2.2.1 直接证明
1.了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法的证明思路与步骤.(重点)
2.会用综合法、分析法证明一些数学问题.(重点、难点)
3.综合法、分析法的格式区别.(易混点)
[基础·初探]
教材整理 直接证明
阅读教材P46～P48“练习”以上部分，完成下列问题.
直接证明
直接从原命题的条件逐步推得命题成立，这种证明通常称为直接证明.
1.综合法
(1)定义：从已知条件出发，以已知的定义、公理、定理为依据逐步下推，直到推出要证明的结论为止，这种证明方法常称为综合法.
(2)推证过程： … … .
2.分析法
(1)定义：从问题的结论出发，追溯导致结论成立的条件，逐步上溯，直到使结论成立的条件和已知条件或已知事实吻合为止.这种证明方法常称为分析法.
(2)推证过程： … … .
1.判断正误：
(1)综合法是直接证明，分析法的过程是演绎推理.( )
(2)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件.( )
(3)证明不等式“＋<＋”最合适的方法是分析法.( )
(4)在解决问题时，可用分析法寻找解题思路，再用综合法展现解题过程.( )
【答案】 (1)√ (2)× (3)√ (4)√
2.命题“对于任意角θ，cos4θ-sin4θ＝cos
2θ”的证明过程“cos4θ-sin4θ＝(cos2θ-sin2θ)(cos2θ＋sin2θ)＝cos2θ-sin2θ＝-＝cos
2θ”应用了________(填“综合法”或“分析法”).
【解析】 从证明的过程可知，本题是从已知条件出发证得结果，故为综合法.
【答案】 综合法
3.在不等边三角形中，a为最大边，要想得到∠A为钝角的结论，三边a，b，c应满足的条件为________.
【导学号：97220017】
【解析】 要证∠A为钝角，只需证cos
A＝<0即可，也就是b2＋c2
【答案】 b2＋c2[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：
解惑：
疑问2：
解惑：
疑问3：
解惑：
[小组合作型]
综合法的应用
(1)在△ABC中，
已知cos
Acos
B>sin
Asin
B，则△ABC的形状一定是__________.
(2)已知方程(x2-mx＋2)(x2-nx＋2)＝0的四个根组成一个首项为的等比数列，则|m-n|＝__________.
(3)下面的四个不等式：①a2＋b2＋3≥ab＋(a＋b)；②a(1-a)≤；③＋≥2；④(a2＋b2)·(c2＋d2)≥(ac＋bd)2.其中恒成立的有__________.
【自主解答】 (1)∵cos
Acos
B>sin
Asin
B，
∴cos
Acos
B-sin
Asin
B>0，
∴cos(A＋B)>0，即cos(π-C)>0，∴cos
C<0，
又0(2)设方程的四个根分别为x1，x2，x3，x4，则由题意可知，
x1＝，x1x4＝x2x3＝2，∴x4＝4.
设公比为q，则x4＝x1q3，
∴4＝·q3，∴q＝2，∴x2＝1，x3＝2，
由根与系数的关系可得，m＝x1＋x4＝，n＝x2＋x3＝3，∴|m-n|＝.
(3)①a2＋b2＋3＝＋＋＋＋＋≥2＋2＋2＝ab＋(a＋b)(当且仅当a2＝b2＝3时，等号成立).
②a(1-a)＝-a2＋a＝-2＋≤.
③当a与b异号时，不成立.
④∵a2d2＋b2c2≥2abcd，∴(ac＋bd)2＝a2c2＋b2d2＋2abcd≤a2c2＋a2d2＋b2c2＋b2d2＝(a2＋b2)(c2＋d2)，故不等式恒成立，所以①②④恒成立.
【答案】 (1)钝角三角形 (2) (3)①②④
1.综合法处理问题的三个步骤
→
↓
→
↓
→
2.用综合法证明不等式时常用的结论
(1)ab≤2≤(a，b∈R)；
(2)a＋b≥2(a≥0，b≥0).
[再练一题]
1.综合法是( )
A.执果索因的逆推证法
B.由因导果的顺推证法
C.因果分别互推的两头凑法
D.原命题的证明方法
【答案】 B
分析法的应用
设a，b为实数，求证：≥(a＋b).
【精彩点拨】 待证不等式中含有根号，用平方法去根号是关键.
【自主解答】 当a＋b≤0时，∵≥0，
∴≥(a＋b)成立.
当a＋b>0时，用分析法证明如下：
要证≥(a＋b)，
只需证()2≥2，
即证a2＋b2≥(a2＋b2＋2ab)，
即证a2＋b2≥2ab.
∵a2＋b2≥2ab对一切实数恒成立，
∴≥(a＋b)成立.
综上所述，不等式成立.
1.当已知条件简单而证明的结论比较复杂时，一般采用分析法，在叙述过程中“要证”“只需证”“即要证”这些词语必不可少，否则会出现错误.
2.逆向思考是用分析法证题的主题思想，通过反推，逐步寻找使结论成立的充分条件，正确把握转化方向，使问题顺利获解.
[再练一题]
2.已知a>0，->1，求证：>.
【证明】 由已知->1及a>0可知0，
只需证·>1，
只需证1＋a-b-ab>1，
只需证a-b-ab>0，即>1，
即->1，这是已知条件，所以原不等式得证.
[探究共研型]
综合法与分析法的综合应用
探究1 综合法与分析法的推理过程是合情推理还是演绎推理？
【提示】 综合法与分析法的推理过程是演绎推理，它们的每一步推理都是严密的逻辑推理，从而得到的每一个结论都是正确的，不同于合情推理中的“猜想”.
探究2 综合法与分析法有什么区别？
【提示】 综合法是从已知条件出发，逐步寻找的是必要条件，即由因导果；分析法是从待求结论出发，逐步寻找的是充分条件，即执果索因.
已知△ABC的三个内角A，B，C为等差数列，且a，b，c分别为角A，B，C的对边，
求证：(a＋b)-1＋(b＋c)-1＝3(a＋b＋c)-1.
【精彩点拨】 先求出角B，然后利用余弦定理转化为边之间的关系解决.
【自主解答】 法一：(分析法)
要证(a＋b)-1＋(b＋c)-1＝3(a＋b＋c)-1，
即证＋＝，
只需证＋＝3，
化简，得＋＝1，
即c(b＋c)＋(a＋b)a＝(a＋b)(b＋c)，
所以只需证c2＋a2＝b2＋ac.
因为△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，
所以B＝60°，
所以cos
B＝＝，
即a2＋c2-b2＝ac成立.
∴(a＋b)-1＋(b＋c)-1＝3(a＋b＋c)-1成立.
法二：(综合法)
因为△ABC的三内角A，B，C成等差数列，
所以B＝60°.
由余弦定理，
有b2＝c2＋a2-2accos
60°.
所以c2＋a2＝ac＋b2，
两边加ab＋bc，得
c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)，
两边同时除以(a＋b)(b＋c)，得
＋＝1，
所以＋＝3，
即＋＝，
所以(a＋b)-1＋(b＋c)-1＝3(a＋b＋c)-1.
综合法由因导果，分析法执果索因，因此在实际解题时，常常把分析法和综合法结合起来使用，即先利用分析法寻找解题思路，再利用综合法有条理地表述解答过程.
[再练一题]
3.设x≥1，y≥1，证明：x＋y＋≤＋＋xy.
【证明】 因为x≥1，y≥1，所以要证明x＋y＋≤＋＋xy，
只需证明xy(x＋y)＋1≤y＋x＋(xy)2.
将上式中的右式减左式，得
[y＋x＋(xy)2]-[xy(x＋y)＋1]
＝[(xy)2-1]-[xy(x＋y)-(x＋y)]
＝(xy＋1)(xy-1)-(x＋y)(xy-1)
＝(xy-1)(xy-x-y＋1)
＝(xy-1)(x-1)(y-1).
因为x≥1，y≥1，
所以(xy-1)(x-1)(y-1)≥0，
从而可得不等式x＋y＋≤＋＋xy成立.
[构建·体系]
—
1.已知x>0，y>0，且＋＝1，则xy的最大值为______________.
【解析】 ∵1＝＋≥2＝.
∴xy≤3，当且仅当x＝，y＝2时等号成立.
【答案】 3
2.如果a>b，则实数a，b应满足的条件是__________.
【导学号：97220018】
【解析】 要使a>b，
只需使a>0，b>0，(a)2>(b)2，
即a>b>0.
【答案】 a>b>0
3.将下面用分析法证明≥ab的步骤补充完整：要证≥ab，只需证a2＋b2≥2ab，也就是证__________，即证__________.由于__________显然成立，因此原不等式成立.
【解析】 用分析法证明≥ab的步骤为：要证≥ab成立，只需证a2＋b2≥2ab，也就是证a2＋b2-2ab≥0，即证(a-b)2≥0.由于(a-b)2≥0显然成立，所以原不等式成立.
【答案】 a2＋b2-2ab≥0 (a-b)2≥0 (a-b)2≥0
4.设a＞0，b＞0，c＞0，若a＋b＋c＝1，则＋＋的最小值为________.
【解析】 因为a＋b＋c＝1，且a＞0，b＞0，c＞0，
所以＋＋＝＋＋＝3＋＋＋＋＋＋
≥3＋2＋2＋2
＝3＋6＝9.
当且仅当a＝b＝c时等号成立.
【答案】 9
5.已知a>0，b>0，试用分析法证明不等式＋≥＋.
【证明】 要证原不等式成立只需证：
a＋b≥(＋)，
即只需证()3＋()3≥(＋)，
只需证(＋)(a-＋b)≥(＋)，
只需证a-＋b≥，
即(-)2≥0，
而上式显然成立，故原不等式得证.
我还有这些不足：
(1)
(2)
我的课下提升方案：
(1)
(2)第2课时 类比推理
1.结合实例，理解类比推理的含义，能利用类比进行简单的推理.(重点、难点)
2.区别归纳推理与类比推理，了解合情推理的合理性.(易混点)
[基础·初探]
教材整理1 类比推理
阅读教材P34“例1”以上部分，完成下列问题.
根据两个(或两类)对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方面也相似或相同，像这样的推理通常称为类比推理，简称类比法.其思维过程为：
→→
1.判断正误：
(1)类比推理是特殊到特殊的推理.( )
(2)类比推理的结论一定正确.( )
【答案】 (1)√ (2)×
2.对命题“正三角形的内切圆切于三边中点”可类比猜想：正四面体的内切球切于四面各正三角形的________.
【导学号：97220011】
【解析】 “边的中点”类比为“各面的中心”.
【答案】 中心
教材整理2 合情推理
阅读教材P35“练习”以上部分，完成下列问题.
1.合情推理的含义
根据已有的事实、正确的结论、实验和实践的结果，以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程称为合情推理.归纳推理和类比推理都是数学活动中常用的合情推理.
2.合情推理的特点
(1)合情推理的结论超越了前提所包容的范围，带有猜想的成分，因此推理所得的结论未必正确；
(2)合情推理具有猜测和发现结论，探索和提供证明的思路和方向的作用.
如图2 1 9所示，由若干个点组成形如三角形的图形，每条边(包括两个端点)有n(n>1，n∈N
)个点，每个图形总的点数记为an，则a6＝________，an＝________(n>1，n∈N
).
图2 1 9
【解析】 依据图形特点，可知第5个图形中三角形各边上各有6个点，因此a6＝3×6-3＝15.由n＝2,3,4,5,6的图形特点归纳得an＝3n-3(n>1，n∈N
).
【答案】 15 3n-3
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：
解惑：
疑问2：
解惑：
疑问3：
解惑：
[小组合作型]
数列中的类比推理
在等差数列{an}中，若a10＝0，则有等式a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…＋a19-n(n<19，n∈N
)成立.类比上述性质，相应地，在等比数列{bn}中，若b9＝1，则有什么样的等式成立？
【精彩点拨】 在等差数列与等比数列的类比中，等差数列中的和类比等比数列中的积，差类比商，积类比幂.
【自主解答】 在等差数列{an}中，a10＝0，
∴a1＋a2＋…＋an＋…＋a19＝0，
即a1＋a2＋…＋an＝-a19-a18-…-an＋1.
又由a10＝0，
得a1＋a19＝a2＋a18＝…＝an＋a20-n
＝an＋1＋a19-n＝2a10＝0，
∴a1＝-a19，a2＝-a18，…，a19-n＝-an＋1，
∴a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…＋a19-n，
若a9＝0，
同理可得a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…＋a17-n，
相应的，在等比数列{bn}中，若b9＝1，
则可得b1b2…bn＝b1b2…b17-n(n<17，n∈N
).
1.有关数列的类比推理必须寻找合适的类比对象，从等差、等比数列的定义、性质、通项公式与前n项和公式探求，充分挖掘事物的本质及内在联系.
2.类比推理的一般步骤为：(1)找出两类对象之间可以确切表述的相似性(或一致性)；(2)用一类对象的性质去推测另一类对象的性质，从而得出一个猜想；(3)检验这个猜想.
[再练一题]
1.若数列{an}(n∈N
)是等差数列，则有数列bn＝(n∈N
)也是等差数列.类比上述性质，相应地：若数列{cn}(n∈N
)是等比数列，且cn>0，则数列dn＝________(n∈N
)也是等比数列.
【解析】 和类比积，高类比开方，因此dn＝
【答案】
类比推理在几何中的应用
如图2 1 10所示，在平面上，设ha，hb，hc分别是△ABC三条边上的高，P为△ABC内任意一点，P到相应三边的距离分别为pa，pb，pc，可以得到结论＋＋＝1.
图2 1 10
证明此结论，通过类比写出在空间中的类似结论，并加以证明.
【精彩点拨】 三角形类比四面体，三角形的边类比四面体的面，三角形边上的高类比四面体以某一面为底面的高.
【自主解答】 ＝＝，
同理，＝，＝.
∵S△PBC＋S△PAC＋S△PAB＝S△ABC，
∴＋＋＝＝1.
类比上述结论得出以下结论：如图所示，在四面体ABCD中，设ha，hb，hc，hd分别是该四面体的四个顶点到对面的距离，P为该四面体内任意一点，P到相应四个面的距离分别为pa，pb，pc，pd，可以得到结论＋＋＋＝1.
证明如下：＝＝，
同理，＝，＝，＝.
∵VP BCD＋VP ACD＋VP ABD＋VP ABC＝VA BCD，
∴＋＋＋
＝＝1.
1.一般地，平面图形与空间图形类比如下：
平面图形
点
线
边长
面积
线线角
三角形
空间图形
线
面
面积
体积
二面角
四面体
2.类比推理的一般步骤
(1)找出两类事物之间的相似性或一致性；
(2)用一类事物的性质推测另一类事物的性质，得出一个明确的结论.
[再练一题]
2.在上例中，若△ABC的边长分别为a，b，c，其对角分别为A，B，C，那么由a＝b·cos
C＋c·cos
B可类比四面体的什么性质？
【解】 在如图所示的四面体中，S1，S2，S3，S分别表示△PAB，△PBC，△PCA，△ABC的面积，
α，β，γ依次表示平面PAB，平面PBC，平面PCA与底面ABC所成二面角的大小.
猜想S＝S1·cos
α＋S2·cos
β＋S3·cos
γ.
[探究共研型]
类比推理在其他问题中的应用
探究1 鲁班发明锯子的思维过程为：带齿的草叶能割破行人的腿，“锯子”能“锯”开木材，它们在功能上是类似的.因此，它们在形状上也应该类似，“锯子”应该是齿形的.你认为该过程为归纳推理还是类比推理？
【提示】 类比推理.
探究2 在计算“1×2＋2×3＋…＋n(n＋1)”时，有如下方法：
先改写第k项：k(k＋1)＝[k(k＋1)(k＋2)-(k-1)k(k＋1)]，由此得
1×2＝(1×2×3-0×1×2)，
2×3＝(2×3×4-1×2×3)，
……
n(n＋1)＝[n(n＋1)(n＋2)-(n-1)n(n＋1)]，
相加得1×2＋2×3＋…＋n(n＋1)＝n(n＋1)(n＋2).
类比上述方法，请你计算“1×3＋2×4＋…＋n(n＋2)”，其结果写成关于n的一次因式的积的形式为______________.
【提示】 1×3＝×(1×2×9-0×1×7)，
2×4＝×(2×3×11-1×2×9)，
3×5＝×(3×4×13-2×3×11)，
……
n(n＋2)＝[n(n＋1)(2n＋7)-(n-1)n(2n＋5)]，
各式相加，得1×3＋2×4＋3×5＋…＋n(n＋2)＝n(n＋1)(2n＋7).
已知椭圆具有性质：若M，N是椭圆C上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上任意一点，当直线PM，PN的斜率kPM，kPN都存在时，那么kPM与kPN之积是与点P的位置无关的定值，试写出双曲线-＝1(a>0，b>0)具有类似特征的性质，并加以证明.
【精彩点拨】 →→→
【自主解答】 类似性质：若M，N为双曲线-＝1(a>0，b>0)上关于原点对称的两个点，点P是双曲线上任意一点，当直线PM，PN的斜率kPM，kPN都存在时，那么kPM与kPN之积是与点P的位置无关的定值.
证明如下：设点M，P的坐标分别为(m，n)，(x，y)，则
N(-m，-n).因为点M(m，n)是双曲线上的点，
所以n2＝m2-b2.同理y2＝x2-b2.
则kPM·kPN＝·＝＝·＝(定值).
1.两类事物能进行类比推理的关键是两类对象在某些方面具备相似特征.
2.进行类比推理时，首先，找出两类对象之间可以确切表达的相似特征；然后，用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得到一个猜想.
[再练一题]
3.三角形的面积为S＝(a＋b＋c)r，a、b、c为三角形的边长，r为三角形内切圆的半径，利用类比推理可以得出四面体的体积为________.
【解析】 △ABC的内心为O，连结OA，OB，OC(图略)，将△ABC分割为三个小三角形，这三个小三角形的高都是r，底边长分别为a，b，c；类比：设四面体A BCD的内切球球心为O，连结OA，OB，OC，OD，将四面体分割为四个以O为顶点，以原来面为底面的四面体，高都为r，所以有V＝(S1＋S2＋S3＋S4)r.
【答案】 (S1＋S2＋S3＋S4)r(S1，S2，S3，S4为四个面的面积，r为内切球的半径)
[构建·体系]
1.在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4，类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为________.
【解析】 由平面和空间的知识，可知面积之比与边长之比成平方关系，在空间中体积之比与棱长之比成立方关系，故若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积之比为1∶8.
【答案】 1∶8
2.正方形的面积为边长的平方，则在立体几何中，与之类比的图形是________，结论是________.
【导学号：97220012】
【答案】 正方体 正方体的体积为棱长的立方
3.在公比为4的等比数列{bn}中，若Tn是数列{bn}的前n项积，则有，，也成等比数列，且公比为4100；类比上述结论，相应地，在公差为3的等差数列{an}中，若Sn是{an}的前n项和.可类比得到的结论是________.
【解析】 因为等差数列{an}的公差d＝3，
所以(S30-S20)-(S20-S10)
＝(a21＋a22＋…＋a30)-(a11＋a12＋…＋a20)
＝＝100d＝300，
同理可得：(S40-S30)-(S30-S20)＝300，
所以数列S20-S10，S30-S20，S40-S30是等差数列，且公差为300.
即结论为：数列S20-S10，S30-S20，S40-S30也是等差数列，且公差为300.
【答案】 数列S20-S10，S30-S20，S40-S30也是等差数列，且公差为300
4.类比圆的下列特征，找出球的相关特征.
(1)平面内与定点距离等于定长的点的集合是圆；
(2)平面内不共线的3个点确定一个圆；
(3)圆的周长与面积可求.
【解】 (1)在空间中，与定点距离等于定长的点的集合是球；
(2)空间中不共面的4个点确定一个球；
(3)球的表面积与体积可求.
我还有这些不足：
(1)
(2)
我的课下提升方案：
(1)
(2)2.2.2 间接证明
1.理解反证法的思考过程和特点，会运用反证法证明简单数学问题.(重点、难点)
2.利用反证法证明时，对结论的假设否定.(易错点)
[基础·初探]
教材整理 间接证明
阅读教材P49“例1”以上部分，完成下列问题.
1.间接证明：
(1)定义：不是直接从原命题的条件逐步推得命题成立，这种不是直接证明的方法通常称为间接证明.
(2)常用方法：反证法.
2.反证法
(1)基本过程：
反证法证明时，要从否定结论开始，经过正确的推理，导致逻辑矛盾，从而达到新的否定(即肯定原命题).
(2)证题步骤：
1.判断正误：
(1)反证法属于间接证明问题的一种方法.( )
(2)反证法的实质是否定结论导出矛盾.( )
(3)反证法的证明过程既可以是合情推理也可以是一种演绎推理.( )
(4)用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时，假设应该是至少两个钝角.( )
【答案】 (1)√ (2)√ (3)× (4)√
2.用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个角不大于60°”时，正确的反设是________.
【解析】 “至少有一个角不大于60°”的否定为“所有三角形的内角均大于60°”.
【答案】 假设三个内角均大于60°
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：
解惑：
疑问2：
解惑：
疑问3：
解惑：
[小组合作型]
利用反证法证明否定性命题
(1)用反证法证明：“若方程ax2＋bx＋c＝0，且a，b，c都是奇数，则方程没有整数根”，正确的假设是方程存在实数根x0为________.
(2)已知三个正整数a，b，c成等比数列，但不成等差数列，求证：，
，
不成等差数列.
【自主解答】 (1)要证明的结论是“方程没有整数根”，故应假设：方程存在实数根x0为整数.
【答案】 整数
(2)假设，
，
成等差数列，则＋＝2，
即a＋c＋2＝4b.
又a，b，c成等比数列，所以b2＝ac，
即b＝，
所以a＋c＋2＝4，
所以a＋c-2＝0，即(-)2＝0，
所以＝，从而a＝b＝c，
所以a，b，c可以成等差数列，这与已知中“a，b，c不成等差数列”相矛盾.
原假设错误，故，
，
不成等差数列.
1.用反证法证明否定性命题的适用类型
结论中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等词语的命题称为否定性命题，此类问题的正面比较模糊，而反面比较具体，适合使用反证法.
2.反证法证明问题的一般步骤
[再练一题]
1.(2016·晋州高二检测)设数列{an}是公比为q的等比数列，Sn是它的前n项和.求证：数列{Sn}不是等比数列.
【证明】 假设数列{Sn}是等比数列，则S＝S1S3，
即a(1＋q)2＝a1·a1(1＋q＋q2)，
因为a1≠0，所以(1＋q)2＝1＋q＋q2，
即q＝0，这与公比q≠0矛盾.
所以数列{Sn}不是等比数列.
用反证法证明存在性问题
已知a，b，c∈(0,1)，求证：(1-a)b，(1-b)c，(1-c)a不能都大于.
【精彩点拨】 “不能都大于”的含义为“至少有一个小于或等于”其对立面为“全部大于”.
【自主解答】 假设(1-a)b，(1-b)c，(1-c)a都大于.
∵a，b，c∈(0,1)，
∴1-a>0,1-b>0,1-c>0.
∴≥>＝.
同理>，>.
三式相加得
＋＋>，
即>，矛盾.
所以(1-a)b，(1-b)c，(1-c)a不能都大于.
应用反证法常见的“结论词”与“反设词”
当命题中出现“至多”“至少”等词语时，直接证明不易入手且讨论较复杂.这时，可用反证法证明，证明时常见的“结论词”与“反设词”如下：
结论词
反设词
结论词
反设词
至少有一个
一个也没有
对所有x成立
存在某个x0不成立
至多有一个
至少有两个
对任意x不成立
存在某个x0成立
至少有n个
至多有n-1个
p或q
﹁p且﹁q
至多有n个
至少有n＋1个
p且q
﹁p或﹁q
[再练一题]
2.已知a，b，c，d∈R，且a＋b＝c＋d＝1，ac＋bd>1，求证：a，b，c，d中至少有一个是负数.
【证明】 假设a，b，c，d都是非负数，
因为a＋b＝c＋d＝1，所以(a＋b)(c＋d)＝1.
又(a＋b)(c＋d)＝ac＋bd＋ad＋bc≥ac＋bd，
所以ac＋bd≤1，
这与已知ac＋bd>1矛盾，
所以a，b，c，d中至少有一个是负数.
[探究共研型]
利用反证法证明唯一性命题
探究1 反证法解题的实质是什么？
【提示】 否定结论、导出矛盾，从而证明原结论正确.
探究2 应用反证法推出矛盾的推导过程中，可以把下列哪些作为条件使用________.
①结论的反设；②已知条件；③定义、公理、定理等；④原结论.
【提示】 反证法的“归谬”是反证法的核心，其含义是从命题结论的假设(即把“反设”作为一个新的已知条件)及原命题的条件出发，引用一系列论据进行正确推理，推出与已知条件、定义、定理、公理等相矛盾的结果.
【答案】 ①②③
已知直线m与直线a和b分别交于A，B两点，且a∥b.求证：过a，b，m有且只有一个平面.
【精彩点拨】 “有且只有”表示“存在且惟一”，因此在证明时，要分别从存在性和惟一性两方面来考虑.
【自主解答】 因为a∥b，
所以过a，b有一个平面α.
又因为m∩a＝A，m∩b＝B，
所以A∈a，B∈b，
所以A∈α，B∈α.
又因为A∈m，B∈m，所以m α，
即过a，b，m有一个平面α，如图.
假设过a，b，m还有一个平面β异于平面α，
则a α，b α，a β，b β，这与a∥b，过a，b有且只有一个平面矛盾.
因此，过a，b，m有且只有一个平面.
用反证法证明惟一性命题的一般思路
证明“有且只有一个”的问题，需要证明两个命题，即存在性和惟一性.当证明结论以“有且只有”“只有一个”“惟一存在”等形式出现的命题时，可先证“存在性”，由于假设“惟一性”结论不成立易导出矛盾，因此可用反证法证其惟一性.
[再练一题]
3.若函数f(x)在区间[a，b]上的图象连续，且f(a)<0，f(b)>0，且f(x)在[a，b]上单调递增，求证：f(x)在(a，b)内有且只有一个零点.
【证明】 由于f(x)在[a，b]上的图象连续，且f(a)<0，f(b)>0，即f(a)·f(b)<0，
所以f(x)在(a，b)内至少存在一个零点，设零点为m，则f(m)＝0.
假设f(x)在(a，b)内还存在另一个零点n，即f(n)＝0，则n≠m.
若n>m，则f(n)>f(m)，即0>0，矛盾；
若n因此假设不正确，即f(x)在(a，b)内有且只有一个零点.
[构建·体系]
—
1.“x＝0且y＝0”的否定形式为________.
【解析】 “p且q”的否定形式为“綈p或綈q”.
【答案】 x≠0或y≠0
2.命题“任意多面体的面至少有一个是三角形或四边形或五边形”的结论的否定是____________________________________________________.
【解析】 “至少有一个”的否定是“一个也没有”，故结论的否定是：没有一个面是三角形或四边形或五边形.
【答案】 没有一个面是三角形或四边形或五边形
3.设a，b是两个实数，给出下列条件：①a＋b＝1；②a＋b＝2；③a＋b>2；④a2＋b2>2.其中能推出“a，b中至少有一个大于1”的条件是________(填序号).
【解析】 假设a，b均不大于1，即a≤1，b≤1.
则①②④均有可能成立，故①②④不能推出“a，b中至少有一个大于1”，故选③.
【答案】 ③
4.用反证法证明“一个三角形不能有两个直角”有三个步骤：
①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C>180°，这与三角形内角和为180°矛盾，故假设错误；
②所以一个三角形不能有两个直角；
③假设△ABC中有两个直角，不妨设∠A＝90°，∠B＝90°.
上述步骤的正确顺序为__________.
【导学号：97220020】
【解析】 由反证法证明数学命题的步骤可知，上述步骤的顺序应为③①②.
【答案】 ③①②
5.若a，b，c互不相等，证明：三个方程ax2＋2bx＋c＝0，bx2＋2cx＋a＝0，cx2＋2ax＋b＝0至少有一个方程有两个相异实根.
【证明】 假设三个方程中都没有两个相异实根，
则Δ1＝4b2-4ac≤0，Δ2＝4c2-4ab≤0，Δ3＝4a2-4bc≤0.
相加得a2-2ab＋b2＋b2-2bc＋c2＋c2-2ac＋a2≤0，(a-b)2＋(b-c)2＋(c-a)2≤0，∴a＝b＝c.这与a，b，c互不相等矛盾.
∴假设不成立，即三个方程中至少有一个方程有两个相异实根.
我还有这些不足：
(1)
(2)
我的课下提升方案：
(1)
(2)2.1.3 推理案例赏析
1.进一步认识合情推理和演绎推理的作用、特点以及两者之间的紧密联系.利用合情推理和演绎推理进行简单的推理.(重点、难点)
2.两种推理形式的具体格式.(易混点)
[小组合作型]
归纳推理的应用
观察如图2 1 14所示的“三角数阵”：
图2 1 14
记第n行的第2个数为an(n≥2，n∈N
)，请仔细观察上述“三角数阵”的特征，完成下列各题：
(1)第6行的6个数依次为________、________、________、________、________、________；
(2)依次写出a2、a3、a4、a5；
(3)归纳出an＋1与an的关系式.
【精彩点拨】 (1)观察数阵，总结规律：除首末两数外，每行的数等于它上一行肩膀上的两数之和，得出(1)的结果.
(2)由数阵可直接写出答案.
(3)写出a3-a2，a4-a3，a5-a4，从而归纳出(3)的结论.
【自主解答】 (1)由数阵可看出，除首末两数外，每行中的数都等于它上一行肩膀上的两数之和，且每一行的首末两数都等于行数.
【答案】 6,16,25,25,16,6
(2)a2＝2，a3＝4，a4＝7，a5＝11
(3)∵a3＝a2＋2，a4＝a3＋3，a5＝a4＋4，
∴由此归纳：an＋1＝an＋n.
归纳推理的一般步骤
归纳推理的思想过程大致是：实验、观察→概括、推广→猜测一般性结论.该过程包括两个步骤：
(1)通过观察个别对象发现某些相同性质；
(2)从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想).
[再练一题]
1.观察下列各式：
＋＝1，＋＋＋＝12，＋＋＋＋＋＝39，….
则当n【解析】 当n＝0，m＝1时，对应第1个式子＋＝1，此时1＝12-0＝m2-n2；当n＝2，m＝4时，对应第2个式子＋＋＋＝12，此时12＝42-22＝m2-n2；当n＝5，m＝8时，对应第3个式子＋＋…＋＝39，此时39＝82-52＝m2-n2.
由归纳推理可知＋＋…＋＋＝m2-n2.
【答案】 m2-n2
类比推理的应用
通过计算可得下列等式：
23-13＝3×12＋3×1＋1；
33-23＝3×22＋3×2＋1；
43-33＝3×32＋3×3＋1；
…
(n＋1)3-n3＝3×n2＋3×n＋1.
将以上各等式两边分别相加，得
(n＋1)3-13＝3(12＋22＋…＋n2)＋3(1＋2＋3＋…＋n)＋n，
即12＋22＋32＋…＋n2＝n(n＋1)(2n＋1).
类比上述求法，请你求出13＋23＋33＋…＋n3的值.
【精彩点拨】 解答本题要抓住各等式两边数的指数相类比.
【自主解答】 ∵24-14＝4×13＋6×12＋4×1＋1，
34-24＝4×23＋6×22＋4×2＋1，
44-34＝4×33＋6×32＋4×3＋1，
… …
(n＋1)4-n4＝4n3＋6n2＋4n＋1.
将以上各式两边分别相加，得(n＋1)4-14
＝4×(13＋23＋…＋n3)＋6×(12＋22＋…＋n2)＋4×(1＋2＋…＋n)＋n，
∴13＋23＋…＋n3
＝＝n2(n＋1)2.
1.解题方法的类比通过对不同题目条件、结论的类比，从而产生解题方法的迁移，这是数学学习中很高的境界，需要学习者熟练地掌握各种题型及相应的解题方法.
2.类比推理的步骤与方法
(1)弄清两类对象之间的类比关系及类比关系之间的(细微)差别.
(2)把两个系统之间的某一种一致性(相似性)确切地表述出来，也就是要把相关对象在某些方面一致性的含糊认识说清楚.
[再练一题]
2.半径为r的圆的面积S(r)＝π·r2，周长C(r)＝2π·r，若将r看作(0，＋∞)上的变量，则(π·r2)′＝2π·r①，①式可用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数.对于半径为R的球，若将R看作(0，＋∞)上的变量，请你写出类似于①的式子②：________；②式可用语言叙述为________.
【导学号：97220015】
【解析】 因为半径为R的球的体积V(R)＝πR3，
表面积S(R)＝4πR2，
类比(πr2)′＝2πr，得′＝4πR2.
因此②式应为：′＝4πR2.
且②式用语言叙述为：球的体积函数的导数等于球的表面积函数.
【答案】 ′＝4πR2 球的体积函数的导数等于球的表面积函数
[探究共研型]
合情推理与演绎推理的综合应用
探究1 我们已经学过了等比数列，你有没有想到是否也有等积数列呢？类比“等比数列”，请你给出“等积数列”的定义.
【提示】 如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的乘积是同一个常数，那么这个数列叫做等积数列，其中，这个常数叫做公积.
探究2 若{an}是等积数列，且首项a1＝2，公积为6，试写出{an}的通项公式及前n项和公式.
【提示】 由于{an}是等积数列，且首项a1＝2，公积为6，所以a2＝3，a3＝2，a4＝3，a5＝2，a6＝3，…，即{an}的所有奇数项都等于2，所有偶数项都等于3，因此{an}的通项公式为an＝
其前n项和公式Sn＝
探究3 甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，
甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；
乙说：我没去过C城市；
丙说：我们三人去过同一城市.
由此可判断乙去过的城市为A，B，C三个城市中的哪一个？
【提示】 由题意可推断：甲没去过B城市，但比乙去的城市多，而丙说“三人去过同一城市”，说明甲去过A，C城市，而乙“没去过C城市”，说明乙去过城市A，由此可知，乙去过的城市为A.
如图2 1 17所示，三棱锥A BCD的三条侧棱AB，AC，AD两两互相垂直，O为点A在底面BCD上的射影.
图2 1 17
(1)求证：O为△BCD的垂心；
(2)类比平面几何的勾股定理，猜想此三棱锥侧面与底面间的一个关系，并给出证明.
【精彩点拨】 (1)利用线面垂直与线线垂直的转化证明O为△BCD的重心.
(2)先利用类比推理猜想出一个结论，再用演绎推理给出证明.
【自主解答】 (1)证明：∵AB⊥AD，AC⊥AD，
∴AD⊥平面ABC，
∴AD⊥BC，
又∵AO⊥平面BCD，
∴AO⊥BC，
∵AD∩AO＝A，
∴BC⊥平面AOD，
∴BC⊥DO，同理可证CD⊥BO，
∴O为△BCD的垂心.
(2)猜想：S＋S＋S＝S.
证明：连接DO并延长交BC于E，
连接AE，BO，CO，
由(1)知AD⊥平面ABC，
AE 平面ABC，
∴AD⊥AE，又AO⊥ED，
∴AE2＝EO·ED，
2＝·，
即S＝S△BOC·S△BCD.
同理可证：S＝S△COD·S△BCD，S＝S△BOD·S△BCD.
∴S＋S＋S△ABD＝S△BCD·(S△BOC＋S△COD＋S△BOD)＝S△BCD·S△BCD＝S.
合情推理仅是“合乎情理”的推理，它得到的结论不一定真.但合情推理常常帮助我们猜测和发现新的规律，为我们提供证明的思路和方法，而演绎推理得到的结论一定正确 前提和推理形式都正确的前提下 .
[再练一题]
3.已知命题：“若数列{an}是等比数列，且an>0，则数列bn＝(n∈N
)也是等比数列”.类比这一性质，你能得到关于等差数列的一个什么性质？并证明你的结论.
【解】 类比等比数列的性质，可以得到等差数列的一个性质是：
若数列{an}是等差数列，则数列bn＝也是等差数列.
证明如下：
设等差数列{an}的公差为d，则bn＝＝＝a1＋(n-1)，
所以数列{bn}是以a1为首项，为公差的等差数列.
[构建·体系]
1.设k棱柱有f(k)个对角面，则k＋1棱柱对角面的个数为f(k＋1)＝f(k)＋________.
【解析】 k棱柱增加一条侧棱时，则这条侧棱和与之不相邻的k-2条侧棱可构成k-2个对角面，而增加一条侧棱时也使一个侧面变成了对角面.
所以f(k＋1)＝f(k)＋k-2＋1＝f(k)＋k-1.
【答案】 k-1
2.如果一个凸多面体是n棱锥，那么这个凸多面体的所有顶点所确定的直线共有________条.这些直线中共有f(n)对异面直线，则f(4)＝________；f(n)＝________.(答案用数字或含n的式子表示)
【解析】 所有顶点确定的直线共有：棱数＋底边数＋对角线数，
即n＋n＋＝.f(4)＝4×2＋×2＝12，
f(n)＝n(n-2)＋×(n-2)＝.
【答案】 12
3.下面几种推理是合情推理的是________.(填序号)
①由圆的性质类比出球的有关性质；
②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°；
③张军某次考试成绩是100分，由此推出全班同学的成绩都是100分；
④三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得凸多边形内角和是(n-2)·180°.
【解析】 ①是类比推理；②是归纳推理；④是归纳推理.所以①、②、④是合情推理.
【答案】 ①②④
4.(2016·深圳二模)如图2 1 18所示，我们知道，圆环也可以看作线段AB绕圆心O旋转一周所形成的平面图形，又圆环的面积S＝π(R2-r2)＝(R-r)×2π×，
图2 1 18
所以，圆环的面积等于以AB＝R-r为宽，以AB中点绕圆心O旋转一周所形成圆的周长2π×为长的矩形面积.
请你将上述想法拓展到空间，并解决以下问题：
若将平面区域M＝{(x，y)|(x-d)2＋y2≤r2}(其中0【解析】 已知图中圆环的面积等于以AB＝R-r为宽，以AB中点绕圆心O旋转一周所形成圆的周长2π×为长的矩形面积，由此拓展到空间，可知：将平面区域M＝{(x，y)|(x-d)2＋y2≤r2}(其中0【答案】 2π2r2d
5.在△ABC中，若∠C＝90°，则cos2A＋cos2B＝1，用类比的方法，猜想三棱锥的类似性质，并证明你的猜想.
【解】 由平面类比到空间，有如下猜想：“在三棱锥P ABC中，三个侧面PAB，PBC，PCA两两垂直，且与底面所成的角分别为α，β，γ，则cos2α＋cos2β＋cos2γ＝1”.
证明：设P在平面ABC的射影为O，延长CO交AB于M，记PO＝h，
由PC⊥PA，PC⊥PB，得PC⊥面PAB，
从而PC⊥PM，又∠PMC＝α，
cos
α＝sin∠PCO＝，cos
β＝，cos
γ＝.
∵VP ABC＝PA·PB·PC
＝PA·PBcos
α＋PB·PCcos
β＋PC·PAcos
γ·h，
∴h＝1，即cos2α＋cos2β＋cos2γ＝1.
我还有这些不足：
(1)
(2)
我的课下提升方案：
(1)
(2)第1课时 归纳推理
1.了解归纳推理的含义，能用归纳推理进行简单的推理.(重点、难点)
2.体会归纳推理在数学发现中的作用，归纳推理结论的真假.(易错点)
[基础·初探]
教材整理 归纳推理
阅读教材P31～P33“练习”以上部分，完成下列问题.
1.推理
从一个或几个已知命题得出另一个新命题的思维过程称为推理.
2.归纳推理的特点
(1)归纳推理的定义
：
从个别事实中推演出一般性的结论，像这样的推理通常称为归纳推理.
(2)归纳推理的思维过程如图：
―→―→.
3.归纳推理
(1)归纳推理的前提是几个已知的特殊现象，归纳所得的结论是尚属未知的一般现象，该结论超越了前提所包容的范围.
(2)由归纳推理得到的结论具有猜测的性质，结论是否真实，还需经过逻辑证明和实践检验.
(3)归纳推理是一种具有创造性的推理.
1.判断正误：
(1)由个别到一般的推理为归纳推理.( )
(2)由归纳推理得出的结论一定正确.( )
(3)从总体中抽取样本，然后用样本估计总体，这种估计属于归纳推理.( )
【答案】 (1)√ (2)× (3)√
2.如图2 1 1所示，第n个图形中，小正六边形的个数为______.
【导学号：97220009】
图2 1 1
【解析】 a1＝7，a2＝7＋5＝12，a3＝12＋5＝17，
∴an＝7＋5(n-1)＝5n＋2.
【答案】 5n＋2
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：
解惑：
疑问2：
解惑：
疑问3：
解惑：
[小组合作型]
数与式的归纳
(1)(2016·扬州高二调研)已知＝2·，＝3·，＝4·，＝2014·，则＝________.
(2)(2016·湖北七市教科研协作体联考)观察下列等式：
1＋2＋3＋…＋n＝n(n＋1)；
1＋3＋6＋…＋n(n＋1)＝n(n＋1)(n＋2)；
1＋4＋10＋…＋n(n＋1)(n＋2)＝n(n＋1)(n＋2)(n＋3)；
……
可以推测，1＋5＋15＋…＋n(n＋1)(n＋2)(n＋3)＝__________.
【精彩点拨】 结合数与式子的特征，提炼结论.
【自主解答】 (1)由已知的3个等式知一般式为＝(n＋1)·.所以m＝2014，n＝20143-1，所以＝＝1.
(2)根据式子中的规律可知，等式右侧为n(n＋1)(n＋2)(n＋3)(n＋4)＝n(n＋1)(n＋2)(n＋3)(n＋4).
【答案】 (1)1 (2)n(n＋1)(n＋2)(n＋3)(n＋4)
进行数、式中的归纳推理的一般规律
(1)要特别注意所给几个等式(或不等式)中项数和次数等方面的变化规律；
(2)要特别注意所给几个等式(或不等式)中结构形式的特征；
(3)提炼出等式(或不等式)的综合特点；
(4)运用归纳推理得出一般结论.
[再练一题]
1.已知＜，＜，＜，…，推测猜想一般性结论为________.
【解析】 每一个不等式的右边是不等式左边的分子、分母分别加了相同的正数，因此可猜测：＜(a，b，m均为正数，且a＞b).
【答案】 ＜(a，b，m均为正数，且a＞b)
图形中的归纳推理
(1)黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图2 1 2的规律拼成若干个图案，则第n个图案中有黑色地面砖的块数是________.
图2 1 2
(2)根据图2 1 3中线段的排列规则，试猜想第8个图形中线段的条数为__________.
① ② ③ ④
图2 1 3
【精彩点拨】 (1)观察图案知，每多一块白色地面砖，则多5块黑色地面砖，从而每个图案中白色地面砖的块数，组成首项为6，公差为5的等差数列.
(2)先求出前4个图形中线段的数目，再归纳.
【自主解答】 (1)观察图案知，从第一个图案起，每个图案中黑色地面砖的个数组成首项为6，公差为5的等差数列，从而第n个图案中黑色地面砖的个数为6＋(n-1)×5＝5n＋1.
(2)图形①到④中线段的条数分别为1,5,13,29，因为1＝22-3,5＝23-3,13＝24-3,29＝25-3，因此可猜想第8个图形中线段的条数应为29-3＝509.
【答案】 (1)5n＋1 (2)509
归纳推理在图形中的应用策略
通过一组平面或空间图形的变化规律，研究其一般性结论，通常需形状问题数字化，展现数学之间的规律、特征，然后进行归纳推理.解答该类问题的一般策略是：
―→
↓
―→
↓
―→
[再练一题]
2.如图2 1 4，第n个图形是由正n＋2边形“扩展”而来(n＝1,2,3，…)，则第n个图形中的顶点个数为________.
图2 1 4
【解析】 第一个图形共有12＝3×4个顶点，第二个图形共有20＝4×5个顶点，第三个图形共有30＝5×6个顶点，第四个图形共有42＝6×7个顶点，故第n个图形共有(n＋2)(n＋3)个顶点.
【答案】 (n＋2)(n＋3)
[探究共研型]
归纳推理在数列中的应用
探究1 数列的通项an与序号n是一种什么关系？
【提示】 是一种对应关系，也是一种特殊的函数关系.
探究2 如何寻求an与n的关系？
【提示】 利用递推式写出数列的前几项化为统一的形式，再观察解决.
已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn＝.求出a1，a2，a3，a4，并推测an.
【精彩点拨】 由递推关系写出前4项，化为统一形式，观察即可.
【自主解答】 ∵Sn＝，∴a1＝，∴a＝1.
又∵an>0，∴a1＝1；
a1＋a2＝，即1＋a2＝，∴a2＝-1；
a1＋a2＋a3＝，
即＋a3＝，∴a3＝-；
a1＋a2＋a3＋a4＝，
∴＋a4＝，∴a4＝2-；
观察可得，an＝-.
数列中的归纳推理
在数列问题中，常常用到归纳推理猜测数列的通项公式或前n项和.
(1)通过已知条件求出数列的前几项或前n项和；
(2)根据数列中的前几项或前n项和与对应序号之间的关系求解；
(3)运用归纳推理写出数列的通项公式或前n项和公式.
[再练一题]
3.已知数列{an}中，a2＝6，＝n.
(1)求a1，a3，a4；
(2)猜想数列{an}的通项公式.
【解】 (1)由a2＝6，＝1，得a1＝1.
由＝2，得a3＝15.
由＝3，得a4＝28.
故a1＝1，a3＝15，a4＝28.
(2)由a1＝1＝1×(2×1-1)；a2＝6＝2×(2×2-1)；a3＝15＝3×(2×3-1)；a4＝28＝4×(2×4-1)，
…
猜想an＝n(2n-1).
[构建·体系]
1.已知f1(x)＝cos
x，f2(x)＝f1′(x)，f3(x)＝f2′(x)，f4(x)＝f3′(x)，…，fn(x)＝fn-1′(x)，则f2
014(x)＝________.
【解析】 f1(x)＝cos
x，f2(x)＝f1′(x)＝-sin
x，
f3(x)＝f2′(x)＝-cos
x，f4(x)＝f3′(x)＝sin
x，
f5(x)＝f4′(x)＝cos
x，…再继续下去会重复出现，周期为4，
∴f2
014(x)＝f2(x)＝-sin
x.
【答案】 -sin
x
2.已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝(a∈N
)，则可归纳猜想{an}的通项公式为________.
【解析】 由已知得a1＝1，a2＝＝，a3＝＝＝，a4＝＝＝，…，由此可猜想an＝.
【答案】 an＝
3.已知an＝n，把数列{an}的各项排成如下的三角形：
【导学号：97220010】
a1
a2 a3 a4
a5 a6 a7 a8 a9
……
记A(s，t)表示第s行的第t个数，则A(11,12)＝______________.
【解析】 每行对应的元素个数分别为1,3,5，…，那么第10行最后一个数为a100，则第11行的第12个数为a112，
即A(11,12)＝a112＝112.
【答案】 112
4.(2016·苏州高二期末)当x>0时，x＋≥2＝2，
x＋＝＋＋≥3＝3，
x＋＝＋＋＋≥4＝4，根据上述不等式，在x>0的条件下，可归纳出一个一般性的不等式为________(直接写结论).
【解析】 根据已知的3个不等式，找出规律知，一般性的不等式为x＋≥(n＋1)·＝n＋1.
【答案】 x＋≥n＋1
5.已知在数列{an}中，a1＝，an＋1＝.
(1)求a2，a3，a4，a5的值；
(2)猜想an.
【解】 (1)a2＝＝＝，
同理a3＝＝，a4＝，a5＝.
(2)由a2＝，a3＝，a4＝，a5＝，可猜想an＝.
我还有这些不足：
(1)
(2)
我的课下提升方案：
(1)
(2)2.1.2 演绎推理
1.理解演绎推理的含义，能利用“三段论”进行简单推理.(重点、难点)
2.演绎推理与合情推理的区别和联系.(易误点)
[基础·初探]
教材整理 演绎推理
阅读教材P36及P39“练习”以上部分，完成下列问题.
1.演绎推理
(1)含义：由一般性的命题推演出特殊性命题的推理方法.
(2)特点：(1)演绎的前提是一般性原理，演绎所得的结论是蕴涵于前提之中的个别、特殊事实，结论完全蕴涵于前提之中.
(2)在演绎推理中，前提与结论之间存在必然的联系.
(3)演绎推理是一种收敛性的思维方法，它较少创造性，但却具有条理清晰、令人信服的论证作用，有助于科学的理论化和系统化.
2.三段论
“三段论”是演绎推理的一般模式
一般模式
常用格式
大前提
提供了一个一般性的原理
M是P
小前提
指出了一个特殊对象
S是M
结论
揭示了一般原理与特殊对象的内在联系
S是P
1.判断正误：
(1)演绎推理是由一般到特殊的推理.( )
(2)演绎推理的结论一定正确.( )
(3)“三段论”就是演绎推理.( )
(4)演绎推理得到的结论是否正确与大前提、小前提和推理形式有关.( )
【答案】 (1)√ (2)× (3)× (4)√
2.“π是无限不循环小数，∴π是无理数.”以上推理的大前提是________.
【导学号：97220013】
【解析】 大前提为：无限不循环小数是无理数.
【答案】 无限不循环小数是无理数
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：
解惑：
疑问2：
解惑：
疑问3：
解惑：
[小组合作型]
把演绎推理写成三段论的形式
将下列演绎推理写成三段论的形式.
(1)一切奇数都不能被2整除，75不能被2整除，所以75是奇数.
(2)三角形的内角和为180°，Rt△ABC的内角和为180°.
(3)通项公式为an＝3n＋2(n≥2)的数列{an}为等差数列.
【自主解答】 (1)一切奇数都不能被2整除.
(大前提)
75不能被2整除.
(小前提)
75是奇数.
(结论)
(2)三角形的内角和为180°.
(大前提)
Rt△ABC是三角形.
(小前提)
Rt△ABC的内角和为180°.
(结论)
(3)数列{an}中，如果当n≥2时，an-an-1为常数，则{an}为等差数列.
(大前提)
通项公式an＝3n＋2，n≥2时，
an-an-1＝3n＋2-[3(n-1)＋2]＝3(常数).
(小前提)
通项公式为an＝3n＋2(n≥2)的数列{an}为等差数列.
(结论)
把演绎推理写成“三段论”的一般方法：
1 用“三段论”写推理过程时，关键是明确大、小前提，三段论中大前提提供了一个一般性原理，小前提提供了一种特殊情况，两个命题结合起来，揭示一般性原理与特殊情况的内在联系.
2 在寻找大前提时，要保证推理的正确性，可以寻找一个使结论成立的充分条件作为大前提.
[再练一题]
1.将下列演绎推理写成三段论的形式.
(1)平行四边形的对角线互相平分，菱形是平行四边形，所以菱形的对角线互相平分；
(2)等腰三角形的两底角相等，∠A，∠B是等腰三角形的两底角，则∠A＝∠B.
【解析】 (1)平行四边形的对角线互相平分，
(大前提)
菱形是平行四边形，
(小前提)
菱形的对角线互相平分.
(结论)
(2)等腰三角形的两底角相等，
(大前提)
∠A，∠B是等腰三角形的两底角，
(小前提)
∠A＝∠B.
(结论)
演绎推理在几何证明中的应用
如图2 1 14所示，D，E，F分别是BC，CA，AB边上的点，∠BFD＝∠A，DE∥BA，求证：DE＝AF.写出“三段论”形式的演绎推理.
图2 1 14
【精彩点拨】 用三段论的模式依次证明：(1)DF∥AE，(2)四边形AEDF为平行四边形，(3)DE＝AF.
【自主解答】 (1)同位角相等，两直线平行，
(大前提)
∠BFD和∠A是同位角，且∠BFD＝∠A，
(小前提)
所以DF∥AE.
(结论)
(2)两组对边分别平行的四边形是平行四边形，
(大前提)
DE∥BA且DF∥EA，
(小前提)
所以四边形AFDE为平行四边形.
(结论)
(3)平行四边形的对边相等，
(大前提)
DE和AF为平行四边形的对边，
(小前提)
所以DE＝AF.
(结论)
1.用“三段论”证明命题的步骤
(1)理清楚证明命题的一般思路；
(2)找出每一个结论得出的原因；
(3)把每个结论的推出过程用“三段论”表示出来.
2.几何证明问题中，每一步都包含着一般性原理，都可以分析出大前提和小前提，将一般性原理应用于特殊情况，就能得出相应结论.
[再练一题]
2.证明：如果梯形的两腰和一底相等，那么它的对角线必平分另一底上的两个角.
【解】 已知在梯形ABCD中(如图所示)，AB＝DC＝AD，AC和BD是它的对角线，求证：CA平分∠BCD，BD平分∠CBA.
证明：(1)等腰三角形的两底角相等，
(大前提)
△DAC是等腰三角形，DC＝DA，
(小前提)
∠1＝∠2.
(结论)
(2)两条平行线被第三条直线所截，内错角相等，
(大前提)
∠1和∠3是平行线AD，BC被AC
所截的内错角，
(小前提)
∠1＝∠3.
(结论)
(3)等于同一个量的两个量相等，
(大前提)
∠2，∠3都等于∠1，
(小前提)
∠2和∠3相等.即CA平分∠BCD.
(结论)
④同理BD平分∠CBA.
[探究共研型]
演绎推理在代数中的应用
探究1 演绎推理的结论一定正确吗？
【提示】 演绎推理的结论不会超出前提所界定的范围，所以在演绎推理中，只要前提和推理形式正确，其结论一定正确.
探究2 因为对数函数y＝logax(a＞0，a≠1)是增函数，而y＝logx是对数函数，所以y＝logx是增函数.上面的推理形式和结论正确吗？
【提示】 推理形式正确，结论不正确.因为大前提是错误的.
已知a，b，m均为正实数，b【精彩点拨】 利用不等式的性质证明.
【自主解答】 因为不等式(两边)同乘以一个正数，不等号不改变方向，
(大前提)
b0，
(小前提)
所以mb(结论)
因为不等式两边同加上一个数，不等号方向不变，
(大前提)
mb(小前提)
所以mb＋ab(结论)
因为不等式两边同除以一个正数，不等号方向不变，
(大前提)
b(a＋m)0，
(小前提)
所以<，即<.
(结论)
代数问题中常见的利用三段论证明的命题
1.函数类问题：比如函数的单调性、奇偶性、周期性和对称性等.
2.导数的应用：利用导数研究函数的单调区间，求函数的极值和最值，证明与函数有关的不等式等.
3.三角函数的图象与性质.
4.数列的通项公式、递推公式以及求和，数列的性质.
5.不等式的证明.
[再练一题]
3.“由(a2＋a＋1)x>3，得x>”的推理过程中，其大前提是__________.
【答案】 不等式两边同除以一个正数，不等号方向不变.
[构建·体系]
——
1.函数y＝2x＋5的图象是一条直线，用三段论表示为：
大前提：_________________________________________________；
小前提：_________________________________________________；
结论：____________________________________________________.
【答案】 一次函数的图象是一条直线
函数y＝2x＋5是一次函数
函数y＝2x＋5的图象是一条直线
2.“指数函数y＝ax(a>1)是增函数，y＝xα(α>1)是指函数，所以y＝xα(α>1)是增函数”，在以上演绎推理中，下列说法正确的命题序号是________.
①推理完全正确；②大前提不正确；③小前提不正确；④推理形式不正确.
【解析】 ∵y＝xα(α>1)是幂函数，而不是指数函数.
∴小前提错误.
【答案】 ③
3.“公差不为零的等差数列{an}的前n项和为关于n的没有常数项的二次函数，{bn}的前n项和为Sn＝n2＋3n.所以{bn}为等差数列”.上述推理中，下列说法正确的序号是________.
①大前提错误；②小前提错误；③结论错误；④正确.
【解析】 该推理过程中，大前提、小前提、结论都正确.
【答案】 ④
4.三段论“①只有船准时起航，才能准时到达目的港，②这艘船是准时到达目的港的，③这艘船是准时起航的.”中的小前提是序号________.
【导学号：97220014】
【解析】 该推理的大前提是①，小前提是③，结论是②.
【答案】 ③
5.用三段论的形式写出下列演绎推理.
(1)矩形的对角线相等，正方形是矩形，所以正方形的对角线相等；
(2)y＝cos
x(x∈R)是周期函数.
【解】 (1)因为矩形的对角线相等，
(大前提)
而正方形是矩形，
(小前提)
所以正方形的对角线相等.
(结论)
(2)因为三角函数是周期函数，
(大前提)
而y＝cos
x(x∈R)是三角函数，
(小前提)
所以y＝cos
x(x∈R)是周期函数.
(结论)
我还有这些不足：
(1)
(2)
我的课下提升方案：
(1)
(2)