2017-2018学年高中数学（人教A版选修1-2）学业分层测评：第2章 2.2.1 第1课时 综合法及其应用

学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．已知a，b为非零实数，则使不等式：＋≤－2成立的一个充分而不必要条件是(　　)
A．a·b>0　
B．a·b<0C．a>0，b<0
D．a>0，b>0
【解析】　∵＋≤－2，∴≤－2.
∵a2＋b2>0，
∴ab<0，则a，b异号，故选C.
【答案】　C
2．平面内有四边形ABCD和点O，＋＝＋，则四边形ABCD为(　　)
A．菱形
B．梯形
C．矩形
D．平行四边形
【解析】　∵＋＝＋，
∴－＝－，
∴＝，
∴四边形ABCD为平行四边形．【答案】　D
3．若实数a，b满足0A.
B．a2＋b2
C．2ab
D．a
【解析】　∵a＋b＝1，a＋b>2，
∴2ab<.
而a2＋b2>＝，
又∵0∴a<，∴a2＋b2最大，故选B.
【答案】　B
4．A，B为△ABC的内角，A>B是sin
A>sin
B的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】　若A>B，则a>b，
又＝，∴sin
A>sin
B；
若sin
A>sin
B，则由正弦定理得a>b，
∴A>B.
【答案】　C
5．设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)单调递减，若x1＋x2＞0，则f(x1)＋f(x2)的值(　　)A．恒为负值
B．恒等于零
C．恒为正值
D．无法确定正负
【解析】　由f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)单调递减，可知f(x)是R上的单调递减函数，由x1＋x2＞0，可知x1＞－x2，f(x1)＜f(－x2)＝
－f(x2)，则f(x1)＋f(x2)＜0.故选A.
【答案】　A
二、填空题
6．设e1，e2是两个不共线的向量，＝2e1＋ke2，＝e1＋3e2，若A，B，C三点共线，则k＝________.
【解析】　若A，B，C三点共线，则＝λ，即2e1＋ke2＝λ(e1＋3e2)＝λe1＋3λe2，
∴
∴
【答案】　6
7．设a＝，b＝－，c＝－，则a，b，c的大小关系为________．
【解析】　∵a2－c2＝2－(8－4)＝－>0，∴a>c，
又∵＝＝>1，∴c>b，∴a>c>b.
【答案】　a>c>b
8．已知三个不等式：①ab>0；②>；③bc>ad.以其中两个作为条件，余下一个作为结论，则可能组成________个正确的命题．
【解析】　对不等式②作等价变形：> >0.于是，若ab>0，bc>ad，则>0，故①③ ②.若ab>0，>0，则bc>ad，故①② ③.若bc>ad，>0，则ab>0，故②③ ①.因此可组成3个正确的命题．
【答案】　3
三、解答题
9．如图2 2 3，四棱锥P ABCD的底面是平行四边形，E，F分别为AB，CD的中点，求证：AF∥平面PEC.
图2 2 3
【证明】　∵四棱锥P ABCD的底面是平行四边形，∴AB綊CD.
又∵E，F分别为AB，CD的中点，
∴CF綊AE.
∴四边形AECF为平行四边形．
∴AF∥EC.
又AF 平面PEC，EC 平面PEC，
∴AF∥平面PEC.
10．在△ABC中，三个内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，且A，B，C成等差数列，a，b，c也成等差数列．求证：△ABC为等边三角形．
【证明】　由A，B，C成等差数列知，B＝，由余弦定理知b2＝a2＋c2－ac，
又a，b，c也成等差数列，∴b＝，
代入上式得＝a2＋c2－ac，
整理得3(a－c)2＝0，∴a＝c，从而A＝C，
而B＝，则A＝B＝C＝，
从而△ABC为等边三角形．
[能力提升]
1．设x，y∈R，a>1，b>1，若ax＝by＝3，a＋b＝2，则＋的最大值为(　　)
A．2
B.
C．1
D.
【解析】　∵ax＝by＝3，x＝loga3，y＝logb3，
∴＋＝log3(ab)≤log32＝1.故选C.
【答案】　C
2．在△ABC中，tan
A·tan
B>1，则△ABC是(　　)
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．不确定
【解析】　因为tan
A·tan
B>1，
所以角A，角B只能都是锐角，
所以tan
A>0，tan
B>0,1－tan
A·tan
B<0，
所以tan(A＋B)＝<0.
所以A＋B是钝角，即角C为锐角．
【答案】　A
3．若0【解析】　由0且a≠b，得a＋b>2，a2＋b2>2ab.
又a>a2，b>b2，
知a＋b>a2＋b2，从而a＋b最大．
【答案】　a＋b
4．在三角形ABC中，三边a，b，c成等比数列，求证：acos2＋ccos2≥b.
【证明】　∵在△ABC中，三边a，b，c成等比数列，∴b2＝ac，
∵左边＝＋
＝(a＋c)＋(acos
C＋ccos
A)
＝(a＋c)＋
＝(a＋c)＋b≥＋
＝b＋＝b＝右边，
∴acos2＋ccos2≥b.