2017-2018学年高中数学（人教A版选修1-2）学业分层测评：第2章 2.2.1 第2课时 分析法及其应用

学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．若a，b∈R，则>成立的一个充分不必要条件是(　　)
A．ab>0
B．b>a
C．aD．ab(a－b)<0
【解析】　由a，但>不能推出a∴a的一个充分不必要条件．
【答案】　C
2．求证：－1>－.
证明：要证－1>－，
只需证＋>＋1，
即证7＋2＋5>11＋2＋1，即证>，
∵35>11，
∴原不等式成立．
以上证明应用了(　　)
A．分析法
B．综合法
C．分析法与综合法配合使用D．间接证法
【解析】　该证明方法符合分析法的定义，故选A.
【答案】　A
3．要证：a2＋b2－1－a2b2≤0，只要证明(　　)
A．2ab－1－a2b2≤0
B．a2＋b2－1－≤0
C.－1－a2b2≤0
D．(a2－1)(b2－1)≥0
【解析】　要证a2＋b2－1－a2b2≤0，只要证明(a2－1)＋b2(1－a2)≤0，只要证明(a2－1)(1－b2)≤0，即证(a2－1)(b2－1)≥0.
【答案】　D
4．在不等边三角形中，a为最大边，要想得到∠A为钝角的结论，三边a，b，c应满足什么条件(　　)
A．a2B．a2＝b2＋c2
C．a2>b2＋c2
D．a2≤b2＋c2
【解析】　由余弦定理得
cos
A＝<0，
∴b2＋c2－a2<0，
即b2＋c2【答案】　C
5．分析法又称执果索因法，若用分析法证明“设a>b>c，且a＋b＋c＝0，求证：A．a－b>0
B．a－c>0
C．(a－b)(a－c)>0
D．(a－b)(a－c)<0
【解析】　由题意知 b2＋a(a＋b)<3a2 b2＋a2＋ab<3a2
b2＋ab<2a2 2a2－ab－b2>0
a2－ab＋a2－b2>0 a(a－b)＋(a＋b)(a－b)>0 a(a－b)－c(a－b)>0 (a－b)(a－c)>0，故选C.
【答案】　C
二、填空题
6．设A＝＋，B＝(a>0，b>0)，则A，B的大小关系为________．
【解析】　∵A－B＝－＝＝≥0，∴A≥B.
【答案】　A≥B
7．如果a>b，则实数a，b应满足的条件是________.
【解析】　要使a>b成立，只需(a)2>(b)2，只需a3>b3>0，即a，b应满足a>b>0.
【答案】　a>b>0
8．如图2 2 4，四棱柱ABCD A1B1C1D1的侧棱垂直于底面，满足________时，BD⊥A1C(写上一个条件即可)．
图2 2 4
【解析】　要证BD⊥A1C，只需证BD⊥平面AA1C.因为AA1⊥BD，只要再添加条件AC⊥BD，即可证明BD⊥平面AA1C，从而有BD⊥A1C.
【答案】　AC⊥BD(或底面为菱形)
三、解答题
9．设a，b>0，且a≠b，求证：a3＋b3>a2b＋ab2.
【证明】　法一：分析法
要证a3＋b3>a2b＋ab2成立．
只需证(a＋b)(a2－ab＋b2)>ab(a＋b)成立，
又因a＋b>0，
只需证a2－ab＋b2>ab成立，
只需证a2－2ab＋b2>0成立，
即需证(a－b)2>0成立．
而依题设a≠b，则(a－b)2>0显然成立，
由此命题得证．
法二：综合法
a≠b a－b≠0 (a－b)2>0 a2－2ab＋b2>0 a2－ab＋b2>ab.
注意到a，b>0，a＋b>0，由上式即得
(a＋b)(a2－ab＋b2)>ab(a＋b)．
∴a3＋b3>a2b＋ab2.
10．已知三角形的三边长为a，b，c，其面积为S，求证：a2＋b2＋c2≥4S.
【证明】　要证a2＋b2＋c2≥4S，
只要证a2＋b2＋(a2＋b2－2abcos
C)≥2absin
C，
即证a2＋b2≥2absin(C＋30°)，
因为2absin(C＋30°)≤2ab，
只需证a2＋b2≥2ab，
显然上式成立．所以a2＋b2＋c2≥4S.
[能力提升]1．已知a，b，c，d为正实数，且<，则(　　)
A.<<　　　
B.<<
C.<<
D．以上均可能
【解析】　先取特殊值检验，∵<，
可取a＝1，b＝3，c＝1，d＝2，
则＝，满足<<.
∴B，C不正确．
要证<，∵a，b，c，d为正实数，
∴只需证a(b＋d)只需证<.而<成立，
∴<.同理可证<.故A正确，D不正确．
【答案】　A
2．下列不等式不成立的是(　　)
A．a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca
B.＋>(a>0，b>0)
C.－<－(a≥3)
D.＋>2
【解析】　对于A，∵a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，a2＋c2≥2ac，∴a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca；
对于B，∵(＋)2＝a＋b＋2，()2＝a＋b，∴＋>；
对于C，要证－<－(a≥3)成立，只需证明＋<＋，两边平方得2a－3＋2<2a－3＋2，即<，两边平方得a2－3a对于D，(＋)2－(2)2＝12＋4－24＝4(－3)<0，∴＋<2，故D错误．
【答案】　D
3．使不等式＋2>1＋成立的正整数p的最大值是________.
【解析】　由＋2>1＋，得<＋2－1，
即p<(＋2－1)2，
所以p<12＋4－4－2，
由于12＋4－4－2≈12.7，因此使不等式成立的正整数p的最大值是12.
【答案】　12
4．证明：若a＞b＞c且a＋b＋c＝0，则＜.
【证明】　∵a＞b＞c且a＋b＋c＝0，
∴a＞0，c＜0.
要证＜，
只需证＜a，
即证b2－ac＜3a2.
因为b＝－a－c，
故只需证(a＋c)2－ac＜3a2，
即证2a2－ac－c2＞0，
即证(2a＋c)(a－c)＞0.
∵2a＋c＞a＋b＋c＝0，a－c＞0，
∴(2a＋c)(a－c)＞0成立．
∴原不等式成立．