第2课时 复数的乘方与除法
1.进一步熟练掌握复数的乘法运算，了解正整数指数幂的运算律在复数范围内仍成立.(重点)
2.理解复数商的定义，能够进行复数除法运算.(重点、难点)
3.了解i幂的周期性.(易错点)
[基础·初探]
教材整理 复数的乘方与除法
阅读教材P71～P73“练习”以上部分，完成下列问题.
1.复数的乘方与in(n∈N
)的周期性
(1)复数范围内正整数指数幂的运算性质
设对任何z∈C及m，n∈N
，则zmzn＝zm＋n，(zm)n＝znm，(z1z2)n＝zz.
(2)虚数单位in(n∈N
)的周期性
i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝-1，i4n＋3＝-i.
2.复数的除法
把满足(c＋di)(x＋yi)＝a＋bi(c＋di≠0)的复数x＋yi(x，y∈R)叫做复数a＋bi除以复数c＋di的商，且x＋yi＝＝＋i(c＋di≠0).
1.判断正误：
(1)两复数的商一定是虚数.( )
(2)i2
005＝i.( )
(3)复数的加、减、乘、除混合运算法则是先乘除、后加减.( )
(4)若z∈C，则z2＝2.( )
【答案】(1)× (2)√ (3)√ (4)×
2.复数＋i3＝________.
【解析】 ＝＝＝i，i3＝i2·i＝-i.
∴原式＝i-i＝0.
【答案】 0
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：
解惑：
疑问2：
解惑：
疑问3：
解惑：
[小组合作型]
i的运算特征
计算下列各式的值.
(1)1＋i＋i2＋…＋i2
014＋i2
015；
(2)2
014＋(1-i)2
014；
(3)i2
006＋(＋i)8-50.
【自主解答】 (1)1＋i＋i2＋…＋i2
014＋i2
015＝1＋i＋i2＋i3＝0.
(2)∵1-＝1＋＝1＋i，且(1±i)2＝±2i.
∴2
014＋(1-i)2
014
＝(1＋i)2
014＋[(1-i)2]1
007
＝(2i)1
007＋(-2i)1
007＝0.
(3)i2
006＋(＋i)8-50
＝i4×501＋2＋[2(1＋i)2]4-25
＝i2＋(4i)4-i25
＝-1＋256-i＝255-i.
1.虚数单位i的性质：
(1)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝-1，i4n＋3＝-i(n∈N
).
(2)i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0(n∈N
).
2.复数的乘方运算，要充分运用(1＋i)2＝2i，(1-i)2＝-2i，＝-i及乘方运算律简化运算.
[再练一题]
1.(1)已知复数z＝，则复数z在复平面内对应的点为________.
【导学号：97220030】
【解析】 ∵i＋i2＋i3＋i4＝0，∴z＝＝＝i，对应的点为(0,1).
【答案】 (0,1)
(2)(2016·东北三省三校二模)i为虚数单位，复数z＝i2
012＋i2
015在复平面内对应的点位于第________象限.
【解析】 i2
012＝i503×4＝1，i2
015＝i503×4＋3＝-i，∴复数z＝1-i在复平面上对应点为(1，-1)，位于第四象限.
【答案】 四
复数的除法
(1)＝________.
(2)已知复数z满足(3-4i)z＝25，则z＝________.
(3)i为虚数单位，2＝________.
【精彩点拨】 (1)直接利用除法法则计算；(2)转化为复数的除法计算；(3)先计算括号内的，再乘方运算.
【自主解答】 (1)＝＝＝-1＋2i；
(2)由(3-4i)z＝25，得z＝＝＝＝3＋4i；
(3)∵＝＝＝-i，
∴2＝(-i)2＝-1.
【答案】(1)-1＋2i (2)3＋4i (3)-1
1.两个复数代数形式的除法运算步骤
(1)把除式写为分式.
(2)分子、分母同时乘以分母的共轭复数.
(3)对分子、分母分别进行乘法运算.
(4)把运算结果化为复数的代数形式.
2.解题时注意以下常用结论
(1)＝i，＝-i，(1±i)2＝±2i.
(2)in，(-i)n的值是以4为周期的一列值.
(3)＝＝＝i.
[再练一题]
2.(1)i为虚数单位，复数＝________.
【导学号：97220031】
(2)设z＝1＋i(i是虚数单位)，则＋z2＝________.
【解析】 (1)＝＝1＋i；
(2)＋z2＝＋(1＋i)2＝＋2i＝1＋i.
【答案】 (1)1＋i (2)1＋i
[探究共研型]
复数四则运算的综合应用
探究1 复数的四则运算顺序与实数的四则运算顺序相同吗？顺序是什么？
【提示】 相同，先乘除、后加减.
探究2 如何理解复数的除法运算法则？
【提示】 复数的除法先写成分式的形式，再把分母实数化(方法是分母与分子同时乘以分母的共轭复数，若分母是纯虚数，则只需同时乘以i).
计算：(1)＋(5＋i)2-2；
(2).
【精彩点拨】 解答较为复杂的复数相乘、除时，一方面要利用复数乘、除的运算法则、运算律，另一方面要注意观察式子中数据的特点，利用题目中数据的特点简化运算.
【自主解答】 (1)＋(5＋i)2-2
＝＋(25＋10i-1)-
＝i＋24＋10i-i＝24＋10i.
(2)原式＝
＝
＝
＝·(2i)2·i
＝-4i.
1.进行复数四则混合运算时，要先算乘方，再算乘除，最后计算加减.
2.复数乘法、除法运算中注意一些结论的应用：
(1)＝＝＝i.利用此法可将一些特殊类型的计算过程简化；
(2)记住一些简单结论如＝-i，＝i，＝-i，(1±i)2＝±2i等.
[再练一题]
3.(1)设i是虚数单位，复数i3＋＝________.
(2)设复数z满足(z-2i)(2-i)＝5，则z＝________.
【解析】 (1)i3＋＝-i＋＝-i＋i-i2＝1.
(2)∵(z-2i)(2-i)＝5，∴z＝＋2i＝＋2i＝＋2i＝2＋i＋2i＝2＋3i.
【答案】 (1)1 (2)2＋3i
[构建·体系]
1.设复数z满足(1-i)z＝2i，则z＝________.
【解析】 z＝＝＝＝-1＋i.
【答案】 -1＋i
2.设i是虚数单位，复数的虚部为________.
【解析】 ＝＝3＋i.
【答案】 1
3.如果z1＝-2-3i，z2＝，则＝________.
【解析】 ∵z1＝-2-3i，z2＝，
∴＝＝
＝-i(2＋i)2＝-(3＋4i)i＝4-3i.
【答案】 4-3i
4.已知i是虚数单位，计算＝________.
【解析】 ＝＝＝＝--i.
【答案】 --i
5.计算2-20.
【解】 2-20
＝[(1＋2i)·1＋(-i)5]2-i10
＝(1＋i)2-i10＝1＋2i.
我还有这些不足：
(1)
(2)
我的课下提升方案：
(1)
(2)第1课时 复数的加减与乘法运算
1.掌握复数代数形式的加减运算.(重点)
2.理解复数乘法运算法则，能进行复数的乘法运算.(重点、难点)
3.掌握共轭复数的概念及应用.(易错点)
[基础·初探]
教材整理1 复数的加减法
阅读教材P69，完成下列问题.
1.复数的加法、减法法则
(1)条件：z1＝a＋bi，z2＝c＋di(其中a，b，c，d均为实数).
(2)加法法则：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i，减法法则：z1-z2＝(a＋bi)-(c＋di)＝(a-c)＋(b-d)i.
2.运算律
(1)交换律：z1＋z2＝z2＋z1.
(2)结合律：(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3).
判断正误：
(1)复数与向量一一对应.( )
(2)复数与复数相加减后结果只能是实数.( )
(3)因为虚数不能比较大小，所以虚数的模也不能比较大小.( )
【答案】 (1)× (2)× (3)×
教材整理2 复数的乘法与共轭复数
阅读教材P70例1以下至P71练习以上部分，完成下列问题.
1.复数的乘法
(1)复数的乘法法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，
z1z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac-bd)＋(ad＋bc)i.
(2)乘法运算律
对于任意z1，z2，z3∈C，有
交换律
z1z2＝z2z1
结合律
(z1z2)z3＝z1(z2z3)
乘法对加法的分配律
z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3
2.共轭复数
(1)定义：实部相等，虚部互为相反数的两个复数叫做互为共轭复数.复数z＝a＋bi的共轭复数记作，即＝a-bi.
(2)关系：若z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则z1，z2互为共轭复数 a＝c且b＝-d.
(3)当复数z＝a＋bi的虚部b＝0时，z＝，也就是说实数的共轭复数仍是它本身.
1.判断正误：
(1)两个复数互为共轭复数是它们的模相等的必要条件.( )
(2)若z1，z2∈C，且z＋z＝0，则z1＝z2＝0.( )
(3)两个共轭虚数的差为纯虚数.( )
【答案】 (1)× (2)× (3)√
2.(2016·北京高考)设a∈R，若复数(1＋i)(a＋i)在复平面内对应的点位于实轴上，则a＝________.
【解析】 (1＋i)(a＋i)＝a-1＋(a＋1)i.
∵其对应点在实轴上，
∴a＋1＝0，即a＝-1.
【答案】 -1
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：
解惑：
疑问2：
解惑：
疑问3：
解惑：
[小组合作型]
复数的加、减法运算
(1)＋(2-i)-＝________.
(2)已知复数z满足z＋1-3i＝5-2i，求z.
(3)已知复数z满足|z|＋z＝1＋3i，求z.
【导学号：97220026】
【自主解答】 (1)＋(2-i)-＝＋i＝1＋i.
【答案】 1＋i
(2)法一：设z＝x＋yi(x，y∈R)，因为z＋1-3i＝5-2i，所以x＋yi＋(1-3i)＝5-2i，即x＋1＝5且y-3＝-2，解得x＝4，y＝1，所以z＝4＋i.
法二：因为z＋1-3i＝5-2i，所以z＝(5-2i)-(1-3i)＝4＋i.
(3)设z＝x＋yi(x，y∈R)，则|z|＝，又|z|＋z＝1＋3i，所以＋x＋yi＝1＋3i，由复数相等得解得所以z＝-4＋3i.
1.复数加、减运算法则的记忆
(1)复数的实部与实部相加减，虚部与虚部相加减.
(2)把i看作一个字母，类比多项式加、减中的合并同类项.
2.当一个等式中同时含有|z|与z时，一般要用待定系数法，设z＝a＋bi(a，b∈R).
[再练一题]
1.复数z满足z-(1-i)＝2i，则z等于________.
【解析】 ∵z-(1-i)＝2i，
∴z＝1-i＋2i＝1＋i.
【答案】 1＋i
复数的乘法运算
(1)已知a，b∈R，i是虚数单位.若a＋i＝2-bi，则(a＋bi)2＝________.
(2)复数(3＋2i)i＝________.
【精彩点拨】 (1)结合复数相等分别求出a，b的值，然后再做复数的乘法运算或直接运用完全平方公式进行运算.
(2)直接运用结合律复数的乘法运算.
【自主解答】 (1)∵a＋i＝2-bi，∴a＝2，b＝-1，
∴(a＋bi)2＝(2-i)2＝22-2×2×i＋i2＝3-4i.
(2)(3＋2i)i＝3i＋2i2＝-2＋3i.
【答案】(1)3-4i (2)-2＋3i
1.两个复数代数形式乘法的一般方法
首先按多项式的乘法展开；再将i2换成-1；然后再进行复数的加、减运算，化简为复数的代数形式.
2.常用公式
(1)(a＋bi)2＝a2＋2abi-b2(a，b∈R)；
(2)(a＋bi)(a-bi)＝a2＋b2(a，b∈R)；
(3)(1±i)2＝±2i.
[再练一题]
2.若|z1|＝5，z2＝3＋4i，且z1·z2是纯虚数，则z1＝________.
【解析】 设z1＝a＋bi(a，b∈R)，则|z1|＝＝5，即a2＋b2＝25，
z1·z2＝(a＋bi)·(3＋4i)＝(3a-4b)＋(3b＋4a)i.
∵z1·z2是纯虚数.
∴解得或
∴z1＝4＋3i或z1＝-4-3i.
【答案】 4＋3i或-4-3i
[探究共研型]
共轭复数的应用
探究1 两个共轭复数的和一定是实数吗？两个共轭复数的差一定是纯虚数吗？
【提示】 若z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a-bi，则z＋＝2a∈R.因此，和一定是实数；而z-＝2bi.当b＝0时，两共轭复数的差是实数，而当b≠0时，两共轭复数的差是纯虚数.
探究2 若z1与z2是共轭复数，则|z1|与|z2|之间有什么关系？
【提示】 |z1|＝|z2|.
已知z∈C，为z的共轭复数，若z·-3i＝1＋3i，求z.
【精彩点拨】 设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a-bi；代入所给等式，利用复数的运算及复数相等的充要条件转化为方程组求解.
【自主解答】 设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a-bi，(a，b∈R)，
由题意得(a＋bi)(a-bi)-3i(a-bi)＝1＋3i，
即a2＋b2-3b-3ai＝1＋3i，
则有解得或
所以z＝-1或z＝-1＋3i.
[再练一题]
3.已知复数z1＝(-1＋i)(1＋bi)，z2＝，其中a，b∈R.若z1与z2互为共轭复数，求a，b的值.
【解析】 z1＝(-1＋i)(1＋bi)＝-1-bi＋i-b＝(-b-1)＋(1-b)i，
z2＝＝＝＝＋i，
由于z1和z2互为共轭复数，所以有
解得
[构建·体系]
1.(5-6i)＋(-2-i)-(3＋4i)＝________.
【导学号：97220027】
【解析】 (5-6i)＋(-2-i)-(3＋4i)＝(5-2-3)＋(-6-1-4)i＝-11i.
【答案】 -11i
2.(2016·济南高二检测)i是虚数单位，复数(3＋i)(1-2i)＝________.
【解析】 (3＋i)(1-2i)＝3-6i＋i-2i2＝5-5i.
【答案】 5-5i
3.(2016·开封高二检测)若复数z＝1＋i(i为虚数单位)，是z的共轭复数，则z2＋2的虚部为________.
【解析】 z2＋2＝(1＋i)2＋(1-i)2＝0，∴z2＋2的虚部为0.
【答案】 0
4.已知复数z1满足(z1-2)(1＋i)＝1-i(i为虚数单位)，复数z2的虚部为2，且z1·z2是实数，则z2＝______.
【解析】 ∵(z1-2)(1＋i)＝1-i，∴z1＝2-i，设z2＝a＋2i，a∈R，则z1·z2＝(2-i)(a＋2i)＝(2a＋2)＋(4-a)i，∵z1·z2∈R，∴a＝4，∴z2＝4＋2i.
【答案】 4＋2i
5.计算：
(1)(1-i)(1＋i)；(2)(2-i)2.
【解】 (1)法一：(1-i)(1＋i)
＝(1＋i)
＝(1＋i)
＝＋i＋i＋i2
＝-1＋i.
法二：原式＝(1-i)(1＋i)
＝(1-i2)
＝2
＝-1＋i.
(2)(2-i)2＝(2-i)(2-i)
＝4-4i＋i2＝3-4i.
我还有这些不足：
(1)
(2)
我的课下提升方案：
(1)
(2)3.3 复数的几何意义
1.了解复数的几何意义，并能简单应用.(重点)
2.理解并会求复数的模，了解复数的模与实数绝对值之间的区别和联系.(易错点)
3.了解复数代数形式的加、减运算的几何意义.(重点、难点)
[基础·初探]
教材整理1 复数的几何意义
阅读教材P75，完成下列问题.
1.复平面
建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面.x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴.
2.复数的几何意义
复数z＝a＋bi(a，b∈R)―→复平面内的点Z(a，b)―→向量.
复数z＝-1在复平面内，z所对应的点在第______象限.
【解析】 z＝-1＝i-1，
∴复数z对应的点为(-1,1)在第二象限.
【答案】 二
教材整理2 复数的模
阅读教材P76“例1”以上部分，完成下列问题.
1.定义
向量的模叫做复数z＝a＋bi的模，记作|z|.
2.公式
|z|＝.
3.几何意义
复数z对应点Z到原点O的距离.
判断正误：
(1)在复平面内，对应于实数的点都在实轴上.( )
(2)在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数.( )
(3)复数的模一定是正实数.( )
【答案】 (1)√ (2)× (3)×
教材整理3 复数加减法的几何意义
阅读教材P77图3 3 6以下部分，完成下列问题.
1.如图3 3 1所示，设向量，分别与复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di对应，且和不共线.以，为两条邻边画 OZ1ZZ2.则向量与复数z1＋z2相对应；向量与复数z1-z2相对应.
图3 3 1
2.|z1-z2|＝，即两个复数的差的模就是复平面内与这两个复数对应的两点间的距离.
复数4＋3i与-2-5i分别表示向量与，则向量表示的复数是________.
【导学号：97220033】
【解析】 因为复数4＋3i与-2-5i分别表示向量与，所以＝(4,3)，＝(-2，-5)，又＝-＝(-2，-5)-(4,3)＝(-6，-8)，所以向量表示的复数是-6-8i.
【答案】 -6-8i
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：
解惑：
疑问2：
解惑：
疑问3：
解惑：
[小组合作型]
复数的几何意义
(1)实部为-2，虚部为1的复数所对应的点位于复平面的第________象限.
(2)设复数z＝(m∈R)在复平面内对应的点为Z.
①若点Z在虚轴上，求m的值；
②若点Z位于第一象限，求m的取值范围.
【自主解答】 (1)实部为-2，虚部为1的复数在复平面内对应的点为(-2,1)，位于第二象限.
【答案】 二
(2)z＝＝＝＋i.
①∵点Z在虚轴上，∴＝0，则m＝-2.
②点Z位于第一象限，则m＋2>0且1-2m>0，
解之得-2故实数m的取值范围是.
复数可由复平面内的点或向量进行表示
1.复数与复平面内点的对应：复数的实、虚部是该点的横、纵坐标，利用这一点，可把复数问题转化为平面内点的坐标问题.
2.复数与复平面内向量的对应：复数实、虚部是对应向量的坐标，利用这一点，可把复数问题转化为向量问题.
[再练一题]
1.实数x取什么值时，复平面内表示复数z＝x2＋x-6＋(x2-2x-15)i的点Z：
(1)位于第三象限；(2)位于第四象限；(3)位于直线x-y-3＝0上.
【解】 因为x是实数，所以x2＋x-6，x2-2x-15也是实数.
(1)当实数x满足即-3＜x＜2时，点Z位于第三象限.
(2)当实数x满足
即2＜x＜5时，点Z位于第四象限，
(3)当实数x满足(x2＋x-6)-(x2-2x-15)-3＝0，即3x＋6＝0，x＝-2时，点Z位于直线x-y-3＝0上.
复数加减法的几何意义
(1)向量对应的复数为1＋4i，向量对应的复数为-3＋6i，则向量＋对应的复数为________.
(2)若，对应的复数分别是7＋i,3-2i，则||＝________.
【精彩点拨】 利用复数加减法的几何意义求解.
【解析】 (1)(1＋4i)＋(-3＋6i)＝-2＋10i.即向量＋对应的复数为-2＋10i.
(2)对应复数为(3-2i)-(7＋i)＝-4-3i，
∴||＝|-4-3i|＝＝5.
【答案】 (1)-2＋10i (2)5
1.根据复数加减运算的几何意义可以把复数的加减运算转化为向量的坐标运算，同样满足三角形和平行四边形法则.
2.复数加减运算的几何意义为应用数形结合思想解决复数问题提供了可能.
[再练一题]
2.在复平面内，A、B、C分别对应复数z1＝1＋i，z2＝5＋i，z3＝3＋3i，以AB、AC为邻边作一个平行四边形ABDC，求D点对应的复数z4及AD的长.
【解】 由复数加减法几何意义：
对应复数z3-z1，
对应复数z2-z1，
对应复数z4-z1，
根据向量的平行四边形法则，得＝＋.
∴z4-z1＝(z2-z1)＋(z3-z1)，
∴z4＝z2＋z3-z1＝(5＋i)＋(3＋3i)-(1＋i)＝7＋3i，
∴AD的长为||＝|z4-z1|
＝|(7＋3i)-(1＋i)|＝|6＋2i|＝2
.
[探究共研型]
复数的模及其几何意义
探究1 复平面内的虚轴的单位长度是1，还是i
【提示】 复平面内的虚轴上的单位长度是1，而不是i.
探究2 在复平面内，若复数|z|＝2，则复数z对应的点的轨迹是什么？
【提示】 复数z对应的点的轨迹是以原点为圆心，半径为2的圆.
已知复数z1＝-i，z2＝-＋i.
(1)求|z1|及|z2|的值并比较大小.
(2)设z∈C，满足|z2|≤|z|≤|z1|的点Z的集合是什么图形？
【精彩点拨】 (1)计算复数的模，首先确定复数的实部和虚部，然后代入模的计算公式；(2)根据复数及其模的几何意义，转化为判定复数对应点的坐标满足的条件.
【自主解答】 (1)由复数模的定义：
|z1|＝|-i|＝2，|z2|＝＝1.
∴|z1|>|z2|.
(2)设z＝x＋yi(x，y∈R)，
则1≤|z|≤2.
∴1≤x2＋y2≤4.
因为x2＋y2≥1表示圆x2＋y2＝1及其外部所有点组成的集合，x2＋y2≤4表示圆x2＋y2＝4及其内部所有点组成的集合.
∴满足条件的点Z(x，y)的集合是以O为圆心，以1和2为半径的圆所夹的圆环，如图所示.
1.复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模即向量的模，复数的模可以比较大小.
2.复数的模的意义是表示复数对应的点到原点的距离，这可以类比实数的绝对值，也可类比以原点为起点的向量的模来加深理解.
[再练一题]
3.(1)若复数z满足z(1＋i)＝2i(i为虚数单位)，则|z|＝________.
(2)若z＝x＋yi，且|z|＝1，则复数Z在复平面内对应的点P的轨迹方程为________.
【导学号：97220034】
【解析】 (1)由z(1＋i)＝2i(i为虚数单位)知，
z＝＝＝1＋i，则|z|＝.
(2)由复数模的几何意知|z|＝1表示点P到原点的距离为1，即＝1.所以点P的轨迹方程为x2＋y2＝1.
【答案】 (1) (2)x2＋y2＝1
[构建·体系]
—
1.复平面内表示复数i(1-2i)的点位于第________象限.
【解析】 i(1-2i)＝2＋i对应的点为(2,1)，位于第一象限.
【答案】 一
2.复数z＝x-2＋(3-x)i在复平面内的对应点在第四象限，则实数x的取值范围是________.
【解析】 ∵复数z在复平面内对应的点在第四象限，
∴解得x＞3.
【答案】 (3，＋∞)
3.已知复数z＝x-2＋yi(x，y∈R)的模是2，则点(x，y)的轨迹方程是________.
【导学号：97220035】
【解析】 ∵|z|＝2，
∴＝2，
∴(x-2)2＋y2＝8.
【答案】 (x-2)2＋y2＝8
4.已知复数z＝x＋yi，且|z-2|＝，则的最大值为________.
【解析】 ∵|z-2|
＝＝，
∴(x-2)2＋y2＝3.
由图可知最大值＝＝.
【答案】
5.已知复数z满足z＋|z|＝2＋8i，求复数z.
【解】 设z＝a＋bi(a，b∈R)，
则|z|＝，
代入方程得，a＋bi＋＝2＋8i，
∴解得
∴z＝-15＋8i.
我还有这些不足：
(1)
(2)
我的课下提升方案：
(1)
(2)3.1 数系的扩充
1.理解复数的基本概念、复数的代数表示.(重点)
2.利用复数的代数形式进行分类和复数相等的充要条件的应用.(重点、难点)
3.实部、虚部的概念.(易混点)
[基础·初探]
教材整理1 复数的相关概念
阅读教材P65～P66“例1”以上部分，完成下列问题.
1.虚数单位
我们引入一个新数i，叫做虚数单位，并规定：
(1)i2＝-1；
(2)实数可以与i进行四则运算，进行四则运算时，原有的加法、乘法运算律仍然成立.
2.复数、复数集
(1)形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，全体复数所组成的集合叫做复数集，记作C.
(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)，其中a与b分别叫做复数z的实部与虚部.
判断正误：
(1)若a，b为实数，则z＝a＋bi为虚数.( )
(2)若a为实数，则z＝a一定不是虚数.( )
(3)bi是纯虚数.( )
(4)如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，那么这两个复数相等.( )
【答案】 (1)× (2)√ (3)× (4)√
教材整理2 复数的分类与复数相等
阅读教材P66，完成下列问题.
1.复数的分类
复数z＝a＋bi(a，b∈R)，当且仅当b＝0时，z是实数；当b≠0时，z叫做虚数；当a＝0且b≠0时，z＝bi叫做纯虚数.
2.复数相等的充要条件
设a，b，c，d都是实数，那么a＋bi＝c＋di a＝c且b＝d.
1.①若a∈R，则(a＋1)i是纯虚数；
②若(x2-1)＋(x2＋3x＋2)i(x∈R)是纯虚数，则x＝±1；
③两个虚数不能比较大小.
其中正确命题的序号是__________.(填序号)
【解析】 当a＝-1时，(a＋1)i＝0，故①错误；两个虚数不能比较大小，故③对；若(x2-1)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则即x＝1，故②错.
【答案】 ③
2.(2016·盐城检测)若xi-i2＝y＋2i，x，y∈R，则复数x＋yi＝________.
【解析】 由i2＝-1得xi-i2＝1＋xi，即1＋xi＝y＋2i，根据两个复数相等的充要条件得
故x＋yi＝2＋i.
【答案】 2＋i
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：
解惑：
疑问2：
解惑：
疑问3：
解惑：
[小组合作型]
复数的相关概念
(1)复数z＝4-3i的实部和虚部分别是________和________.
(2)复数z＝(m2-3m＋2)＋(m2＋m-2)i，当实数m为何值时，
①z为实数；②z为虚数；③z为纯虚数.
(3)当实数m为何值时，复数z＝＋(m2-2m)i为：①实数；②虚数；③纯虚数.
【自主解答】 (1)由复数的代数形式及实、虚部的概念知，复数z的实部和虚部分别为4和-3.
【答案】 4 -3
(2)①当m2＋m-2＝0，即m＝-2或m＝1时，z为实数.
②当m2＋m-2≠0，即m≠-2且m≠1时，z为虚数.
③当即m＝2时，z为纯虚数.
(3)①当即m＝2，
∴当m＝2时，复数z是实数.
②当m2-2m≠0，且m≠0，即m≠0且m≠2时，复数z是虚数.
③由解得m＝-3，
∴当m＝-3时，复数z是纯虚数.
判断与复数有关的命题是否正确的方法
1.举反例：判断一个命题为假命题，只要举一个反例即可，所以解答这类题型时，可按照“先特殊，后一般，先否定，后肯定”的方法进行解答.
2.化代数式：对于复数实部、虚部的确定，不但要把复数化为a＋bi的形式，更要注意这里a，b均为实数时，才能确定复数的实、虚部.
[再练一题]
1.下列命题中是假命题的是________.(填序号)
①自然数集是非负整数集；
②实数集与复数集的交集为实数集；
③实数集与虚数集的交集是{0}；
④纯虚数集与实数集的交集为空集.
【解析】 复数可分为实数和虚数两大部分，虚数中含有纯虚数，因此，实数集与虚数集没有公共元素，③是假命题.
【答案】 ③
复数的分类及应用
(1)复数z＝a2-b2＋(a＋|a|)i(a，b∈R)为纯虚数的充要条件是________.
【导学号：97220023】
(2)已知m∈R，复数z＝＋(m2＋2m-3)i，当m为何值时，
①z为实数；②z为虚数；③z为纯虚数.
【精彩点拨】 依据复数的分类列出方程(不等式)组求解.
【自主解答】 (1)要使复数z为纯虚数，则∴a>0，a＝±b.
【答案】 a>0且a＝±b
(2)①要使z为实数，需满足m2＋2m-3＝0，且有意义，即m-1≠0，解得m＝-3.
②要使z为虚数，需满足m2＋2m-3≠0，且有意义，即m-1≠0，解得m≠1且m≠-3.
③要使z为纯虚数，需满足＝0，且m2＋2m-3≠0，解得m＝0或m＝-2.
利用复数的分类求参数时，要先确定构成实部、虚部的式子有意义的条件，再结合实部与虚部的取值求解.要特别注意复数z＝a＋bi a，b∈R 为纯虚数的充要条件是a＝0且b≠0.
[再练一题]
2.若把上例(1)中的“纯虚数”改为“实数”，则结果如何？
【解】 复数z为实数的充要条件是a＋|a|＝0，即|a|＝-a，所以a≤0.
[探究共研型]
复数相等的充要条件
探究1 a＝0是复数z＝a＋bi为纯虚数的充分条件吗？
【提示】 因为当a＝0且b≠0时，z＝a＋bi才是纯虚数，所以a＝0是复数z＝a＋bi为纯虚数的必要不充分条件.
探究2 3＋2i＞3＋i正确吗？
【提示】 不正确，如果两个复数不全是实数，那么它们就不能比较大小.
(1)若(x＋y)＋yi＝(x＋1)i，求实数x，y的值；
(2)关于x的方程3x2-x-1＝(10-x-2x2)i有实根，求实数a的值.
【精彩点拨】 根据复数相等的充要条件求解.
【自主解答】 (1)由复数相等的充要条件，
得
解得
(2)设方程的实根为x＝m，
则原方程可变为3m2-m-1＝(10-m-2m2)i，
所以
解得a＝11或a＝-.
1.复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di，其中a，b，c，d∈R，则z1＝z2 a＝c且b＝d.
2.复数问题实数化是解决复数相等问题最基本的也是最重要的思想方法.转化过程主要依据复数相等的充要条件.基本思路是：
(1)等式两边整理为a＋bi(a，b∈R)的形式；
(2)由复数相等的充要条件可以得到由两个实数等式所组成的方程组；
(3)解方程组，求出相应的参数.
[再练一题]
3.已知x2＋y2-6＋(x-y-2)i＝0，求实数x，y的值.
【解】 由复数相等的条件得方程组
由②得x＝y＋2，代入①得y2＋2y-1＝0.
解得y1＝-1＋，y2＝-1-.
所以x1＝y1＋2＝1＋，x2＝y2＋2＝1-.
即或
[构建·体系]
—
1.已知复数z＝a2-(2-b)i的实部和虚部分别是2和3，则实数a，b的值分别是__________.
【解析】 由题意，得a2＝2，-(2-b)＝3，所以a＝±，b＝5.
【答案】 ±，5
2.若关于x的方程x2＋(1＋2i)x＋3m＋i＝0有实数根，则实数m＝________.
【解析】 关于x的方程x2＋(1＋2i)x＋3m＋i＝0可化为(x2＋x＋3m)＋(2x＋1)i＝0，∵方程有实数解.
∴解得m＝.
【答案】
3.已知z1＝m2-3m＋mi，z2＝4＋(5m＋4)i，其中m∈R，i为虚数单位，若z1＝z2，则m的值为________.
【解析】 由题意得m2-3m＋mi＝4＋(5m＋4)i，从而解得m＝-1.
【答案】 -1
4.(2016·河南调研)复数z1，z2满足z1＝m＋(4-m2)i，z2＝2cos
θ＋(λ＋3sin
θ)i(m，λ，θ∈R)，并且z1＝z2，则λ的取值范围为________.
【解析】 由复数相等的充要条件可得
化简得4-4cos2θ＝λ＋3sin
θ，由此可得λ＝-4cos2θ-3sin
θ＋4＝-4(1-sin2θ)-3sin
θ＋4＝4sin2θ-3sin
θ＝42-，因为sin
θ∈[-1,1]，所以4sin2
θ-3sin
θ∈.
【答案】
5.(2016·佛山高二检测)已知集合M＝{(a＋3)＋(b2-1)i,8}，集合N＝{3i，(a2-1)＋(b＋2)i}满足M∩N≠ ，求整数a，b.
【解】 依题意得(a＋3)＋(b2-1)i＝3i，
①
或8＝(a2-1)＋(b＋2)i，
②
或(a＋3)＋(b2-1)i＝(a2-1)＋(b＋2)i.
③
由①得a＝-3，b＝±2，
由②得a＝±3，b＝-2.
③中，a，b无整数解不符合题意.
综上所述得a＝-3，b＝2或a＝3，
b＝-2或a＝-3，b＝-2.
我还有这些不足：
(1)
(2)
我的课下提升方案：
(1)
(2)
