江西省赣州市厚德外国语学校2016-2017学年高二下学期第二次（5月）月考数学（理）试题

赣州市厚德外国语学校高中部2016-2017学年度第二学期
第二次月考
考试
高二
数学（理）
试题卷
考试时间：
2017
年
5
月
注：全卷总分
150
分，考试时间
120
分钟，请按要求作答。
选择题。本题共12个小题，每小题5分，共60分。在每题列出的四个选项中，
只有一项是最符合题目要求的。
1．已知i为虚数单位，（2+i）z=1+2i，则z的共轭复数=（）
A．
+i
B．
﹣i
C．
+i
D．
﹣i
用数学归纳法证明某命题时，左式为+cosα+cos3α+…+cos（2n﹣1）α（α≠kπ，k∈Z，n∈N
）
在验证n=1时，左边所得的代数式为（）
A．
B．
+cosα
C．
+cosα+cos3α
D．
+cosα+cos3α+cos5α
3．极坐标方程（ρ﹣1）（θ﹣π）=0（ρ≥0）表示的图形是（）
A．
两个圆
B．
两条直线
C．
一个圆和一条射线
D．
一条直线和一条射线
4、用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于
60o
”时，假设正确的是
A.假设三内角都不大于
60o
B.假设三内角都大于
60o
C.假设三内角至多有一个大于
60o
D.假设三内角至多有两个大于
60o
5．不等式|2x﹣1|+|x+1|＞2的解集为（）
A．
（﹣∞，0）∪（，+∞）B．（，+∞）
C．（﹣∞，﹣1）∪（，+∞）
D．
（﹣∞，0）
6．由曲线y=，直线y=x﹣2及y轴所围成的图形的面积为（）
A．
B．
4
C．
D．
6
7．从0，1，2，3，4，5共6个数中任取三个组成的无重复数字的三位数，其中能被5整除的有（）
A．
40个
B．
36个
C．
28个
D．
60个
8．由抛物线y2=4x与直线y=x﹣3围成的平面图形的面积为（）
A．
B．
C．
64
D．
32
9．设，那么的值为（）
A．
﹣
B．
﹣
C．
﹣
D．
﹣1
10．已知函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f（x）=2xf′（1）+lnx，则f′（1）=（）
A．
﹣e
B．
﹣1
C．
1
D．
e
11．将号码分别为1、2、…、9的九个小
( http: / / www.21cnjy.com )球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全相同．甲从袋中摸出一个球，其号码为a，放回后，乙从此袋中再摸出一个球，其号码为b．则使不等式a﹣2b+10＞0成立的事件发生的概率等于（）
A．
B．
C．
D．
12．下列命题中①若f′（x0）=0，则函数y=f（x）在x=x0取得极值；
②直线5x﹣2y+1=0与函数f（x）=sin（2x+）的图象不相切；
③若z∈C（C为复数集），且|z+2﹣2i|=1，则|z﹣2﹣2i|的最小值是3；
④定积分dx=4π．
正确的有（）
A．
①④
B．
③④C．②④D．②③④
二、填空题：本大题共有4小题，每小题5分，共20分，答案填写在答题卷上.
13．复数在复平面中的第
象限．
14．有5名数学实习老师，现将他们分配到2
( http: / / www.21cnjy.com )014-2015学年高二年级的三个班实习，每班至少1名，最多2名，则不同的分配方案有
种（用数字作答）．
15．，由此猜想出第n（n∈N+）个数是．
16．已知y=f（x）是奇函数，当x∈（0
( http: / / www.21cnjy.com )，2）时，f（x）=lnx﹣ax（a＞），当x∈（﹣2，0）时，f（x）的最小值为1，则a的值等于
．
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（10分）在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．已知曲线C1：
（t为参数），C2：（θ为参数）．
（Ⅰ）化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；
（Ⅱ）若C1上的点P对应的参数为t=，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C3：ρ（cosθ﹣2sinθ）=7距离的最小值．
18．（12分）已知函数f（x）=x3+x﹣16．
（1）求曲线y=f（x）在点（2，6）处的切线方程；
（2）直线l为曲线y=f（x）的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标．
19．（12分）给出四个等
( http: / / www.21cnjy.com )式：1=1；1﹣4=﹣（1+2）；1﹣4+9=1+2+3；1﹣4+9﹣16=﹣（1+2+3+4）…．猜测第n（n∈N
）个等式，并用数学归纳法证明．
20．（12分）（1）已知等差数列{an}，（n∈N
），求证：{bn}仍为等差数列；
（2）已知等比数列{cn}，cn＞0（n∈N
）），类比上述性质，写出一个真命题并加以证明．
21．（12分）已知函数f（x）=|2x﹣1|+|2x+a|，g（x）=x+3．
（Ⅰ）当a=﹣2时，求不等式f（x）＜g（x）的解集；
（Ⅱ）设a＞﹣1，且当时，f（x）≤g（x），求a的取值范围．
22．（12分）已知函数f（x）=x2﹣alnx+（a∈R）
（Ⅰ）求函数f（x）单调区间；
（Ⅱ）若a=﹣1，求证：当x＞1时，f（x）＜x3．
第二次月考答案
选择题答案：1-5
BBCBA
6-10
CBAAB
11-12
DD
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每一小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，答案填写在答题卷上.
1．（5分）已知i为虚数单位，（2+i）z=1+2i，则z的共轭复数=（）
A．
+i
B．
﹣i
C．
+i
D．
﹣i
解答：
解：i为虚数单位，（2+i）z=1+2i，
可得z===+i．z的共轭复数=﹣i．故选：B．
2．（5分）用数学归纳法证明某命题时，
( http: / / www.21cnjy.com )左式为+cosα+cos3α+…+cos（2n﹣1）α（α≠kπ，k∈Z，n∈N
）在验证n=1时，左边所得的代数式为（）
A．
B．
+cosα
C．
+cosα+cos3α
D．
+cosα+cos3α+cos5α
分析：
在验证n=1时，令左边n=1可得：所得的代数式为：．
解答：
解：由于左式为+cosα+cos3α+…+cos（2n﹣1）α（α≠kπ，k∈Z，n∈N
），
因此在验证n=1时，左边所得的代数式为：．故选：B．
3．（5分）极坐标方程（ρ﹣1）（θ﹣π）=0（ρ≥0）表示的图形是（）
A．
两个圆
B．
两条直线
C．
一个圆和一条射线
D．
一条直线和一条射线
由题中条件：“（ρ﹣1）（θ﹣π）=0”得到两个因式分别等于零，结合极坐标的意义即可得到．
解答：
解：方程（ρ﹣1）（θ﹣π）=0 ρ=1或θ=π，ρ=1是半径为1的圆，
θ=π是一条射线．故选C．
4．B
5．（5分）不等式|2x﹣1|+|x+1|＞2的解集为（）
A．
（﹣∞，0）∪（，+∞）B．（，+∞）C．
（﹣∞，﹣1）∪（，+∞）
D．（﹣∞，0）
分析：
通过对自变量x范围的讨论，去掉绝对值符号，即可得出不等式|2x﹣1|+|x+1|＞2的解集．
解答：
解：①当x＞时，|2x﹣1|+|x+1|=2x﹣1+（x+1）=3x，∴3x＞2，解得x＞，又x＞，∴x＞；
②当﹣1≤x≤时，原不等式可化为﹣x+2＞2，解得x＜0，又﹣1≤x≤，∴﹣1≤x＜0；
③当x＜﹣1时，原不等式可化为﹣3x＞2，解得x＜﹣，又x＜﹣1，∴x＜﹣1．
综上可知：原不等式的解集为（﹣∞，0）∪（，+∞）．故选：A．
6．（5分）由曲线y=，直线y=x﹣2及y轴所围成的图形的面积为（）
A．
B．
4
C．
D．
6
分析：
利用定积分知识求解该区域面积是解决本题的关键，要确定出曲线y=，直线y=x﹣2的交点，确定出积分区间和被积函数，利用导数和积分的关系完成本题的求解．
解答：
解：联立方程得到两曲线的交点（4，2），
因此曲线y=，直线y=x﹣2及y轴所围成的图形的面积为：
S=．故选C．
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点评：
本题考查曲边图形面积的计算
( http: / / www.21cnjy.com )问题，考查学生分析问题解决问题的能力和意识，考查学生的转化与化归能力和运算能力，考查学生对定积分与导数的联系的认识，求定积分关键要找准被积函数的原函数，属于定积分的简单应用问题．
7．（5分）从0，1，2，3，4，
( http: / / www.21cnjy.com )5共6个数中任取三个组成的无重复数字的三位数，其中能被5整除的有（）
A．
40个
B．
36个
C．
28个
D．
60个
分析：
由题意知能被5整除的三位数末位必为0
( http: / / www.21cnjy.com )或5．当末位是0时，没有问题，但当末位是5时，注意0不能放在第一位，所以要分类解决，①末位为0的三位数其首次两位从1～5的5个数中任取2个排列②末位为5的三位数，首位从非0，5的4个数中选1个，再挑十位，相加得到结果．
解答：
解：其中能被5整除的三位数末位必为0或5．
①末位为0的三位数其首次两位从1～5的5个数中任取2个排列而成方法数为A52=20，
②末位为5的三位数，首位从非0，5的4个数中选1个，有C41种挑法，再挑十位，还有C41种挑法，
∴合要求的数有C41 C41=16种．
∴共有20+16=36个合要求的数，
故选：B．点评：
本题考查
( http: / / www.21cnjy.com )排列组合、计数原理，是一个综合题，本题主要抓住能被5整除的三位数的特征（末位数为0，5），还要注意分类讨论及排数字时对首位非0的限制．
8．（5分）由抛物线y2=4x与直线y=x﹣3围成的平面图形的面积为（）
A．
B．
C．
64
D．
32
分析：
由题设条件，需要
( http: / / www.21cnjy.com )先求出抛物线y2=2x与直线y=4﹣x的交点坐标，积分时可以以x作为积分变量，也可以y作为积分变量，故本题法一以x为积分变量，法2以y作为积分变量分别计算出两曲线所围成的图形的面
解答：
解：联立方程组，得，y1=﹣2，y2=6，
∵抛物线y2=4x与直线y=x﹣3所围成的平面图形的面积，
∴S==（y2+3y﹣）|=；故选：A．
点评：
本题考查定积分，解答本题关键是
( http: / / www.21cnjy.com )确定积分变量与积分区间，有些类型的题积分时选择不同的积分变量，故求解时
要注意恰当地选择积分变量达到简单解题的目的．
9．（5分）设，那么的值为（）
A．
﹣
B．
﹣
C．
﹣
D．
﹣1
分析：
令x=1，可得
a0+a1+a
( http: / / www.21cnjy.com )2+a3+a4+a5=1，再令x=﹣1可得
a0﹣a1+a2﹣a3+a4﹣a5=35．解得
a0+a2+a4
和
a1+a3
的值，即可求得要求式子的值．
解答：
解：令x=1，可得
a0+a1+a2+a3+a4+a5=1，再令x=﹣1可得
a0﹣a1+a2﹣a3+a4﹣a5=35．
两式相加除以2求得
a0+a2+a4=122，两式相减除以2可得
a1+a3=﹣121，
故=，故选A．B
10．（5分）已知函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f（x）=2xf′（1）+lnx，则f′（1）=（）
A．
﹣e
B．
﹣1
C．
1
D．
e
分析
已知函数f（x）的导函数为f′（x），利用求导公式对f（x）进行求导，再把x=1代入，即可求解；
解答：
解：∵函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f（x）=2xf′（1）+ln
x，（x＞0）
∴f′（x）=2f′（1）+，把x=1代入f′（x）可得f′（1）=2f′（1）+1，解得f′（1）=﹣1，故选B；
点评：
此题主要考查导数的加法与减法的法则，解决此题的关键是对f（x）进行正确求导，把f′（1）看成一个常数，就比较简单了；
11．（5分）将号码分别为1、2、
( http: / / www.21cnjy.com )…、9的九个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全相同．甲从袋中摸出一个球，其号码为a，放回后，乙从此袋中再摸出一个球，其号码为b．则使不等式a﹣2b+10＞0成立的事件发生的概率等于（）
A．
B．
C．
D．
分析：
本题是一个等可能事件的概率，试验
( http: / / www.21cnjy.com )发生包含的事件是两次分别从袋中摸球，共有9×9种结果，满足条件的事件是使不等式a﹣2b+10＞0成立的，即2b﹣a＜10，列举出当当b=1，2，3，4，5，6，7，8，9时的所有的结果，得到概率．
解答：
解：由题意知本题是一个等可能事件的概率，
试验发生包含的事件是两次分别从袋中摸球，共有9×9=81种结果，
满足条件的事件是使不等式a﹣2b+10＞0成立的，即2b﹣a＜10
当b=1，2，3，4，5时，a有9种结果，共有45种结果，
当b=6时，a有7种结果当b=7时，a有5种结果
当b=8时，a有3种结果当b=9时，a有1种结果
∴共有45+7+5+3+1=61种结果∴所求的概率是
故选D．
点评：
本题考查等可能事件的概率，在
( http: / / www.21cnjy.com )解题的过程中注意列举出所有的满足条件的事件数时，因为包含的情况比较多，又是一个数字问题，注意做到不重不漏．
12．（5分）下列命题中
①若f′（x0）=0，则函数y=f（x）在x=x0取得极值；
②直线5x﹣2y+1=0与函数f（x）=sin（2x+）的图象不相切；
③若z∈C（C为复数集），且|z+2﹣2i|=1，则|z﹣2﹣2i|的最小值是3；
④定积分dx=4π．
正确的有（）
A．
①④
B．
③④
C．
②④
D．
②③④
考点：
命题的真假判断与应用．
专题：
综合题；推理和证明．
分析：
①若f′（x0）=0，且在x=x0的左右附近导数的符号改变，则函数y=f（x）在x=x0取得极值判断即可；
②求出导数f′（x），由切线的斜率等于f′（x0），根据三角函数的值域加以判断即可；
③|z+2﹣2i|=1表示圆，|z﹣2﹣2i|的几何意义两点的距离，通过连接两定点，由原定特性即可求出最小值；
④令y=，则x2+y2=16（y≥0），点（x，y）的轨迹表示半圆，则该积分表示该圆面积的．
解答：
解：①若f′（x0）=0，且在x=x0的左右附近导数的符号改变，则函数y=f（x）在x=x0取得极值，故不正确；
②若直线与函数的图象相切，则f′（x0）=2.5，即2cos（2x0+）=2.5，显然x0不存在，故②正确；
③|z+2﹣2i|=1的几何意义是以A
( http: / / www.21cnjy.com )（﹣2，2）为圆心，半径为1的圆，|z﹣2﹣2i|的几何意义是圆上一点到点B（2，2）的距离，连接AB并延长，显然最小值为AB﹣1=4﹣1=3，故③正确；
④令y=，则x2+y2=16（y≥0），点（x，y）的轨迹表示半圆，定积分dx表示以原点为圆心，4为半径的圆面积的，故定积分dx=×π×42=4π，故④正确．
故选：D
点评：
本题以命题的真假为载体考查函数的极值概念，导数的应用于求切线方程，以及复数的几何意义，定积分的几何意义及求法，是一道中档题．
二、填空题：本大题共有4小题，每小题5分，共20分，答案填写在答题卷上.
13．（5分）复数在复平面中的第四象限．
分析：
化简复数为a+bi的形式，然后判断即可．
解答：
解：复数===．
即复数对应点为：（）在第四象限．故答案为：四．
点评：
本题考查复数的代数形式混合运算，复数的几何意义，考查计算能力．
14．（5分）有5名数学实习老
( http: / / www.21cnjy.com )师，现将他们分配到2014-2015学年高二年级的三个班实习，每班至少1名，最多2名，则不同的分配方案有90种（用数字作答）．
分析：
根据题意，先把5名实习老师分成
( http: / / www.21cnjy.com )三组，一组1人，另两组都是2人，计算其分组的方法种数，进而将三个组分到3个班，即进行全排列，计算可得答案．
解答：
解：把5名实习老师分成三组，一组1人，另两组都是2人，有=15种方法，
再将3组分到3个班，共有 A33=90种不同的分配方案，故答案为：90．
点评：
本题考查排列、组合的综合运用，注意此类题目一般顺序为先组合、再排列．
15．（5分），由此猜想出第n（n∈N+）个数是．
考点：
归纳推理．专题：
综合题；推理和证明．
分析：
根号下由两个数组成，前一个数是首项为2，公差为1的等差数列，后一个数是分数，通项是，从而可猜想第n个数．
解答：
解：∵，
∴将根号下的数分成两个数的和，2，3，4…的通项是n+1；，，…的通项是
∴由此猜想第n个数为．故答案为：．
16．（5分）已知y=f（x）是奇函数，当
( http: / / www.21cnjy.com )x∈（0，2）时，f（x）=lnx﹣ax（a＞），当x∈（﹣2，0）时，f（x）的最小值为1，则a的值等于1．
分析：
根据函数的奇偶性，确定f（x）在（0，2）上的最大值为﹣1，求导函数，确定函数的单调性，求出最值，即可求得a的值．
解答：
解：∵f（x）是奇函数，x∈（﹣2，0）时，f（x）的最小值为1，
∴f（x）在（0，2）上的最大值为﹣1，
当x∈（0，2）时，f′（x）=﹣a，令f′（x）=0得x=，又a＞，∴0＜＜2，
令f′（x）＞0，则x＜，∴f（x）在（0，）上递增；令f′（x）＜0，则x＞，
∴f（x）在（，2）上递减，∴f（x）max=f（）=ln﹣a =﹣1，∴ln=0，得a=1．故答案为：1．
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（10分）在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．已知曲线C1：
（t为参数），C2：（θ为参数）．
（Ⅰ）化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；
（Ⅱ）若C1上的点P对应的参数为t=，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C3：ρ（cosθ﹣2sinθ）=7距离的最小值．
分析：
（Ⅰ）曲线C1：
（t为参数），利用sin2t+cos2t=1即可化为普通方程；C2：（θ为参数），利用cos2θ+sin2θ=1化为普通方程．
（Ⅱ）当t=时，P（﹣4，4），Q（8cosθ，3sinθ），故M，直线C3：ρ（cosθ﹣2sinθ）=7化为x﹣2y=7，利用点到直线的距离公式与三角函数的单调性即可得出．
解答：
解：（Ⅰ）曲线C1：
（t为参数），化为（x+4）2+（y﹣3）2=1，
∴C1为圆心是（﹣4，3），半径是1的圆．
C2：（θ为参数），化为．
C2为中心是坐标原点，焦点在x轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆．
（Ⅱ）当t=时，P（﹣4，4），Q（8cosθ，3sinθ），故M，
直线C3：ρ（cosθ﹣2sinθ）=7化为x﹣2y=7，
M到C3的距离d==|5sin（θ+φ）+13|，
从而当cossinθ=，sinθ=﹣时，d取得最小值．
18．（12分）已知函数f（x）=x3+x﹣16．
（1）求曲线y=f（x）在点（2，6）处的切线方程；
（2）直线l为曲线y=f（x）的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标．
分析：
（1）求出原函数的导函数，得到函数在x=2时的导数，即切线的斜率，然后由直线方程的点斜式得答案；
（2）设出切点坐标，求出函数过切点的切线方程，由切线过原点求得切点横坐标，则直线方程与切点坐标可求．
解答：
解：（1）由f（x）=x3+x﹣16，得
f′（x）=3x2+1，∴f′（2）=3×22+1=13，
∴曲线y=f（x）在点（2，6）处的切线方程为y﹣6=13（x﹣2），即13x﹣y﹣20=0；
（2）设切点为（），，
∴切线方程为，
∵切线经过原点，
∴，
∴，x0=﹣2．则f′（﹣2）=13，
∴所求的切线方程为y=13x；切点为（﹣2，﹣26）．
19．（12分）给出四个等式
( http: / / www.21cnjy.com )：1=1；1﹣4=﹣（1+2）；1﹣4+9=1+2+3；1﹣4+9﹣16=﹣（1+2+3+4）…．猜测第n（n∈N
）个等式，并用数学归纳法证明．
考点：
数学归纳法；归纳推理．
专题：
点列、递归数列与数学归纳法．
分析：
由已知猜测：第n（n∈N
）个等式为：1﹣22+32﹣42+…+（﹣1）n﹣1 n2=（﹣1）n﹣1（1+2+…+n）=（﹣1）n﹣1．利用数学归纳法证明即可．
解答：
解：1=1；1﹣4=﹣（1+2）；1﹣4+9=1+2+3；1﹣4+9﹣16=﹣（1+2+3+4）…．
猜测第n（n∈N
）个等式为：1﹣22+32﹣42+…+（﹣1）n﹣1 n2=（﹣1）n﹣1（1+2+…+n）=（﹣1）n﹣1．
下面利用数学归纳法证明：（1）当n=1时，1=1，成立；
（2）假设当n=k（k∈N
）时，等式1﹣22+32﹣42+…+（﹣1）k﹣1 k2=成立．
则当n=k+1时，左边=1﹣22+32﹣42+…+（﹣1）k﹣1 k2+（﹣1）k （k+1）2=+（﹣1）k （k+1）2=（﹣1）k=（﹣1）k =右边，
∴当n=k+1时，等式成立．
综上可得：第n（n∈N
）个等式为：1﹣22+32﹣42+…+（﹣1）n﹣1 n2=（﹣1）n﹣1（1+2+…+n）=（﹣1）n﹣1成立．
点评：
本题考查了数学归纳法应用，考查了观察分析猜想归纳能力与计算能力，属于中档题．
20．（12分）（1）已知等差数列{an}，（n∈N
），求证：{bn}仍为等差数列；
（2）已知等比数列{cn}，cn＞0（n∈N
）），类比上述性质，写出一个真命题并加以证明．
分析：
（1）由求和公式可得bn==，进而可得bn+1﹣bn为常数，可判为等差数列；
（2）类比命题：若{cn}为等比数列，cn＞0，（n∈N
），dn=，则{dn}为等比数列，只需证明为常数即可．
解答：
解：（1）由题意可知bn==，
∴bn+1﹣bn=﹣=，
∵{an}等差数列，∴bn+1﹣bn==为常数，（d为公差）
∴{bn}仍为等差数列；
（2）类比命题：若{cn}为等比数列，cn＞0，（n∈N
），
dn=，则{dn}为等比数列，
证明：由等比数列的性质可得：dn==，
故==为常数，（q为公比）
故{dn}为等比数列
点评：
本题考查等差数列的定义，涉及类比推理和等比数列的定义，属中档题．
21．（12分）（选修4﹣5：不等式选讲）
已知函数f（x）=|2x﹣1|+|2x+a|，g（x）=x+3．
（Ⅰ）当a=﹣2时，求不等式f（x）＜g（x）的解集；
（Ⅱ）设a＞﹣1，且当时，f（x）≤g（x），求a的取值范围．
考点：
绝对值不等式的解法；函数单调性的性质．
专题：
压轴题；不等式的解法及应用．
分析：
（Ⅰ）当a=﹣2时，求不等式f
( http: / / www.21cnjy.com )（x）＜g（x）化为|2x﹣1|+|2x﹣2|﹣x﹣3＜0．设y=|2x﹣1|+|2x﹣2|﹣x﹣3，画出函数y的图象，数形结合可得结论．
（Ⅱ）不等式化即
1+a≤x+3，故
x≥a﹣2对都成立．故﹣≥a﹣2，由此解得a的取值范围．
解答：
解：（Ⅰ）当a=﹣2时，求不等式f（x）＜g（x）化为|2x﹣1|+|2x﹣2|﹣x﹣3＜0．
设y=|2x﹣1|+|2x﹣2|﹣x﹣3，则
y=
( http: / / www.21cnjy.com )，它的图象如图所示：
结合图象可得，y＜0的解集为（0，2），故原不等式的解集为（0，2）．
（Ⅱ）设a＞﹣1，且当时，f（x）=1+a，不等式化为
1+a≤x+3，故
x≥a﹣2对都成立．故﹣≥a﹣2，解得
a≤，故a的取值范围为（﹣1，]．
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22．（12分）已知函数f（x）=x2﹣alnx+（a∈R）
（Ⅰ）求函数f（x）单调区间；（Ⅱ）若a=﹣1，求证：当x＞1时，f（x）＜x3．
分析：
（Ⅰ）求导数，分类讨论，利用导数的正负求函数f（x）单调区间；
（Ⅱ）设，证明F（x）在（1，+∞）上为增函数，即可得出结论．
解答：
（Ⅰ）解：f（x）的定义域为x＞0…（1分）…（2分）
若a≤0时，f'（x）≥0恒成立，即f（x）的单调区间为（0，+∞）…（4分）
若a＞0时，令f'（x）＞0，得…（5分）
即f（x）的单调区间为，减区间为…（6分）
（Ⅱ）证明：设…（7分）
则…（8分）
∴F（x）在（1，+∞）上为增函数，且…（10分）
即F（x）＞0在（1，+∞）上恒成立…（11分）∴当x＞1，…（12分）
3．（5分）为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班50人进行了问卷调查得到了如表：
喜爱打篮球
不喜爱打篮球
合计
男生
25
10
35
女生
5
10
15
合计
30
20
50
根据表中的数据你认为喜爱打篮球与性别之间有关系的把握是（）
参考数据：．
临界值表：
P（Χ2≥k）
0.100
0.050
0.025
0.010
0.005
0.001
k
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
A．
97.5%
B．
99%
C．
99.5%
D．
99.9%
考点：
线性回归方程．
分析：
根据所给的列联表得到求观测值所用的数据，把数据代入观测值公式中，做出观测值，同所给的临界值表进行比较，得到结论．
解答：
解：根据所给的列联表，得到Χ2=≈6.349＞5.024，
对照临界值表可知有97.5%的把握认为喜爱打篮球与性别有关．
故选：A．
点评：
本题考查独立性检验的应用，考查根据列联表做出观测值，根据所给的临界值表进行比较，本题是一个基础题．
4．（5分）设随机变量ξ服从正态分布N（3，4），若P（ξ＜2a﹣3）=P（ξ＞a+2），则a的值为（）
A．
B．
C．
5
D．
3
考点：
正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．
专题：
计算题．
分析：
根据随机变量符合正态分布，又知正态曲线关于x=3对称，得到两个概率相等的区间关于x=3对称，得到关于a的方程，解方程即可．
解答：
解：∵随机变量ξ服从正态分布N（3，4），
∵P（ξ＜2a﹣3）=P（ξ＞a+2），∴2a﹣3与a+2关于x=3对称，
∴2a﹣3+a+2=6，∴3a=7，∴a=，故选A．
点评：
本题考查正态分布曲线的特点及曲
( http: / / www.21cnjy.com )线所表示的意义，本题主要考查曲线关于x=3对称，考查关于直线对称的点的特点，本题是一个基础题，若出现是一个得分题目．
5．（5分）一牧场有10头牛，因误食含有病毒的饲料而被感染，已知该病的发病率为0.02．设发病的牛的头数为ξ，则Dξ等于（）
A．
0.2
B．
0.8
C．
0.196
D．
0.804
考点：
离散型随机变量的期望与方差．
分析：
把每个牛是否得病作为一个实验，牛
( http: / / www.21cnjy.com )发病的概率是0.02，且牛是否发病相互之间没有影响，得到发病的牛的头数为ξ服从二项分布，根据方差的公式Dξ=npq，得到结果．
解答：
解：∵由题意知该病的发病率为0.02，且每次实验结果都是相互独立的，
∴ξ～B（10，0.02），∴由二项分布的方差公式得到Dξ=10×0.02×0.98=0.196．故选C
15．（5分）如图所示，EFGH是以O为圆心
( http: / / www.21cnjy.com )，半径为1的圆的内接正方形，将一粒豆子随机地扔到该圆内，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH内”，B表示事件“豆子落在扇形OHE（阴影部分）内”，则P（B|A）=．
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分析：
根据几何概型计算公式，分别算出P（AB）与P（A），再由条件概率计算公式即可算出P（B|A）的值．
解答：
解：根据题意，得
P（AB）===
∵P（A）==∴P（B|A）==故答案为：
20．（12分）某同学参加高校自主招
( http: / / www.21cnjy.com )生3门课程的考试．假设该同学第一门课程取得优秀成绩的概率，第二、第三门课程取得优秀成绩的概率分别为p，q（p＜q），且不同课程是否取得优秀成绩相互独立．记ξ为该生取得优秀成绩的课程数，其分布列为
ξ
0
1
2
3
p
x
y
（Ⅰ）求该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率及求p，q的值；
（Ⅱ）求该生取得优秀成绩课程门数的数学期望Eξ．
考点：
离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．
专题：
概率与统计．
分析：
（Ⅰ）用Ai表示“该生第i门课程取得优秀成绩”，i=1，2，3．由题意得P（A1）=，P（）=，由此能求出该生至少有一门课程取得优秀成绩的概率．从而能够求出p，q的值．
（Ⅱ）由题设知ξ的可能取值为0，1，2，3，分别求出其概率，由此能够求出数学期望Eξ．
解答：
解：用Ai表示“该生第i门课程取得优秀成绩”，i=1，2，3．
由题意得得P（A1）=，P（）=，
（Ⅰ）该生至少有一门课程取得优秀成绩的概率为P=1﹣P（）=1﹣=
P（）=（1﹣P（A1））（1﹣P（A2））（1﹣P（A3））=（1﹣p）（1﹣q）=
及P（A1A2A3）=P（A1）P（A2）P（A3）=pq=得p=，q=．
（Ⅱ）由题设知ξ的可能取值为0，1，2，3，
P（ξ=0）=，
P（ξ=1）=××+××+××=，P（ξ=2）=××+××+××=，
ξ
0
1
2
3
pi
∴E（ξ）=0×+1×+2×+3×=．
∴该生取得优秀成绩的课程门数的期望为．
21．（12分）班主任为了对本班学生的
( http: / / www.21cnjy.com )考试成绩进行分析，决定从全班25名女同学，15名男同学中随机抽取一个容量为8的样本进行分析．随机抽出8位，他们的数学分数从小到大排序是：60、65、70、75、80、85、90、95，物理分数从小到大排序是：72、77、80、84、88、90、93、95．
（Ⅰ）如果按性别比例分层抽样，男女同学分别抽取多少人？
（Ⅱ）若这8位同学的数学、物理分数对应如下表：
学生编号
1
2
3
4
5
6
7
8
数学分数x
60
65
70
75
80
85
90
95
物理分数y
72
77
80
84
88
90
93
95
根据上表数据用变量y与x的相关系数或散点
( http: / / www.21cnjy.com )图说明物理成绩y与数学成绩x之间是否具有线性相关性？如果具有线性相关性，求y与x的线性回归方程（系数精确到0.01）；如果不具有线性相关性，请说明理由．
参考公式：相关系数
( http: / / www.21cnjy.com )；回归直线的方程是：
=bx+a．
其中对应的回归估计值b=
( http: / / www.21cnjy.com )，a=﹣b；
参考数据：
=77.5，
=85，（x1﹣）2≈1050，（y1﹣）2≈456；（x1﹣）（y1﹣）≈688，≈32.4，≈21.4，≈23.5．
．
分析：
（Ⅰ）按分层抽样原理，计算应抽取的男生、女生各是多少；
（Ⅱ）根据题目中的公式，计算相关系数r，判断线性相关性；求出线性回归方程中的系数，得出回归方程．
解答：
解：（Ⅰ）按男女生分层抽样的结果是，
女生应抽取（人），
男生应抽取（人）；…（4分）
（Ⅱ）变量y与x的相关系数是
r=
( http: / / www.21cnjy.com )==≈0.99；…（6分）
可以看出，物理与数学成绩是高度正相关；…（8分）
【若以数学成绩x为横坐标，物理成绩y为纵坐标做散点图，
从散点图可以看出这些点大至分布在一条直线附近，并且在逐步上升，
所以物理与数学成绩是高度正相关；】
设y与x的线性回归方程是，
根据所给的数据，可以计算出
b=
( http: / / www.21cnjy.com )==0.66，
a=﹣b=85﹣0.66×77.5=33.85；…（10分）
所以y与x的回归方程是．…（12分）