2017-2018学年高中数学（人教A版选修2-1）学业分层测评：2.2.1 椭圆及其标准方程
文档属性
| 名称 | 2017-2018学年高中数学（人教A版选修2-1）学业分层测评：2.2.1 椭圆及其标准方程 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 51.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2017-06-01 10:44:47 | ||
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文档简介
学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1.如果方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是( )
A.(3，＋∞)
B.(－∞，－2)
C.(3，＋∞)∪(－∞，－2)
D.(3，＋∞)∪(－6，－2)
【解析】 由于椭圆的焦点在x轴上，
所以即
解得a＞3或－6＜a＜－2，故选D.
【答案】 D
2.已知椭圆过点P和点Q，则此椭圆的标准方程是( )
A.＋x2＝1
B.＋y2＝1或x2＋＝1
C.＋y2＝1
D.以上都不对
【解析】 设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)，
则
∴
∴椭圆的方程为x2＋＝1.
【答案】 A
3.设F1，F2是椭圆＋＝1的两个焦点，P是椭圆上的点，且|PF1|∶|PF2|＝2∶1，则△F1PF2的面积等于( )
A.5
B.4
C.3
D.1【解析】 由椭圆方程，得a＝3，b＝2，c＝，∴|PF1|＋|PF2|＝2a＝6，又|PF1|∶|PF2|＝2∶1，∴|PF1|＝4，|PF2|＝2，由22＋42＝(2)2，可知△F1PF2是直角三角形，故△F1PF2的面积为|PF1|·|PF2|＝×4×2＝4，故选B.
【答案】 B4.椭圆mx2＋ny2＝－mn(mA.(0，±)
B.(±，0)
C.(0，±)
D.(±，0)
【解析】 将mx2＋ny2＝－mn(m－n>0，得焦点在y轴上，即a2＝－m，b2＝－n，得c2＝a2－b2＝n－m，故选C.
【答案】 C
5.设P是椭圆＋＝1上一点，P到两焦点F1，F2的距离之差为2，则△PF1F2是( )
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.等腰直角三角形
【解析】 由椭圆定义知，|PF1|＋|PF2|＝2a＝8，
又|PF1|－|PF2|＝2，∴|PF1|＝5，|PF2|＝3，
又|F1F2|＝2c＝2＝4，
即|F1F2|2＋|PF2|2＝|PF1|2，
∴△PF1F2为直角三角形.
【答案】 B
二、填空题
6.已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的两个焦点，P为椭圆C上一点，且⊥.若△PF1F2的面积为9，则b＝________.
【解析】 依题意，有
可得4c2＋36＝4a2，即a2－c2＝9，故有b＝3.
【答案】 3
7.椭圆＋＝1的焦距为4，则m＝________.
【解析】 由题意知或
解得m＝4或m＝8.
【答案】 4或8
8.已知P是椭圆＋＝1上的一动点，F1，F2是椭圆的左、右焦点，延长F1P到Q，使得|PQ|＝|PF2|，那么动点Q的轨迹方程是________.
【解析】 如图，依题意，|PF1|＋|PF2|＝2a(a是常数且a＞0).
又|PQ|＝|PF2|，
∴|PF1|＋|PQ|＝2a，
即|QF1|＝2a.
由题意知，a＝2，b＝，c＝＝＝1.
∴|QF1|＝4，F1(－1,0)，
∴动点Q的轨迹是以F1为圆心，4为半径的圆，
∴动点Q的轨迹方程是(x＋1)2＋y2＝16.
【答案】 (x＋1)2＋y2＝16
三、解答题
9.设F1，F2分别是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点.设椭圆C上一点到两焦点F1，F2的距离和等于4，写出椭圆C的方程和焦点坐标.
【解】 ∵椭圆上一点到两焦点的距离之和为4，
∴2a＝4，a2＝4，
∵点是椭圆上的一点，
∴＋＝1，
∴b2＝3，∴c2＝1，
∴椭圆C的方程为＋＝1.
焦点坐标分别为(－1,0)，(1,0).10.求满足下列条件的椭圆的标准方程：
(1)焦点在y轴上，焦距是4，且经过点M(3,2)；
(2)c∶a＝5∶13，且椭圆上一点到两焦点的距离的和为26.
【解】 (1)由焦距是4，可得c＝2，且焦点坐标为(0，－2)，(0,2).
由椭圆的定义知，
2a＝＋＝8，
所以a＝4，所以b2＝a2－c2＝16－4＝12.又焦点在y轴上，
所以椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)由题意知，2a＝26，即a＝13，又因为c∶a＝5∶13，所以c＝5，
所以b2＝a2－c2＝132－52＝144，
因为焦点所在的坐标轴不确定，
所以椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.
[能力提升]
1.已知椭圆＋y2＝1的焦点为F1、F2，点M在该椭圆上，且·＝0，则点M到x轴的距离为( )
A.
B.
C.
D.
【解析】 设M(x0，y0)，由F1(－，0)，F2(，0)得＝(－－x0，－y0)，＝(－x0，－y0)，
由·＝0得x＋y＝3，
又＋y＝1，解得y0＝±.
即点M到x轴的距离为，故选C.
【答案】 C
2.已知M为椭圆＋＝1上一点，F1为椭圆的一个焦点，且|MF1|＝2，N为MF1的中点，O为坐标原点，则ON的长为( )
A.2
B.4 C.8 D.
【解析】 设椭圆的另一个焦点为F2，由椭圆的定义可知|MF1|＋|MF2|＝10.
又|MF1|＝2，∴|MF2|＝8.
∴|ON|＝|MF2|＝4.
【答案】 B
3.椭圆＋＝1的一个焦点为F1，点P在椭圆上.如果线段PF1的中点M在y轴上，那么点M的纵坐标是________.
【解析】 由条件可取F1(－3,0)，
∵PF1的中点在y轴上，
∴设P(3，y0)，
由P在椭圆＋＝1上得y0＝±，
∴M的坐标为.
【答案】 ±
4.设椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左右焦点分别为F1，F2，过点F2的直线与椭圆C相交于A，B两点(如图2 2 3)，∠F1F2B＝，△F1F2A的面积是△F1F2B面积的2倍.若|AB|＝，求椭圆C的方程.
图2 2 3
【解】 由题意可得S△F1F2A＝2S△F1F2B，
∴|F2A|＝2|F2B|，
由椭圆的定义得
|F1B|＋|F2B|
＝|F1A|＋|F2A|＝2a，
设|F2A|＝2|F2B|＝2m，
在△F1F2B中，由余弦定理得
(2a－m)2＝4c2＋m2－2·2c·m·cos
m＝.
在△F1F2A中，同理可得m＝，
所以＝，解得2a＝3c，
可得m＝，|AB|＝3m＝＝，c＝4.
由＝，得a＝6，b2＝20，
所以椭圆C的方程为＋＝1.
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1.如果方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是( )
A.(3，＋∞)
B.(－∞，－2)
C.(3，＋∞)∪(－∞，－2)
D.(3，＋∞)∪(－6，－2)
【解析】 由于椭圆的焦点在x轴上，
所以即
解得a＞3或－6＜a＜－2，故选D.
【答案】 D
2.已知椭圆过点P和点Q，则此椭圆的标准方程是( )
A.＋x2＝1
B.＋y2＝1或x2＋＝1
C.＋y2＝1
D.以上都不对
【解析】 设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)，
则
∴
∴椭圆的方程为x2＋＝1.
【答案】 A
3.设F1，F2是椭圆＋＝1的两个焦点，P是椭圆上的点，且|PF1|∶|PF2|＝2∶1，则△F1PF2的面积等于( )
A.5
B.4
C.3
D.1【解析】 由椭圆方程，得a＝3，b＝2，c＝，∴|PF1|＋|PF2|＝2a＝6，又|PF1|∶|PF2|＝2∶1，∴|PF1|＝4，|PF2|＝2，由22＋42＝(2)2，可知△F1PF2是直角三角形，故△F1PF2的面积为|PF1|·|PF2|＝×4×2＝4，故选B.
【答案】 B4.椭圆mx2＋ny2＝－mn(m
B.(±，0)
C.(0，±)
D.(±，0)
【解析】 将mx2＋ny2＝－mn(m
【答案】 C
5.设P是椭圆＋＝1上一点，P到两焦点F1，F2的距离之差为2，则△PF1F2是( )
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.等腰直角三角形
【解析】 由椭圆定义知，|PF1|＋|PF2|＝2a＝8，
又|PF1|－|PF2|＝2，∴|PF1|＝5，|PF2|＝3，
又|F1F2|＝2c＝2＝4，
即|F1F2|2＋|PF2|2＝|PF1|2，
∴△PF1F2为直角三角形.
【答案】 B
二、填空题
6.已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的两个焦点，P为椭圆C上一点，且⊥.若△PF1F2的面积为9，则b＝________.
【解析】 依题意，有
可得4c2＋36＝4a2，即a2－c2＝9，故有b＝3.
【答案】 3
7.椭圆＋＝1的焦距为4，则m＝________.
【解析】 由题意知或
解得m＝4或m＝8.
【答案】 4或8
8.已知P是椭圆＋＝1上的一动点，F1，F2是椭圆的左、右焦点，延长F1P到Q，使得|PQ|＝|PF2|，那么动点Q的轨迹方程是________.
【解析】 如图，依题意，|PF1|＋|PF2|＝2a(a是常数且a＞0).
又|PQ|＝|PF2|，
∴|PF1|＋|PQ|＝2a，
即|QF1|＝2a.
由题意知，a＝2，b＝，c＝＝＝1.
∴|QF1|＝4，F1(－1,0)，
∴动点Q的轨迹是以F1为圆心，4为半径的圆，
∴动点Q的轨迹方程是(x＋1)2＋y2＝16.
【答案】 (x＋1)2＋y2＝16
三、解答题
9.设F1，F2分别是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点.设椭圆C上一点到两焦点F1，F2的距离和等于4，写出椭圆C的方程和焦点坐标.
【解】 ∵椭圆上一点到两焦点的距离之和为4，
∴2a＝4，a2＝4，
∵点是椭圆上的一点，
∴＋＝1，
∴b2＝3，∴c2＝1，
∴椭圆C的方程为＋＝1.
焦点坐标分别为(－1,0)，(1,0).10.求满足下列条件的椭圆的标准方程：
(1)焦点在y轴上，焦距是4，且经过点M(3,2)；
(2)c∶a＝5∶13，且椭圆上一点到两焦点的距离的和为26.
【解】 (1)由焦距是4，可得c＝2，且焦点坐标为(0，－2)，(0,2).
由椭圆的定义知，
2a＝＋＝8，
所以a＝4，所以b2＝a2－c2＝16－4＝12.又焦点在y轴上，
所以椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)由题意知，2a＝26，即a＝13，又因为c∶a＝5∶13，所以c＝5，
所以b2＝a2－c2＝132－52＝144，
因为焦点所在的坐标轴不确定，
所以椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.
[能力提升]
1.已知椭圆＋y2＝1的焦点为F1、F2，点M在该椭圆上，且·＝0，则点M到x轴的距离为( )
A.
B.
C.
D.
【解析】 设M(x0，y0)，由F1(－，0)，F2(，0)得＝(－－x0，－y0)，＝(－x0，－y0)，
由·＝0得x＋y＝3，
又＋y＝1，解得y0＝±.
即点M到x轴的距离为，故选C.
【答案】 C
2.已知M为椭圆＋＝1上一点，F1为椭圆的一个焦点，且|MF1|＝2，N为MF1的中点，O为坐标原点，则ON的长为( )
A.2
B.4 C.8 D.
【解析】 设椭圆的另一个焦点为F2，由椭圆的定义可知|MF1|＋|MF2|＝10.
又|MF1|＝2，∴|MF2|＝8.
∴|ON|＝|MF2|＝4.
【答案】 B
3.椭圆＋＝1的一个焦点为F1，点P在椭圆上.如果线段PF1的中点M在y轴上，那么点M的纵坐标是________.
【解析】 由条件可取F1(－3,0)，
∵PF1的中点在y轴上，
∴设P(3，y0)，
由P在椭圆＋＝1上得y0＝±，
∴M的坐标为.
【答案】 ±
4.设椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左右焦点分别为F1，F2，过点F2的直线与椭圆C相交于A，B两点(如图2 2 3)，∠F1F2B＝，△F1F2A的面积是△F1F2B面积的2倍.若|AB|＝，求椭圆C的方程.
图2 2 3
【解】 由题意可得S△F1F2A＝2S△F1F2B，
∴|F2A|＝2|F2B|，
由椭圆的定义得
|F1B|＋|F2B|
＝|F1A|＋|F2A|＝2a，
设|F2A|＝2|F2B|＝2m，
在△F1F2B中，由余弦定理得
(2a－m)2＝4c2＋m2－2·2c·m·cos
m＝.
在△F1F2A中，同理可得m＝，
所以＝，解得2a＝3c，
可得m＝，|AB|＝3m＝＝，c＝4.
由＝，得a＝6，b2＝20，
所以椭圆C的方程为＋＝1.