2017-2018学年高中数学（人教A版选修2-1）章末综合测评1　常用逻辑用语

章末综合测评(一)　常用逻辑用语
(时间120分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.命题“若x2＜1，则－1＜x＜1”的逆否命题是(　　)
A.若x2≥1，则x≥1，或x≤－1
B.若－1＜x＜1，则x2＜1
C.若x＞1，或x＜－1，则x2＞1
D.若x≥1或x≤－1，则x2≥1
【解析】　命题“若p，则q”的逆否命题为“若﹁q，则﹁p”.
【答案】　D
2.已知命题p：“ x∈[0,1]，a≥ex”，命题q：“ x0∈R，x＋4x0＋a＝0”.若命题“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围是(　　)
A.(4，＋∞)
B.[1,4]
C.[e,4]
D.(－∞，－1)
【解析】　由题意知p与q均为真命题，由p为真，可知a≥e，由q为真，知x2＋4x＋a＝0有解，则Δ＝16－4a≥0，∴a≤4，综上知e≤a≤4.【答案】　C
3.命题p：x＋y≠3，命题q：x≠1或y≠2，则命题p是q的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】　命题“若p，则q”的逆否命题为：“若x＝1且y＝2，则x＋y＝3”，是真命题，故原命题为真，反之不成立.
【答案】　A
4.设点P(x，y)，则“x＝2且y＝－1”是“点P在直线l：x＋y－1＝0上”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】　当x＝2且y＝－1时，满足方程x＋y－1＝0,
即点P(2，－1)在直线l上.点P′(0,1)在直线l上，但不满足x＝2且y＝－1，∴“x＝2且y＝－1”是“点P(x，y)在直线l上”的充分不必要条件.
【答案】　A
5.“关于x的不等式f(x)＞0有解”等价于(　　)
A. x0∈R，使得f(x0)＞0成立
B. x0∈R，使得f(x0)≤0成立
C. x∈R，使得f(x)＞0成立
D. x∈R，f(x)≤0成立
【解析】　“关于x的不等式f(x)＞0有解”等价于“存在实数x0，使得f(x0)＞0成立”.故选A.
【答案】　A
6.设四边形ABCD的两条对角线为AC，BD，则“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】　若四边形ABCD为菱形，则AC⊥BD，反之，若AC⊥BD，则四边形ABCD不一定是菱形，故选A.
【答案】　A
7.命题p：函数y＝lg(x2＋2x－c)的定义域为R；命题q：函数y＝lg(x2＋2x－c)的值域为R.记命题p为真命题时c的取值集合为A，命题q为真命题时c的取值集合为B，则A∩B＝(　　)A.
B.{c|c<－1}
C.{c|c≥－1}
D.R
【解析】　命题p为真命题，即x2＋2x－c>0恒成立，则有Δ＝4＋4c<0，解得c<－1，即A＝{c|c<－1}；令f(x)＝x2＋2x－c，命题q为真命题，则f(x)的值域包含(0，＋∞).即Δ＝4＋4c≥0，求得c≥－1，即B＝{c|c≥－1}.于是A∩B＝ ，故选A.
【答案】　A
8.对 x∈R，kx2－kx－1＜0是真命题，则k的取值范围是(　　)
A.－4≤k≤0
B.－4≤k＜0
C.－4＜k≤0
D.－4＜k＜0
【解析】　由题意知kx2－kx－1＜0对任意x∈R恒成立，当k＝0时，－1＜0恒成立；当k≠0时，有即－4＜k＜0，所以－4＜k≤0.
【答案】　C
9.已知命题p：若(x－1)(x－2)≠0，则x≠1且x≠2；命题q：存在实数x0，使2＜0.下列选项中为真命题的是(　　)
A.﹁p
B.﹁p∨q
C.﹁q∧p
D.q
【解析】　很明显命题p为真命题，所以﹁p为假命题；由于函数y＝2x，x∈R的值域是(0，＋∞)，所以q是假命题，所以﹁q是真命题.所以﹁p∨q为假命题，﹁q∧p为真命题，故选C.
【答案】　C
10.设{an}是公比为q的等比数列，则“q>1”是“{an}为递增数列”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】　等比数列{an}为递增数列的充要条件为或故“q>1”是“{an}为递增数列”的既不充分也不必要条件.
【答案】　D
11.已知命题p： x>0，总有(x＋1)ex>1，则﹁p为(　　)
A. x0≤0，使得(x0＋1)e≤1
B. x0>0，使得(x0＋1)e≤1
C. x>0，总有(x＋1)ex≤1
D. x≤0，使得(x＋1)ex≤1
【解析】　因为全称命题 x∈M，p(x)的否定为 x0∈M，﹁p(x)，故﹁p： x0>0，使得(x0＋1)e≤1.
【答案】　B
12.已知p：点P在直线y＝2x－3上；q：点P在直线y＝－3x＋2上，则使p∧q为真命题的点P的坐标是(　　)
A.(0，－3)
B.(1,2)C.(1，－1)
D.(－1,1)
【解析】　因为p∧q为真命题，所以p，q均为真命题.所以点P为直线y＝2x－3与直线y＝－3x＋2的交点.解方程组得即点P的坐标为(1，－1).
【答案】　C
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)
13.命题p：若a，b∈R，则ab＝0是a＝0的充分条件，命题q：函数y＝的定义域是[3，＋∞)，则“p∨q”“p∧q”“﹁p”中是真命题的为________.
【解析】　p为假命题，q为真命题，故p∨q为真命题，﹁p为真命题.
【答案】　p∨q与﹁p
14.“末位数字是1或3的整数不能被8整除”的否定形式是____________________，否命题是____________________.
【解析】　命题的否定仅否定结论，所以该命题的否定形式是：末位数字是1或3的整数能被8整除；而否命题要同时否定原命题的条件和结论，所以否命题是：末位数字不是1且不是3的整数能被8整除.
【答案】　末位数字是1或3的整数能被8整除　末位数字不是1且不是3的整数能被8整除
15.已知f(x)＝x2＋2x－m，如果f(1)>0是假命题，f(2)>0是真命题，则实数m的取值范围是______.
【解析】　依题意，∴3≤m<8.
【答案】　[3,8)
16.给出以下判断：①命题“负数的平方是正数”不是全称命题；
②命题“ x∈N，x3>x2”的否定是“ x0∈N，使x>x”；
③“b＝0”是“函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)为偶函数”的充要条件；
④“正四棱锥的底面是正方形”的逆命题为真命题.
其中正确命题的序号是________.
【解析】　①②④是假命题，③是真命题.
【答案】　③
三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)写出下列命题的否定，并判断其真假，同时说明理由.
(1)q：所有的矩形都是正方形；
(2)r： x0∈R，x＋2x0＋2≤0；
(3)s：至少有一个实数x0，使x＋3＝0.
【解】　(1)﹁q：至少存在一个矩形不是正方形，真命题.这是由于原命题是假命题.
(2)﹁r： x∈R，x2＋2x＋2>0，真命题.这是由于 x∈R，x2＋2x＋2＝(x＋1)2＋1≥1>0恒成立.(3)﹁s： x∈R，x3＋3≠0，假命题.这是由于当x＝－时，x3＋3＝0.
18.(本小题满分12分)指出下列命题中，p是q的什么条件？
(1)p：{x|x>－2或x<3}；q：{x|x2－x－6<0}；
(2)p：a与b都是奇数；q：a＋b是偶数；
(3)p：0【解】　(1)因为{x|x2－x－6<0}＝{x|－2所以{x|x>－2或x<3}{x|－2而{x|－2－2或x<3}.
所以p是q的必要不充分条件.
(2)因为a，b都是奇数 a＋b为偶数，而a＋b为偶数a，b都是奇数，所以p是q的充分不必要条件.
(3)mx2－2x＋3＝0有两个同号不等实根 .
所以p是q的充要条件.
19.(本小题满分12分)已知命题p：不等式2x－x2如果“﹁p”与“p∧q”同时为假命题，求实数m的取值范围.
【解】　2x－x2＝－(x－1)2＋1≤1，所以p为真时，
m>1.由m2－2m－3≥0得m≤－1或m≥3，
所以q为真时，m≤－1或m≥3.
因为“﹁p”与“p∧q”同时为假命题，
所以p为真命题，q为假命题，所以得
即120.(本小题满分12分)已知两个命题p：sinx＋cosx＞m，q：x2＋mx＋1＞0，如果对任意x∈R，有p∨q为真，p∧q为假，求实数m的取值范围.
【解】　当命题p是真命题时，
由于x∈R，则sin
x＋cos
x＝sin≥－，
所以有m＜－.
当命题q是真命题时，
由于x∈R，x2＋mx＋1＞0，
则Δ＝m2－4＜0，解得－2＜m＜2.
由于p∨q为真，p∧q为假，所以p与q一真一假.
考虑到函数f(x)＝x2＋mx＋1的图象为开口向上的抛物线，对任意的x∈R，x2＋mx＋1≤0不可能恒成立.所以只能是p为假，q为真，
此时有
解得－≤m＜2，
所以实数m的取值范围是[－，2).
21.(本小题满分12分)已知命题p：对数loga(－2t2＋7t－5)(a>0，且a≠1)有意义；命题q：实数t满足不等式t2－(a＋3)t＋a＋2<0.
(1)若命题p为真，求实数t的取值范围；
(2)若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围.
【解】　(1)因为命题p为真，则对数的真数－2t2＋7t－5>0，解得1所以实数t的取值范围是.
(2)因为p是q的充分不必要条件，所以是不等式t2－(a＋3)t＋a＋2<0的解集的真子集.
法一：因为方程t2－(a＋3)t＋a＋2＝0的两根为1和a＋2，
所以只需a＋2>，解得a>.
即实数a的取值范围为.
法二：令f(t)＝t2－(a＋3)t＋a＋2，因为f(1)＝0，
所以只需f
<0，解得a>.
即实数a的取值范围为.
22.(本小题满分12分)设a，b，c为△ABC的三边，求证：方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根的充要条件是∠A＝90°.
【证明】　充分性：∵∠A＝90°，
∴a2＝b2＋c2.
于是方程x2＋2ax＋b2＝0可化为x2＋2ax＋a2－c2＝0，
∴x2＋2ax＋(a＋c)(a－c)＝0.
∴[x＋(a＋c)][x＋(a－c)]＝0.
∴该方程有两根x1＝－(a＋c)，x2＝－(a－c)，
同样另一方程x2＋2cx－b2＝0也可化为x2＋2cx－(a2－c2)＝0，
即[x＋(c＋a)][x＋(c－a)]＝0，
∴该方程有两根x3＝－(a＋c)，x4＝－(c－a).
可以发现，x1＝x3，
∴方程有公共根.
必要性：设x是方程的公共根，
则
由①＋②，得x＝－(a＋c)，x＝0(舍去).
代入①并整理，可得a2＝b2＋c2.
∴∠A＝90°.
∴结论成立.