆的半径．
(2)现有一艘宽5m，船舱顶部为正方形并高出水面3.6m的货船要经过这里，此时货船能顺利通过这座拱桥吗？请说明理由．
5.如图，⊙O的直径为10cm，弦AB＝8cm，P是弦AB上的一个动点，求OP的长度范围．
当堂检测参考答案：
A
2.
B
3.2
4.(1)连接OA，
根据题意得CD＝4m，AB＝12m，则AD＝AB＝6m.
设这座拱桥所在圆的半径为xm，
则OA＝OC＝xm，OD＝OC－CD＝(x－4)
m，
在Rt△AOD中，OA2＝OD2＋AD2，
则x2＝(x－4)2＋62，
解得x＝6.5，
故这座拱桥所在圆的半径为6.5m.
(2)货船不能顺利通过这座拱桥．
理由：连接OM.
∵OC⊥MN，MN＝5m，
∴MH＝MN＝2.5m.
在Rt△OMH中，OH＝＝6(m)，
∵OD＝OC－CD＝6.5－4＝2.5(m)，
∴OH－OD＝6－2.5＝3.5(m)＜3.6m.
∴货船不能顺利通过这座拱桥．
5.作直径MN⊥弦AB，交AB于点D，由垂径定理，得AD＝DB＝AB＝4cm.又∵⊙O的直径为10cm，连接OA，∴OA＝5cm.在Rt△AOD中，由勾股定理，得OD＝＝3cm.∵垂线段最短，半径最长，∴OP的长度范围是3≤OP≤5(单位：cm)．
自主学习
合作探究
当堂检测28.3
圆心角和圆周角
第2课时
圆周角
学习目标：
1.理解圆周角的概念并会判断圆周角.
理解并掌握圆周角的性质并进行计算.
学习重点：圆周角的性质.
学习难点：圆周角的性质及计算.
一、知识链接
1.
圆心角的定义：圆心角是指_________________________________________的角.
2.圆心角的性质：在同圆或等圆中，相等的弧或弦所对的圆心角________.
2.直角三角形斜边中线的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的_______.它的逆命题是：如果一个三角形中一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是_____三角形，这个逆命题是真命题.
二、新知预习
2.如图,我们已将知道图①④中的角是圆心角，那么另外两图中的角呢？
【概念归纳】顶点在圆上，两边都与圆相交的角叫作圆周角.图_____的角是圆周角.
如图，写出弧AC所对应的圆周角____________.你还能再做出弧AC对应的圆周角吗？
【归纳】同一条弧所对应的圆周角有_____个.
上图中，作出弧AC对应的圆心角，用量角器量一量，∠AOC与三个圆周角∠B、∠D、∠E的等量关系.
【结论】∠B=∠D=∠E=______∠AOC.
三、自学自测
在⊙O中，所对的圆心角有_____个，所对的圆周角有______个；弦AB所对的圆心角有_____个，弦AB所对的圆周角有_____个。
2．如图，已知圆心角∠BOC＝78°，则圆周角∠BAC的度数是( )
A．156°
B．78°
C．39°
D．12°
四、我的疑惑
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
要点探究
探究点1：圆周角的定义及性质
圆周角的定义
【练一练】指出图中的圆周角.
【归纳总结】一个角是圆周角，必须同时满足定义中的两个条件.
圆周角的定理
【探究】如图，∠AOB和∠APB分别是弧AB所对的圆心角和圆周角.
（1）当点P在圆上按照顺时针方向移动时（点P与点B不重合，按照圆心O和圆周角的位置关系，可以分为几种不同情形？说出你的判断并画出相应的图形.
答：如图，分为以下三种情形.
图a
图b
图c
①如图a,当圆心O落在∠APB的一条边上时，∠AOB与∠APB具有怎样的大小关系？说明理由.
解：∠APB=1/2∠AOB.理由如下：______________________________________________
_____________________________________________.
②如图b,c,当圆心在∠APB的内部和外部时，①中的结论还成立吗？
思路分析：对于图b,连接PO并延长交圆于点D，再利用图a中的结论证明.对于图c,连接PO并延长交圆O于点E，再利用图a中的结论.
【归纳】圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的________.
例1：如图，△ABC内接于，若∠OAB=28°，求∠C的度数.
【方法归纳】圆周角定理实现了圆周角和圆心角度数之间的转化，所以在圆中求度数时，要注意相互转化，有时还需根据需要添加辅助线，构造同弧所对的圆周角或圆心角，另外注意，半径都相等，结合“等边对等角”求度数.
探究点2：圆周角定理的推论
（一）直径所对圆周角的性质
【归纳】圆周角定理的推论1：直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径.
例2：如图，BD是⊙O的直径，∠CBD＝30°，则∠A的度数为( )
A．30°
B．45°
C．60°
D．75°
【针对训练】
1.如图，AB是⊙O的直径，∠ABC＝30°，则∠BAC的度数为( )
A．90°
B．60°
C．45°
D．30°
（二）同弧所对圆周角的性质
【探究】如图，∠B、∠D、∠E是弧AC所对的圆周角，通过前面的测量，我们知道∠B=∠D=∠E.你能证明这个结论吗？
思路分析：连接AO,CO构造出弧AC所对应的圆心角，则通过同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，即可得证.
【归纳】同弧或等弧所对的圆周角相等.
例1：如图，在⊙O中，＝，∠A＝30°，则∠B＝( )
A．150°
B．75°C．60°
D．15°
【归纳总结】解题的关键是掌握在同圆或等圆中，相等的两条弧所对的圆周角也相等．注意方程思想的应用．
二、课堂小结
内容
运用策略
概念
顶点在_______，两边都与圆_____的角叫作圆周角.
一个角是圆周角，必须同时满足定义中的两个条件.
圆周角定理
圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的________.
由于圆心角的度数与它所对的度数相等，所以圆周角的度数等于它所对弧的度数的____.
圆周角定理的推论
半圆（或直径）所对的圆周角是_____,90°的圆周角所对的弦是____.
在解决有关圆的问题时，常利用圆周角的性质进行转化：①利用同圆所对的圆周角相等间角与角之间的转化；②将圆周角相等的问题转化为弦相等的问题.
1.如图所示，AB是⊙O的直径，AD＝DE，AE与BD交于点C，则图中与∠BCE相等的角有( )
A．2个
B．3个
C．4个
D．5个
2.如图，已知点E是圆O上的点，B，C是的三等分点，∠BOC＝46°，则∠AED的度数为________．
如图，已知EF是⊙O的直径，把∠A为60°的直角三角板ABC的一条直角边BC放在直线EF上，斜边AB与⊙O交于点P，点B与点O重合．将三角板ABC沿OE方向平移，使得点B与点E重合为止．设∠POF＝x°，则x的取值范围是( )
A．30≤x≤60
B．30≤x≤90
C．30≤x≤120
D．60≤x≤120
4.如图，在“世界杯”足球比赛中，甲带球向对方球门PQ进攻，当他带球冲到A点时，同样乙已经助攻冲到B点．有两种射门方式：第一种是甲直接射门；第二种是甲将球传给乙，由乙射门．仅从射门角度考虑，应选择第________种射门方式．
当堂检测参考答案：
1.D
2.69°
3.A
4.
二
自主学习
合作探究
当堂检测28.3
圆心角和圆周角
第1课时
圆心角
学习目标：
1.理解并掌握圆心角的定义，能够运用其进行计算.
2.理解并掌握圆心角、弧、弦间的关系.
学习重点：圆心角、弧、弦间的关系.
学习难点：圆心角的定义及其计算.
一、知识链接
1.圆上任意两点间的线段叫做这个圆的一条____.
2.圆上任意的两点间的部分叫做____，简称____，圆的直径将这个圆分成能够完全重合的两条弧，这样的一条弧叫做____；大于半圆的弧叫做____，小于半圆的弧叫做____.
二、新知预习
2.如图，点A，B在圆O.观察下列各图中的角，总结它们的特点.
【概念学习】顶点在圆心的角作圆心角.图____和图_____的角是圆心角.
每个圆心角对应一条弦和一条弧，圆心角越大，对应的弦越____,对应的圆心角越
______.
猜想：若圆心角相等，所对应的弦、弧有什么关系？
三、自学自测
1．如果两个圆心角相等，那么（
）
A．这两个圆心角所对的弦相等
B．这两个圆心角所对的弧相等
C．这两个圆心角所对的弦的弦心距相等
D．以上说法都不对
2．在同圆中，圆心角∠AOB=2∠COD，则两条弧AB与CD的关系是（
）
A.
AB=2CD
B．AB>2CD
C．AB<2CD
D．不能确定
四、我的疑惑
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
_
要点探究
探究点1：圆心角的定义
问题1：如图所示的圆中，下列各角是圆心角的是( )
∠ABC
B．∠AOB
C．∠OAB
D．∠OCB
【归纳总结】确定一个角是否是圆心角，只要看这个角的顶点是否在圆心上，顶点在圆心上的角就是圆心角，否则不是．
【针对训练】
下列说法中正确的是( )
①圆心角是顶点在圆心的角；、②两个圆心角相等，它们所对的弦也相等；③两条弦相等，圆心到这两条弦的距离相等；④在等圆中，圆心角不等，所对的弦也不等．
A．①③
B．②④
C．①④
D．②③
探究点2：圆心角、弧、弦间的关系
【问题1】如图所示，已知△OAB，将△OAB绕点O顺时针旋转100°得到△ODC.
(1)
则AB_____CD，∠AOB____∠COD,.
若旋转30°，60°，90°，180°，以上结论仍成立吗？
【归纳】
【做一做】下面的说法正确吗？若不正确，指出错误的原因.
（1）如图1，小雨说：“因为弧AB和弧A′B′所对的圆心角都是∠O,所以有弧AB=弧A′B′.”
（2）如图2，小华说：“因为AB=CD,所以AB所对的弧AB等于CD所对的弧CD.”
【问题2】在同圆或等圆中，若两条弧（或弦）相等，则它们所对的圆心角是否相等，所对的弦（或弧）是否相等？试说明理由.
【归纳】圆心角、弧、弦的性质：在同圆或等圆中，要证明圆心角、弧、弦、弦心距这四组量中的某一组量相等，通常是转化成证明另外三组量中的某一组量相等．
例1：如图所示，在⊙O中，＝，∠B＝70°，则∠A＝________．
【归纳总结】确定一个角是否是圆心角，只要看这个角的顶点是否在圆心上，顶点在圆心上的角就是圆心角，否则不是．
例2：如图所示，已知AB是⊙O的直径，M，N分别是OA，OB的中点，CM⊥AB，DN⊥AB，垂足分别为M，N.求证：＝.
【归纳总结】在同圆或等圆中，要证明圆心角、弧、弦、弦心距这四组量中的某一组量相等，通常是转化成证明另外三组量中的某一组量相等．
【针对训练】
1.如图，在⊙O中，若，∠AOB=40°，则∠COD=______.
2.如图，在⊙O中，AB、CD是两条弦，OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分别为EF．
如果∠AOB=∠COD，那么OE与OF的大小有什么关系？为什么？
（2）如果OE=OF，那么与的大小有什么关系？AB与CD的大小有什么关系？为什么？∠AOB与∠COD呢？
二、课堂小结
内容
运用策略
弧，弦，圆心角之间的关系
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦_______，所对的弧也________.
①弧，弦，圆心角之间的关系可以证明同圆或等圆中弧相等，角相等以及线段相等；②在应用弧，弦，圆心角之间的关系解决问题时，一定要注意“在同圆或等圆中”这个前提，否则结论不一定成立.
弧，弦，圆心角之间的关系的推广
同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等
1.如图，已知：AB是⊙O的直径，C、D是的三等分点，∠AOE＝60°，则∠COE的大小是( )
A．40°
B．60°
C．80°
D．120°
2已知如图：DC∥AB，的度数是50°，AB为直径，则∠BOC＝______∠AOC＝______∠DOC＝_____.
如图，C为的中点，CN⊥OB于N，CD⊥OA于M，CN=4cm，则CD=_____cm.
4.如图，以平行四边形ABCD的顶点A为圆心，AB为半径作圆，分别交BC、AD于E、F，若∠D=50°，求所对圆心角的度数和所对圆心角的度数．
当堂检测参考答案：
C
2.130°
50°
80°
3.8
4.80°
130°
自主学习
合作探究
当堂检测28.5
弧长和扇形面积的计算
学习目标：
1.理解并掌握扇形的弧长的计算公式并会进行计算.
2.理解并掌握扇形的面积的计算公式并会进行计算.
3能够根据圆锥侧面展开图进行相关计算.
学习重点：扇形的弧长和面积的计算公式的推导.
学习难点：扇形的弧长和面积的计算公式的运用.
一、知识链接
1.圆的半径为r，则圆的周长公式为______,圆的面积公式为________.
2.弧是圆的一部分，弧分为_____和_______.
二、新知预习
3.【概念学习】一条弧和经过这条弧两个端点的半径所组成的图形叫做扇形.如图，在同一圆中，一个扇形对应一个圆心角，反过来一个圆心角对应一个扇形.
4.扇形的面积如何计算呢？
已知半径为r的⊙O，它的周长为2πr，面积为πr2，圆心角为360°.
按下表给定的圆心角，计算所对的弧长及扇形的面积，填写下表：
给定的圆心角
180°
90°
1°
n°
占整个圆的比例
=
所对的弧长
2πr÷2=πr
？
扇形的面积
πr2÷2
？
【归纳】设n°圆心角所对的弧的长度为l,所对扇形的面积为S,则
l=___________________.
S=__________或_________.
5.【概念学习】圆锥的相关概念
(1)我们也把连接圆锥顶点和底面圆上任意一点的线段叫做圆锥的母线（如图PA）,圆锥的顶点与地面圆心之间的线段叫做圆锥的高（如图PO）.
(2)我们学过圆柱的侧面积是沿着它的母线展开成长方形，同样的道理，要求圆锥的侧面积，需沿母锥一条母线将圆锥侧面剪开并展平，容易得到，圆锥的侧面展开图是一个______.
(3)设圆锥的母线长为L，底面圆的半径为r，如图所示，那么这个扇形的半径即为圆锥的母线长为________，这个扇形的弧长是圆锥地面圆的__________.
三、自学自测
1.已知扇形的圆心角为120°，半径为2，则这个扇形的面积S扇形=_
.
2.已知扇形面积为
，圆心角为60°，则这个扇形的半径R=____．
四、我的疑惑
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_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
要点探究
探究点1：扇形的面积及弧长
（一）扇形的弧长
例1：在半径为1cm的圆中，圆心角为120°的扇形的弧长是________cm.
【归纳总结】半径为r的圆中，n°的圆心角所对的弧长为l＝，要求出弧长关键弄清
公式中各项字母的含义．
【针对训练】
如图，⊙O的半径为6cm，直线AB是⊙O的切线，切点为点B，弦BC∥AO.若∠A＝30°，则劣弧的长为________cm.
例2：如图，Rt△ABC的边BC位于直线l上，AC＝，∠ACB＝90°，∠A＝30°.若Rt△ABC由现在的位置向右无滑动地翻转，当点A第3次落在直线l上时，点A所经过的路线的长为________(结果用含π的式子表示)．
【归纳总结】此类翻转求路线长的问题，通过归纳探究出这个点经过的路线情况，并以此推断整个运动途径，从而利用弧长公式求出运动的路线长．
【针对训练】
1.如图，将边长为cm的正方形ABCD沿直线l向右翻动(不滑动)，当正方形连续翻动6次后，正方形的中心O经过的路线长是__________cm.(结果保留π)
（二）扇形的面积
例3：指一个扇形的圆心角为120°，半径为3，则这个扇形的面积为________．(结果保留π)
【归纳总结】公式中涉及三个字母，只要知道其中两个，就可以求出第三个．扇形面积还有另外一种求法S＝lr，其中l是弧长，r是半径．
【针对训练】
2.如图，把一个斜边长为2且含有30°角的直角三角板ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°到△A1B1C，则在旋转过程中这个三角板扫过图形的面积是( )
A．π B.
C.＋
D.＋
例4：如图，半径为1cm、圆心角为90°的扇形OAB中，分别以OA、OB为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为( )
A．πcm2
B.πcm2
C.cm2
D.cm2
【归纳总结】求图形面积的方法一般有两种：规则图形直接使用面积公式计算；不规则图形则进行割补，拼成规则图形再进行计算．
【针对训练】
3.如图，矩形ABCD中，AB＝1cm，BC＝2cm，以B为圆心，BC为半径作圆弧交AD于F，交BA延长线于E，求扇形BCE被矩形所截剩余部分的面积．
探究点2：圆锥侧面展开图的相关计算
例5：小红要过生日了，为了筹备生日聚会，准备自己动手用纸板制作一个底面半径为9cm，母线长为30cm的圆锥形生日礼帽，则这个圆锥形礼帽的侧面积为( )
A．270πcm2
B．540πcm2
C．135πcm2
D．216πcm2
【归纳总结】把圆锥侧面问题转化为扇形问题是解决此类问题的一般步骤，体现了空间图形和平面图形的转化思想．同时还应抓住两个对应关系，即圆锥的底面周长对应着扇形的弧长，圆锥的母线长对应着扇形的半径，结合扇形的面积公式或弧长公式即可解决
例6：小明用图中所示的扇形纸片作一个圆锥的侧面，已知扇形的半径为5cm，弧长是6πcm，那么这个圆锥的高是( )
A．4cm
B．6cm
C．8cm
D．2cm
【归纳总结】1.圆锥的母线长为扇形的半径；2.圆锥的底面圆周长为扇形的弧长．
【针对训练】
4.圆锥的母线长为13cm，底面半径为5cm，则此圆锥的高线为（
）
A．6cm
B．8cm
C．10cm
D．12cm
5.一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，则此圆锥侧面展开图的圆心角是( )
A．120°
B．180°
C．240°
D．300°
在半径为50cm的圆形铁皮上剪去一块扇形铁皮，用剩余部分制作成一个底面直径为
80cm，母线长为50cm的圆锥形烟囱帽，则剪去的扇形的圆心角度数为（
）
A．228°
B．144°
C．72°
D．36°
圣诞节将近，某家商店正在制作圣诞节的圆锥形纸帽，已知纸帽的底面周长为58cm，高
为20cm，要制作20顶这样的纸帽至少要用多少平方厘米的纸？（结果精确到0.1cm2）
二、课堂小结
内容
运用策略
弧长公式
n°的圆心角所对的弧长为______.
在弧长公式__________中有三个量，l，n，R，已知其中的任意两个量即可求第三个量
扇形面积
圆心角为n°的扇形面积公式是______;扇形面积的另一计算公式是_____________.
扇形的面积公式可以与三角形的面积公式类比记忆，扇环的面积____________,其中_____分别为两个扇环的弧长，_____为两个扇形的半径差
圆锥的侧面展开图
圆锥的侧面展开图是一个扇形，设圆锥的母线长l，底面圆的半径为r，因此圆锥的侧面积为_______，圆锥的全面积为______.
在计算圆锥的侧面积时候，要注意各元素之间的对应关系，千万不要错认为圆锥底面圆的半径等于扇形半径或把母线长当成扇形的弧长.
几种常见于扇形相关的阴影部分面积的求法
1.(1)已知扇形的圆心角为45°，弧长等于，则该扇形的半径是________；
(2)如果一个扇形的半径是1，弧长是，那么此扇形的圆心角的大小为_______．
2.已知扇形的面积为12π，半径等于6，则它的圆心角等于__________．
3.有一个底面半径为3cm、母线长为10cm的圆锥，则其侧面积是__________cm2.
4.如果一个扇形的半径是1，弧长是，那么此扇形的圆心角的大小为( )
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°
5.如图所示的5个半圆，邻近的两半圆相切，两只小虫同时出发，以相同的速度从A点到B点，甲虫沿弧ADA1，弧A1EA2，弧A2FA3，弧A3GB的路线爬行，乙虫沿弧ACB的路爬行，则下列结论正确的是( )
甲先到B点
B．乙先到B点
C．甲、乙同时到B点
D．无法确定
6.某校编排的一个舞蹈需要五把和图1形状大小完全相同的绸扇．学校现有三把符合要求的绸扇，将这三把绸扇完全展开刚好组成图2所示的一朵圆形的花．请你算一算：再做两把这样的绸扇至少需要多少平方厘米的绸布？(单面制作，不考虑绸扇的折皱，结果用含π的式子表示)
7.如图，一个圆锥的高为3cm，侧面展开图是半圆．
求：(1)圆锥的母线长与底面半径之比；
∠BAC的度数；
(3)圆锥的侧面积(结果保留π)．
当堂检测参考答案：
（1）2
（2）60°
2.120°
3.30π
C
C
6.三把绸扇完全展开刚好组成了一个圆，所以可得扇形的圆心角为120°，
因为大扇形的半径为30cm，
则S大扇形＝＝＝300π，
S小扇形＝＝＝48π，
S绸面＝S大扇形－S小扇形＝300π－48π＝252π，
所以，两把绸扇所需的绸布面积是
2×S绸面＝2×252π＝504π(cm2)．
7.(1)设此圆锥的高为h，底面半径为r，母线长AC＝l.
∵2πr＝πl，∴＝2.
(2)∵＝2，AO⊥BC，
∴圆锥高与母线的夹角为30°，则∠BAC＝60°.
(3)由图可知l2＝h2＋r2，h＝3cm，
∴(2r)2＝(3)2＋r2，即4r2＝27＋r2，
解得r＝3(cm)．∴l＝2r＝6(cm)．
∴圆锥的侧面积为×2π×3×6＝18π(cm2)．
自主学习
合作探究
当堂检测
