2017-2018学年高中数学（人教A版选修2-1）学业分层测评：2.1 曲线与方程
文档属性
| 名称 | 2017-2018学年高中数学（人教A版选修2-1）学业分层测评：2.1 曲线与方程 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 79.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2017-06-01 09:43:03 | ||
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文档简介
学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1.曲线x2－xy－y2－3x＋4y－4＝0与x轴的交点坐标是( )
A.(4,0)和(－1,0)
B.(4,0)和(－2,0)
C.(4,0)和(1,0)
D.(4,0)和(2,0)
【解析】 在曲线x2－xy－y2－3x＋4y－4＝0中，令y＝0，则x2－3x－4＝0，∴x＝－1或x＝4.
∴交点坐标为(－1,0)和(4,0).
【答案】 A
2.方程(x2－4)(y2－4)＝0表示的图形是( )
A.两条直线
B.四条直线
C.两个点
D.四个点【解析】 由(x2－4)(y2－4)＝0得(x＋2)(x－2)(y＋2)(y－2)＝0，所以x＋2＝0或x－2＝0或y＋2＝0或y－2＝0，表示四条直线.
【答案】 B
3.在平面直角坐标系xOy中，若定点A(1,2)与动点P(x，y)满足·＝4，则点P的轨迹方程是( )
A.x＋y＝4
B.2x＋y＝4C.x＋2y＝4
D.x＋2y＝1
【解析】 由＝(x，y)，＝(1,2)得·＝(x，y)·(1,2)＝x＋2y＝4，则x＋2y＝4，即为所求的轨迹方程，故选C.
【答案】 C
4.设点A为圆(x－1)2＋y2＝1上的动点，PA是圆的切线，且|PA|＝1，则P点的轨迹方程为( )
A.y2＝2x
B.(x－1)2＋y2＝4
C.y2＝－2x
D.(x－1)2＋y2＝2
【解析】 如图，设P(x，y)，圆心为M(1,0).连接MA，则MA⊥PA，且|MA|＝1，
又∵|PA|＝1，
∴|PM|＝＝.
即|PM|2＝2，
∴(x－1)2＋y2＝2.
【答案】 D
5.已知方程y＝a|x|和y＝x＋a(a＞0)所确定的两条曲线有两个交点，则a的取值范围是( )
A.a＞1
B.0＜a＜1
C.0＜a＜1或a＞1
D.a∈
【答案】 A
二、填空题
6.“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”是“方程f(x，y)＝0是曲线C的方程”的________条件.【解析】 “方程f(x，y)＝0是曲线C的方程” “曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”，反之不成立.
【答案】 必要不充分
7.方程·(x＋y＋1)＝0表示的几何图形是________________.
【解析】 由方程得或x－3＝0，
即x＋y＋1＝0(x≥3)或x＝3.
【答案】 一条射线和一条直线
8.已知定点F(1,0)，动点P在y轴上运动，点M在x轴上，且·＝0，延长MP到点N，使得||＝||，则点N的轨迹方程是________.
【解析】 由于||＝||，则P为MN的中点.设N(x，y)，则M(－x,0)，P，由·＝0，得·＝0，所以(－x)·1＋·＝0，则y2＝4x，即点N的轨迹方程是y2＝4x.
【答案】 y2＝4x
三、解答题
9.如图2 1 1，圆O1与圆O2的半径都是1，|O1O2|＝4，过动点P分别作圆O1、圆O2的切线PM，PN(M，N分别为切点)，使得|PM|＝|PN|，试建立适当的坐标系，并求动点P的轨迹方程.
图2 1 1
【解】 以O1O2的中点为原点，O1O2所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，
得O1(－2,0)，O2(2,0).
连结PO1，O1M，PO2，O2N.
由已知|PM|＝|PN|，得
|PM|2＝2|PN|2，
又在Rt△PO1M中，|PM|2＝|PO1|2－|MO1|2，
在Rt△PO2N中，|PN|2＝|PO2|2－|NO2|2，
即得|PO1|2－1＝2(|PO2|2－1).
设P(x，y)，则(x＋2)2＋y2－1＝2[(x－2)2＋y2－1]，
化简得(x－6)2＋y2＝33.
因此所求动点P的轨迹方程为(x－6)2＋y2＝33.
10.△ABC的三边长分别为|AC|＝3，|BC|＝4，|AB|＝5，点P是△ABC内切圆上一点，求|PA|2＋|PB|2＋|PC|2的最小值与最大值.
【解】 因为|AB|2＝|AC|2＋|BC|2，所以∠ACB＝90°.
以C为原点O，CB，CA所在直线分别为x轴、y轴建立如图所示的平面直角坐标系，由于|AC|＝3，|BC|＝4，得C(0,0)，A(0,3)，B(4,0).
设△ABC内切圆的圆心为(r，r)，
由△ABC的面积＝×3×4＝r＋2r＋r，
得r＝1，
于是内切圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1 x2＋y2＝2x＋2y－1，
由(x－1)2≤1 0≤x≤2.
设P(x，y)，那么|PA|2＋|PB|2＋|PC|2＝x2＋(y－3)2＋(x－4)2＋y2＋x2＋y2＝3(x2＋y2)－8x－6y＋25＝3(2x＋2y－1)－8x－6y＋25＝22－2x，
所以当x＝0时，|PA|2＋|PB|2＋|PC|2取最大值为22，
当x＝2时取最小值为18.
[能力提升]
1.到点A(0,0)，B(－3,4)的距离之和为5的轨迹方程是( )
A.y＝－x(－3≤x≤0)
B.y＝－x(0≤x≤4)
C.y＝－x(－3≤x≤4)
D.y＝－x(0≤x≤5)
【解析】 注意到|AB|＝5，则满足到点A(0,0)，B(－3,4)的距离之和为5的点必在线段AB上，因此，方程为y＝－x(－3≤x≤0)，故选A.
【答案】 A
2.已知动点P到定点(1,0)和定直线x＝3的距离之和为4，则点P的轨迹方程为( )
A.y2＝4x
B.y2＝－12(x－4)
C.y2＝4x(x≥3)或y2＝－12(x－4)(x<3)
D.y2＝4x(x≤3)或y2＝－12(x－4)(x>3)
【解析】 设P(x，y)，由题意得＋|x－3|＝4.若x≤3，则y2＝4x；若x>3，则y2＝－12(x－4)，故选D.
【答案】 D
3.已知两定点A(－2,0)，B(1,0)，如果动点P满足|PA|＝2|PB|，则点P的轨迹所包围的图形的面积等于________.
【解析】 设动点P(x，y)，
依题意|PA|＝2|PB|，
∴＝2，
化简得(x－2)2＋y2＝4，
方程表示半径为2的圆，
因此图形的面积S＝π·22＝4π.
【答案】 4π
4.过点P(2,4)作两条互相垂直的直线l1、l2，若l1交x轴于A点，l2交y轴于B点，求线段AB的中点M的轨迹方程.
【解】 法一：设点M的坐标为(x，y)，
∵M为线段AB的中点，
∴A点的坐标为(2x,0)，B点的坐标为(0,2y).
∵l1⊥l2，且l1，l2过点P(2,4)，
∴PA⊥PB，即kPA·kPB＝－1，
而kPA＝＝(x≠1)，
kPB＝＝，
∴·＝－1(x≠1)，
整理得x＋2y－5＝0(x≠1).
∵当x＝1时，A，B的坐标分别为(2,0)，(0,4)，
∴线段AB的中点坐标是(1,2)，它满足方程x＋2y－5＝0.
综上所述，点M的轨迹方程是x＋2y－5＝0.
法二：设点M的坐标为(x，y)，则A，B两点的坐标分别是(2x,0)，(0,2y)，连接PM.
∵l1⊥l2，∴2|PM|＝|AB|.
而|PM|＝，
|AB|＝，
∴2＝，
化简得x＋2y－5＝0，即为所求的点M的轨迹方程.
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1.曲线x2－xy－y2－3x＋4y－4＝0与x轴的交点坐标是( )
A.(4,0)和(－1,0)
B.(4,0)和(－2,0)
C.(4,0)和(1,0)
D.(4,0)和(2,0)
【解析】 在曲线x2－xy－y2－3x＋4y－4＝0中，令y＝0，则x2－3x－4＝0，∴x＝－1或x＝4.
∴交点坐标为(－1,0)和(4,0).
【答案】 A
2.方程(x2－4)(y2－4)＝0表示的图形是( )
A.两条直线
B.四条直线
C.两个点
D.四个点【解析】 由(x2－4)(y2－4)＝0得(x＋2)(x－2)(y＋2)(y－2)＝0，所以x＋2＝0或x－2＝0或y＋2＝0或y－2＝0，表示四条直线.
【答案】 B
3.在平面直角坐标系xOy中，若定点A(1,2)与动点P(x，y)满足·＝4，则点P的轨迹方程是( )
A.x＋y＝4
B.2x＋y＝4C.x＋2y＝4
D.x＋2y＝1
【解析】 由＝(x，y)，＝(1,2)得·＝(x，y)·(1,2)＝x＋2y＝4，则x＋2y＝4，即为所求的轨迹方程，故选C.
【答案】 C
4.设点A为圆(x－1)2＋y2＝1上的动点，PA是圆的切线，且|PA|＝1，则P点的轨迹方程为( )
A.y2＝2x
B.(x－1)2＋y2＝4
C.y2＝－2x
D.(x－1)2＋y2＝2
【解析】 如图，设P(x，y)，圆心为M(1,0).连接MA，则MA⊥PA，且|MA|＝1，
又∵|PA|＝1，
∴|PM|＝＝.
即|PM|2＝2，
∴(x－1)2＋y2＝2.
【答案】 D
5.已知方程y＝a|x|和y＝x＋a(a＞0)所确定的两条曲线有两个交点，则a的取值范围是( )
A.a＞1
B.0＜a＜1
C.0＜a＜1或a＞1
D.a∈
【答案】 A
二、填空题
6.“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”是“方程f(x，y)＝0是曲线C的方程”的________条件.【解析】 “方程f(x，y)＝0是曲线C的方程” “曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”，反之不成立.
【答案】 必要不充分
7.方程·(x＋y＋1)＝0表示的几何图形是________________.
【解析】 由方程得或x－3＝0，
即x＋y＋1＝0(x≥3)或x＝3.
【答案】 一条射线和一条直线
8.已知定点F(1,0)，动点P在y轴上运动，点M在x轴上，且·＝0，延长MP到点N，使得||＝||，则点N的轨迹方程是________.
【解析】 由于||＝||，则P为MN的中点.设N(x，y)，则M(－x,0)，P，由·＝0，得·＝0，所以(－x)·1＋·＝0，则y2＝4x，即点N的轨迹方程是y2＝4x.
【答案】 y2＝4x
三、解答题
9.如图2 1 1，圆O1与圆O2的半径都是1，|O1O2|＝4，过动点P分别作圆O1、圆O2的切线PM，PN(M，N分别为切点)，使得|PM|＝|PN|，试建立适当的坐标系，并求动点P的轨迹方程.
图2 1 1
【解】 以O1O2的中点为原点，O1O2所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，
得O1(－2,0)，O2(2,0).
连结PO1，O1M，PO2，O2N.
由已知|PM|＝|PN|，得
|PM|2＝2|PN|2，
又在Rt△PO1M中，|PM|2＝|PO1|2－|MO1|2，
在Rt△PO2N中，|PN|2＝|PO2|2－|NO2|2，
即得|PO1|2－1＝2(|PO2|2－1).
设P(x，y)，则(x＋2)2＋y2－1＝2[(x－2)2＋y2－1]，
化简得(x－6)2＋y2＝33.
因此所求动点P的轨迹方程为(x－6)2＋y2＝33.
10.△ABC的三边长分别为|AC|＝3，|BC|＝4，|AB|＝5，点P是△ABC内切圆上一点，求|PA|2＋|PB|2＋|PC|2的最小值与最大值.
【解】 因为|AB|2＝|AC|2＋|BC|2，所以∠ACB＝90°.
以C为原点O，CB，CA所在直线分别为x轴、y轴建立如图所示的平面直角坐标系，由于|AC|＝3，|BC|＝4，得C(0,0)，A(0,3)，B(4,0).
设△ABC内切圆的圆心为(r，r)，
由△ABC的面积＝×3×4＝r＋2r＋r，
得r＝1，
于是内切圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1 x2＋y2＝2x＋2y－1，
由(x－1)2≤1 0≤x≤2.
设P(x，y)，那么|PA|2＋|PB|2＋|PC|2＝x2＋(y－3)2＋(x－4)2＋y2＋x2＋y2＝3(x2＋y2)－8x－6y＋25＝3(2x＋2y－1)－8x－6y＋25＝22－2x，
所以当x＝0时，|PA|2＋|PB|2＋|PC|2取最大值为22，
当x＝2时取最小值为18.
[能力提升]
1.到点A(0,0)，B(－3,4)的距离之和为5的轨迹方程是( )
A.y＝－x(－3≤x≤0)
B.y＝－x(0≤x≤4)
C.y＝－x(－3≤x≤4)
D.y＝－x(0≤x≤5)
【解析】 注意到|AB|＝5，则满足到点A(0,0)，B(－3,4)的距离之和为5的点必在线段AB上，因此，方程为y＝－x(－3≤x≤0)，故选A.
【答案】 A
2.已知动点P到定点(1,0)和定直线x＝3的距离之和为4，则点P的轨迹方程为( )
A.y2＝4x
B.y2＝－12(x－4)
C.y2＝4x(x≥3)或y2＝－12(x－4)(x<3)
D.y2＝4x(x≤3)或y2＝－12(x－4)(x>3)
【解析】 设P(x，y)，由题意得＋|x－3|＝4.若x≤3，则y2＝4x；若x>3，则y2＝－12(x－4)，故选D.
【答案】 D
3.已知两定点A(－2,0)，B(1,0)，如果动点P满足|PA|＝2|PB|，则点P的轨迹所包围的图形的面积等于________.
【解析】 设动点P(x，y)，
依题意|PA|＝2|PB|，
∴＝2，
化简得(x－2)2＋y2＝4，
方程表示半径为2的圆，
因此图形的面积S＝π·22＝4π.
【答案】 4π
4.过点P(2,4)作两条互相垂直的直线l1、l2，若l1交x轴于A点，l2交y轴于B点，求线段AB的中点M的轨迹方程.
【解】 法一：设点M的坐标为(x，y)，
∵M为线段AB的中点，
∴A点的坐标为(2x,0)，B点的坐标为(0,2y).
∵l1⊥l2，且l1，l2过点P(2,4)，
∴PA⊥PB，即kPA·kPB＝－1，
而kPA＝＝(x≠1)，
kPB＝＝，
∴·＝－1(x≠1)，
整理得x＋2y－5＝0(x≠1).
∵当x＝1时，A，B的坐标分别为(2,0)，(0,4)，
∴线段AB的中点坐标是(1,2)，它满足方程x＋2y－5＝0.
综上所述，点M的轨迹方程是x＋2y－5＝0.
法二：设点M的坐标为(x，y)，则A，B两点的坐标分别是(2x,0)，(0,2y)，连接PM.
∵l1⊥l2，∴2|PM|＝|AB|.
而|PM|＝，
|AB|＝，
∴2＝，
化简得x＋2y－5＝0，即为所求的点M的轨迹方程.