2017-2018学年高中数学（人教A版选修2-1）学业分层测评：1.1.2 四种命题 1.1.3 四种命题间的相互关系
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| 名称 | 2017-2018学年高中数学（人教A版选修2-1）学业分层测评：1.1.2 四种命题 1.1.3 四种命题间的相互关系 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 122.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2017-05-31 13:04:48 | ||
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文档简介
学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1.命题“若函数f(x)＝logax(a＞0，a≠1)在其定义域内是减函数，则loga2＜0”的逆否命题是( )
A.若loga2≥0，则函数f(x)＝logax(a＞0，a≠1)在其定义域内不是减函数
B.若loga2＜0，则函数f(x)＝logax(a＞0，a≠1)在其定义域内不是减函数
C.若loga2≥0，则函数f(x)＝logax(a＞0，a≠1)在其定义域内是增函数
D.若loga2＜0，则函数f(x)＝logax(a＞0，a≠1)在其定义域内是增函数
【解析】 命题“若p，则q”的逆否命题为“若﹁q，则﹁p”.“f(x)在其定义域内是减函数”的否定是“f(x)在其定义域内不是减函数”，不能误认为是“f(x)在其定义域内是增函数”.
【答案】 A
2.命题“已知a，b都是实数，若a＋b＞0，则a，b不全为0”的逆命题、否命题与逆否命题中，假命题的个数是( )
A.0
B.1 C.2 D.3
【解析】 逆命题“已知a，b都是实数，若a，b不全为0，则a＋b＞0”为假命题，其否命题与逆命题等价，所以否命题为假命题.逆否命题“已知a，b都是实数，若a，b全为0，则a＋b≤0”为真命题，故选C.【答案】 C
3.已知命题“若ab≤0，则a≤0或b≤0”，则下列结论正确的是( )
A.原命题为真命题，否命题：“若ab＞0，则a＞0或b＞0”
B.原命题为真命题，否命题：“若ab＞0，则a＞0且b＞0”
C.原命题为假命题，否命题：“若ab＞0，则a＞0或b＞0”
D.原命题为假命题，否命题：“若ab＞0，则a＞0且b＞0”
【解析】 逆否命题“若a＞0且b＞0，则ab＞0”，显然为真命题，又原命题与逆否命题等价，故原命题为真命题.否命题为“若ab＞0，则a＞0且b＞0”，故选B.
【答案】 B
4.已知a，b，c∈R，命题“若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2≥3”的否命题是( )
A.若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2＜3
B.若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2＜3
C.若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2≥3
D.若a2＋b2＋c2≥3，则a＋b＋c＝3
【答案】 A
5.命题“若a、b都是奇数，则ab必为奇数”的等价命题是( )
A.如果ab是奇数，则a，b都是奇数
B.如果ab不是奇数，则a，b不都是奇数
C.如果a，b都是奇数，则ab不是奇数
D.如果a，b不都是奇数，则ab不是奇数
【解析】 等价命题即为逆否命题，故选B.
【答案】 B二、填空题
6.命题“若x>2，则x2>4”的逆命题是____________.
【解析】 原命题的逆命题为“若x2>4，则x>2”.
【答案】 若x2>4，则x>27.在空间中，给出下列两个命题：①若四点不共面，则这四点中任何三点都不共线；②若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线.其中逆命题为真命题的是________.
【解析】 ①的逆命题：若空间四点中任何三点都不共线，则这四点不共面，是假命题；②的逆命题：若两条直线是异面直线，则这两条直线没有公共点，是真命题.
【答案】 ②
8.命题“若x≠1，则x2－1≠0”的真假性为________.
【解析】 命题的条件和结论都是否定形式，可以化为判断其逆否命题的真假，其逆否命题为“若x2－1＝0，则x＝1”，因为x2－1＝0时，x＝±1，所以该命题为假命题，从而原命题是假命题.
【答案】 假命题
三、解答题
9.写出命题“已知a，b∈R，若a2>b2，则a>b”的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假.
【解】 逆命题：已知a，b∈R，若a>b，则a2>b2；
否命题：已知a，b∈R，若a2≤b2，则a≤b；
逆否命题：已知a，b∈R，若a≤b，则a2≤b2.
原命题是假命题.逆否命题也是假命题.
逆命题是假命题.
否命题也是假命题.
10.已知命题p：“若ac≥0，则二次方程ax2＋bx＋c＝0没有实根”.
(1)写出命题p的否命题；
(2)判断命题p的否命题的真假，并证明你的结论.
【解】 (1)命题p的否命题为“若ac＜0，则二次方程ax2＋bx＋c＝0有实根”.(2)命题p的否命题是真命题.
证明如下：∵ac＜0，
∴－ac＞0 Δ＝b2－4ac＞0 二次方程ax2＋bx＋c＝0有实根.
∴该命题是真命题.
[能力提升]
1.与命题“若a·b＝0，则a⊥b”等价的命题是( )
A.若a·b≠0，则a不垂直于bB.若a⊥b，则a·b＝0
C.若a不垂直于b，则a·b≠0
D.若a·b≠0，则a⊥b
【解析】 原命题与其逆否命题为等价命题.
【答案】 C
2.命题“若x＋y是偶数，则x，y都是偶数”的逆否命题是( )A.若x，y都不是偶数，则x＋y不是偶数
B.若x，y不都是偶数，则x＋y是偶数
C.若x，y不都是偶数，则x＋y不是偶数
D.若x，y都不是偶数，则x＋y是偶数
【解析】 “x，y都是偶数”的否定为“x，y不都是偶数”，“x＋y是偶数”的否定是“x＋y不是偶数”.故选C.
【答案】 C
3.下列命题中________为真命题(填上所有正确命题的序号).
①若A∩B＝A，则AB；②“若x＝y＝0，则x2＋y2＝0”的逆命题；③“全等三角形是相似三角形”的逆命题；④“圆内接四边形对角互补”的逆否命题.
【解析】 ①错误，若A∩B＝A，则A B；②正确，它的逆命题为“若x2＋y2＝0，则x＝y＝0”为真命题；③错误，它的逆命题为“相似三角形是全等三角形”为假命题；④正确，因为原命题为真命题，故逆否命题也为真命题.
【答案】 ②④
4.写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，然后判断真假.
(1)等高的两个三角形是全等三角形；
(2)弦的垂直平分线平分弦所对的弧.
【解】 (1)逆命题：若两个三角形全等，则这两个三角形等高，是真命题；
否命题：若两个三角形不等高，则这两个三角形不全等，是真命题；
逆否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形不等高，是假命题.
(2)逆命题：若一条直线平分弦所对的弧，则这条直线是弦的垂直平分线，是假命题；
否命题：若一条直线不是弦的垂直平分线，则这条直线不平分弦所对的弧，是假命题；
逆否命题：若一条直线不平分弦所对的弧，则这条直线不是弦的垂直平分线，是真命题.
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1.命题“若函数f(x)＝logax(a＞0，a≠1)在其定义域内是减函数，则loga2＜0”的逆否命题是( )
A.若loga2≥0，则函数f(x)＝logax(a＞0，a≠1)在其定义域内不是减函数
B.若loga2＜0，则函数f(x)＝logax(a＞0，a≠1)在其定义域内不是减函数
C.若loga2≥0，则函数f(x)＝logax(a＞0，a≠1)在其定义域内是增函数
D.若loga2＜0，则函数f(x)＝logax(a＞0，a≠1)在其定义域内是增函数
【解析】 命题“若p，则q”的逆否命题为“若﹁q，则﹁p”.“f(x)在其定义域内是减函数”的否定是“f(x)在其定义域内不是减函数”，不能误认为是“f(x)在其定义域内是增函数”.
【答案】 A
2.命题“已知a，b都是实数，若a＋b＞0，则a，b不全为0”的逆命题、否命题与逆否命题中，假命题的个数是( )
A.0
B.1 C.2 D.3
【解析】 逆命题“已知a，b都是实数，若a，b不全为0，则a＋b＞0”为假命题，其否命题与逆命题等价，所以否命题为假命题.逆否命题“已知a，b都是实数，若a，b全为0，则a＋b≤0”为真命题，故选C.【答案】 C
3.已知命题“若ab≤0，则a≤0或b≤0”，则下列结论正确的是( )
A.原命题为真命题，否命题：“若ab＞0，则a＞0或b＞0”
B.原命题为真命题，否命题：“若ab＞0，则a＞0且b＞0”
C.原命题为假命题，否命题：“若ab＞0，则a＞0或b＞0”
D.原命题为假命题，否命题：“若ab＞0，则a＞0且b＞0”
【解析】 逆否命题“若a＞0且b＞0，则ab＞0”，显然为真命题，又原命题与逆否命题等价，故原命题为真命题.否命题为“若ab＞0，则a＞0且b＞0”，故选B.
【答案】 B
4.已知a，b，c∈R，命题“若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2≥3”的否命题是( )
A.若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2＜3
B.若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2＜3
C.若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2≥3
D.若a2＋b2＋c2≥3，则a＋b＋c＝3
【答案】 A
5.命题“若a、b都是奇数，则ab必为奇数”的等价命题是( )
A.如果ab是奇数，则a，b都是奇数
B.如果ab不是奇数，则a，b不都是奇数
C.如果a，b都是奇数，则ab不是奇数
D.如果a，b不都是奇数，则ab不是奇数
【解析】 等价命题即为逆否命题，故选B.
【答案】 B二、填空题
6.命题“若x>2，则x2>4”的逆命题是____________.
【解析】 原命题的逆命题为“若x2>4，则x>2”.
【答案】 若x2>4，则x>27.在空间中，给出下列两个命题：①若四点不共面，则这四点中任何三点都不共线；②若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线.其中逆命题为真命题的是________.
【解析】 ①的逆命题：若空间四点中任何三点都不共线，则这四点不共面，是假命题；②的逆命题：若两条直线是异面直线，则这两条直线没有公共点，是真命题.
【答案】 ②
8.命题“若x≠1，则x2－1≠0”的真假性为________.
【解析】 命题的条件和结论都是否定形式，可以化为判断其逆否命题的真假，其逆否命题为“若x2－1＝0，则x＝1”，因为x2－1＝0时，x＝±1，所以该命题为假命题，从而原命题是假命题.
【答案】 假命题
三、解答题
9.写出命题“已知a，b∈R，若a2>b2，则a>b”的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假.
【解】 逆命题：已知a，b∈R，若a>b，则a2>b2；
否命题：已知a，b∈R，若a2≤b2，则a≤b；
逆否命题：已知a，b∈R，若a≤b，则a2≤b2.
原命题是假命题.逆否命题也是假命题.
逆命题是假命题.
否命题也是假命题.
10.已知命题p：“若ac≥0，则二次方程ax2＋bx＋c＝0没有实根”.
(1)写出命题p的否命题；
(2)判断命题p的否命题的真假，并证明你的结论.
【解】 (1)命题p的否命题为“若ac＜0，则二次方程ax2＋bx＋c＝0有实根”.(2)命题p的否命题是真命题.
证明如下：∵ac＜0，
∴－ac＞0 Δ＝b2－4ac＞0 二次方程ax2＋bx＋c＝0有实根.
∴该命题是真命题.
[能力提升]
1.与命题“若a·b＝0，则a⊥b”等价的命题是( )
A.若a·b≠0，则a不垂直于bB.若a⊥b，则a·b＝0
C.若a不垂直于b，则a·b≠0
D.若a·b≠0，则a⊥b
【解析】 原命题与其逆否命题为等价命题.
【答案】 C
2.命题“若x＋y是偶数，则x，y都是偶数”的逆否命题是( )A.若x，y都不是偶数，则x＋y不是偶数
B.若x，y不都是偶数，则x＋y是偶数
C.若x，y不都是偶数，则x＋y不是偶数
D.若x，y都不是偶数，则x＋y是偶数
【解析】 “x，y都是偶数”的否定为“x，y不都是偶数”，“x＋y是偶数”的否定是“x＋y不是偶数”.故选C.
【答案】 C
3.下列命题中________为真命题(填上所有正确命题的序号).
①若A∩B＝A，则AB；②“若x＝y＝0，则x2＋y2＝0”的逆命题；③“全等三角形是相似三角形”的逆命题；④“圆内接四边形对角互补”的逆否命题.
【解析】 ①错误，若A∩B＝A，则A B；②正确，它的逆命题为“若x2＋y2＝0，则x＝y＝0”为真命题；③错误，它的逆命题为“相似三角形是全等三角形”为假命题；④正确，因为原命题为真命题，故逆否命题也为真命题.
【答案】 ②④
4.写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，然后判断真假.
(1)等高的两个三角形是全等三角形；
(2)弦的垂直平分线平分弦所对的弧.
【解】 (1)逆命题：若两个三角形全等，则这两个三角形等高，是真命题；
否命题：若两个三角形不等高，则这两个三角形不全等，是真命题；
逆否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形不等高，是假命题.
(2)逆命题：若一条直线平分弦所对的弧，则这条直线是弦的垂直平分线，是假命题；
否命题：若一条直线不是弦的垂直平分线，则这条直线不平分弦所对的弧，是假命题；
逆否命题：若一条直线不平分弦所对的弧，则这条直线不是弦的垂直平分线，是真命题.