2017-2018学年高中数学（人教A版选修1-2）学业分层测评：第2章 2.1.2 演绎推理

学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．下面几种推理中是演绎推理的为(　　)
A．由金、银、铜、铁可导电，猜想：金属都可导电
B．猜想数列，，，…的通项公式为an＝(n∈N＋)
C．半径为r的圆的面积S＝πr2，则单位圆的面积S＝π
D．由平面直角坐标系中圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，推测空间直角坐标系中球的方程为(x－a)2＋(y－b)2＋(z－c)2＝r2
【解析】　A，B为归纳推理，D为类比推理，C为演绎推理．
【答案】　C
2．已知△ABC中，∠A＝30°，∠B＝60°，求证：a＜b.
证明：∵∠A＝30°，∠B＝60°，∴∠A＜∠B，∴a＜b，画线部分是演绎推理的(　　)
A．大前提
B．小前提
C．结论
D．三段论
【解析】　结合三段论的特征可知，该证明过程省略了大前提“在同一个三角形中大角对大边”，因此画线部分是演绎推理的小前提．
【答案】　B
3．“因为对数函数y＝logax是增函数(大前提)，而y＝x是对数函数(小前提)，所以y＝x是增函数(结论)．”上面推理错误的是(　　)
A．大前提错导致结论错
B．小前提错导致结论错
C．推理形式错导致结论错
D．大前提和小前提都错导致结论错
【解析】　大前提y＝logax是增函数错误，当0【答案】　A
4．在△ABC中，E，F分别为AB，AC的中点，则有EF∥BC，这个问题的大前提为(　　)
A．三角形的中位线平行于第三边
B．三角形的中位线等于第三边的一半
C．EF为中位线
D．EF∥CB
【解析】　三段论中的大前提是指一个已知的一般性结论，本题中指：三角形的中位线平行于第三边，故选A.
【答案】　A
5．已知三条不重合的直线m，n，l，两个不重合的平面α，β，有下列命题：
①若m∥n，n α，则m∥α；
②若l⊥α，m⊥β且l∥m，则α∥β；
③若m α，n α，m∥β，n∥β，则α∥β；
④若α⊥β，α∩β＝m，n β，n⊥m，则n⊥α.
其中正确的命题个数是(　　)
A．1
B．2
C．3
D．4【解析】　①中，m还可能在平面α内，①错误；②正确；③中，m与n相交时才成立，③错误；④正确．故选B.
【答案】　B
二、填空题
6．以下推理过程省略的大前提为________．
因为a2＋b2≥2ab，
所以2(a2＋b2)≥a2＋b2＋2ab.
【解析】　由小前提和结论可知，是在小前提的两边同时加上了a2＋b2，故大前提为：若a≥b，则a＋c≥b＋c.
【答案】　若a≥b，则a＋c≥b＋c7．命题：“若空间两条直线a，b分别垂直平面α，则a∥b”．学生小夏这样证明：
设a，b与面α分别相交于A，B，连接A，B，
∵a⊥α，b⊥α，AB α，
①
∴a⊥AB，b⊥AB，
②
∴a∥b.
③
这里的证明有两个推理，即：① ②和② ③.老师认为小夏的证明推理不正确，这两个推理中不正确的是________．
【解析】　② ③时，大前提错误，导致结论错误．
【答案】　② ③
8．“如图2 1 12，在△ABC中，AC>BC，CD是AB边上的高，求证：
∠ACD>∠BCD”．
图2 1 12
证明：在△ABC中，
因为CD⊥AB，AC>BC，
①
所以AD>BD，
②
于是∠ACD>∠BCD
③
则在上面证明的过程中错误的是________(填序号)．
【解析】　由AD>BD，得到∠ACD>∠BCD的推理的大前提应是“在同一三角形中，大边对大角”，小前提是“AD>BD”，而AD与BD不在同一三角形中，故③错误．
【答案】　③
三、解答题
9．用三段论证明通项公式为an＝cqn(c，q为常数，且cq≠0)的数列{an}是等比数列．
【证明】　设an＋1，an是数列中任意相邻两项，则从第二项起，后项与前项的比是同一个常数的数列叫等比数列(大前提)，
因为＝＝q(常数)(小前提)，
所以{an}是等比数列(结论)．10．已知a>0且函数f(x)＝＋是R上的偶函数，求a的值．
【解】　由于f(x)是偶函数，所以f(－x)＝f(x)对x∈R恒成立，即＋＝＋，所以＋a·2x＝＋，整理得(2x－2－x)＝0，必有a－＝0.又因为a>0，所以a＝1.
[能力提升]
1．下面是一段“三段论”推理过程：若函数f(x)在(a，b)内可导且单调递增，则在(a，b)内，f′(x)>0恒成立．因为f(x)＝x3在(－1,1)内可导且单调递增，所以在(－1,1)内，f′(x)＝3x2>0恒成立．以上推理中(　　)A．大前提错误
B．小前提错误
C．结论正确
D．推理形式错误
【解析】　f(x)在(a，b)内可导且单调递增，则在(a，b)内，f′(x)≥0恒成立，故大前提错误，选A.【答案】　A
2．设 是R内的一个运算，A是R的非空子集．若对于任意a，b∈A，有a b∈A，则称A对运算 封闭．下列数集对加法、减法、乘法和除法(除数不等于零)四则运算都封闭的是(　　)
A．自然数集
B．整数集
C．有理数集
D．无理数集
【解析】　A错，因为自然数集对减法不封闭；B错，因为整数集对除法不封闭；C对，因为任意两个有理数的和、差、积、商都是有理数，故有理数集对加、减、乘、除法(除数不等于零)四则运算都封闭；D错，因为无理数集对加、减、乘、除法都不封闭．
【答案】　C
3．若f(a＋b)＝f(a)f(b)(a，b∈N
)，且f(1)＝2，则＋＋…＋＝________.
【解析】　∵f(a＋b)＝f(a)f(b)(a，b∈N
)(大前提)．
令b＝1，则＝f(1)＝2(小前提)．
∴＝＝…＝＝2(结论)，
∴原式＝＝2
018.
【答案】　2
018
4．在同一平面内，若P，A，B三点共线，则对于平面上任意一点O，有＝λ＋μ，且λ＋μ＝1.对这个命题证明如下：
【证明】　因为P，A，B三点共线，所以＝m，即－＝m(－)，整理得＝(1－m)＋m，因为(1－m)＋m＝1，所以λ＋μ＝1.
请把上述结论和证明过程类比到空间向量．
【解】　类比到空间向量，所得结论为：在空间中，若P，A，B，C四点共面，则对于空间中任意一点O，有＝x＋y＋z，且x＋y＋z＝1.对这个命题证明如下：
证明：因为P，A，B，C四点共面，
所以＝λ＋μ，
即－＝λ(－)＋μ(－)，
整理得＝(1－λ－μ)＋λ＋μ，
因为(1－λ－μ)＋λ＋μ＝1，
所以x＋y＋z＝1.