2017-2018学年高中数学（人教A版选修2-1）学业分层测评：1.4　全称量词与存在量词

学业分层测评(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1.下列命题为特称命题的是(　　)
A.奇函数的图象关于原点对称
B.正四棱柱都是平行六面体
C.棱锥仅有一个底面
D.存在大于等于3的实数x，使x2－2x－3≥0
【解析】　A，B，C中命题都省略了全称量词“所有”，所以A，B，C都是全称命题；D中命题含有存在量词“存在”，所以D是特称命题，故选D.
【答案】　D
2.下列命题为真命题的是(　　)
A. x∈R，cos
x<2
B. x∈Z，log2(3x－1)<0
C. x>0,3x>3
D. x∈Q，方程x－2＝0有解
【解析】　A中，由于函数y＝cosx的最大值是1，又1<2，所以A是真命题；B中，log2
(3x－1)<0 0<3x－1<1 【答案】　A
3.命题“ x∈R，x2≠x”的否定为(　　)
A. x R，x2≠x
B. x∈R，x2＝xC. x R，x2≠x
D. x∈R，x2＝x
【解析】　全称命题的否定是特称命题，其否定为“ x∈R，x2＝x”，故选D.
【答案】　D
4.已知a>0，函数f(x)＝ax2＋bx＋c，若x0满足关于x的方程2ax＋b＝0，则下列选项的命题中为假命题的是(　　)
A. x∈R，f(x)≤f(x0)
B. x∈R，f(x)≥f(x0)
C. x∈R，f(x)≤f(x0)
D. x∈R，f(x)≥f(x0)
【解析】　f(x)＝ax2＋bx＋c＝a＋(a>0)，
∵2ax0＋b＝0，∴x0＝－，
当x＝x0时，函数f(x)取得最小值，
∴ x∈R，f(x)≥f(x0)，从而A，B，D为真命题，C为假命题.
【答案】　C
5.对下列命题的否定说法错误的是(　　)
A.p：能被2整除的数是偶数；﹁p：存在一个能被2整除的数不是偶数
B.p：有些矩形是正方形；﹁p：所有的矩形都不是正方形
C.p：有的三角形为正三角形；﹁p：所有的三角形不都是正三角形
D.p： n∈N,2n≤100；﹁p： n∈N,2n＞100
【答案】　C
二、填空题
6.命题“偶函数的图象关于y轴对称”的否定是____________________.
【解析】　题中的命题是全称命题，省略了全称量词，加上全称量词后该命题可以叙述为：所有偶函数的图象关于y轴对称.将命题中的全称量词“所有”改为存在量词“有些”，结论“关于y轴对称”改为“关于y轴不对称”，所以该命题的否定是“有些偶函数的图象关于y轴不对称”.
【答案】　有些偶函数的图象关于y轴不对称
7.已知命题：“ x0∈[1,2]，使x＋2x0＋a≥0”为真命题，则实数a的取值范围是__________.
【解析】　当x∈[1,2]时，x2＋2x＝(x＋1)2－1是增函数，所以3≤x2＋2x
≤8，由题意有a＋8≥0，
∴a≥－8.
【答案】　[－8，＋∞)
8.下列命题：
①存在x<0，使|x|>x；②对于一切x<0，都有|x|>x；
③已知an＝2n，bn＝3n，对于任意n∈N
，都有an≠bn；
④已知A＝{a|a＝2n}，B＝{b|b＝3n}，对于任意n∈N
，都有A∩B＝ .
其中，所有正确命题的序号为________.
【解析】　命题①②显然为真命题；③由于an－bn＝2n－3n＝－n<0，对于 n∈N
，都有an【答案】　①②③
三、解答题
9.写出下列命题的否定：(1)p：一切分数都是有理数；
(2)q：有些三角形是锐角三角形；
(3)r： x0∈R，x＋x0＝x0＋2；
(4)s： x∈R,2x＋4≥0.
【解】　(1)﹁p：有些分数不是有理数.
(2)﹁q：所有的三角形都不是锐角三角形.
(3)﹁r： x∈R，x2＋x≠x＋2.
(4)﹁s： x0∈R,2x0＋4＜0.
10.已知命题p：“至少存在一个实数x0∈[1,2]，使不等式x2＋2ax＋2－a>0成立”为真，试求参数a的取值范围.
【解】　法一：由题意知：x2＋2ax＋2－a>0在[1,2]上有解，令f(x)＝x2＋2ax＋2－a，则只需f(1)>0或f(2)>0，即1＋2a＋2－a>0或4＋4a＋2－a>0.
整理得a>－3或a>－2.
即a>－3.故参数a的取值范围为(－3，＋∞).
法二：﹁p： x∈[1,2]，x2＋2ax＋2－a>0无解，
令f(x)＝x2＋2ax＋2－a，
则即
解得a≤－3.
故命题p中，a>－3.
即参数a的取值范围为(－3，＋∞).
[能力提升]
1.已知命题p： x∈R，x＋≥2；命题q： x∈，使sin
x＋cos
x＝，则下列命题中为真命题的是(　　)
A.(﹁p)∧q
B.p∧(﹁q)
C.(﹁p)∧(﹁q)
D.p∧q
【解析】　在命题p中，当x<0时，x＋<0，所以命题p为假命题，所以﹁p为真命题；在命题q中，sin
x＋cos
x＝sin，当x＝时，sin
x＋cos
x＝，所以q为真命题，故选A.
【答案】　A
2.已知命题p： x∈R，(m＋1)(x2＋1)≤0，命题q： x∈R，x2＋mx＋1>0恒成立.若p∧q为假命题，则实数m的取值范围为(　　)
A.m≥2
B.m≤－2或m>－1
C.m≤－2或m≥2
D.－1【解析】　由命题p： x∈R，(m＋1)(x2＋1)≤0可得m≤－1，由命题q： x∈R，x2＋mx＋1>0恒成立，可得－2个为假命题，所以m≤－2或m>－1.
【答案】　B
3.已知函数f(x)＝x2＋m，g(x)＝，若对任意x1∈[－1,3]，存在x2∈[0,2]，使f(x1)≥g(x2)，则实数m的取值范围是________.
【解析】　因为对任意x1∈[－1,3]，f(x1)∈[m,9＋m]，即f(x)min＝m.存在x2∈[0,2]，使f(x1)≥g(x2)成立，只要满足g(x)min≤m即可，而g(x)是单调递减函数，故g(x)min＝g(2)＝＝，得m≥.
【答案】　
4.已知a>且a≠1，条件p：函数f(x)＝log(2a－1)x在其定义域上是减函数；条件q：函数g(x)＝的定义域为R，如果p∨q为真，试求a的取值范围.
【解】　若p为真，则0<2a－1<1，得若q为真，则x＋|x－a|－2≥0对 x∈R恒成立.
记f(x)＝x＋|x－a|－2，
则f(x)＝
所以f(x)的最小值为a－2，即q为真时，a－2≥0，即a≥2.
于是p∨q为真时，得