2017-2018学年高中数学（人教A版选修1-2）学业分层测评：第2章 2.1.1 合情推理

学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．下列说法正确的是(　　)
A．由合情推理得出的结论一定是正确的
B．合情推理必须有前提有结论
C．合情推理不能猜想
D．合情推理得出的结论无法判定正误
【解析】　合情推理得出的结论不一定正确，故A错；合情推理必须有前提有结论，故B对；合情推理中类比推理是根据两个或两类对象有部分属性相同，从而推出它们的其他属性也相同的推理，可进行猜想，故C错；合情推理得出的结论可以进行判定正误，故D错．
【答案】　B
2．下面使用类比推理恰当的是(　　)
A．“若a·3＝b·3，则a＝b”类比推出“若a·0＝b·0，则a＝b”
B．“(a＋b)c＝ac＋bc”类比推出“(a·b)c＝ac·bc”
C．“(a＋b)c＝ac＋bc”类比推出“＝＋(c≠0)”
D．“(ab)n＝anbn”类比推出“(a＋b)n＝an＋bn”
【解析】　由实数运算的知识易得C项正确．
【答案】　C
3．用火柴棒摆“金鱼”，如图2 1 7所示，
图2 1 7
按照上面的规律，第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数为(　　)
A．6n－2　
B．8n－2
C．6n＋2
D．8n＋2
【解析】　从①②③可以看出，从第②个图开始每个图中的火柴棒都比前一个图中的火柴棒多6根，故火柴棒数成等差数列，第一个图中火柴棒为8根，故可归纳出第n个“金鱼”图需火柴棒的根数为6n＋2.
【答案】　C
4．对命题“正三角形的内切圆切于三边中点”可类比猜想：正四面体的内切球切于四面体各正三角形的(　　)
A．一条中线上的点，但不是中心
B．一条垂线上的点，但不是垂心
C．一条角平分线上的点，但不是内心
D．中心
【解析】　由正四面体的内切球可知，内切球切于四个面的中心．
【答案】　D
5．已知整数对的序列为(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，(1,5)，(2,4)，…，则第57个数对是(　　)
A．(2,10)
B．(10,2)
C．(3,5)
D．(5,3)
【解析】　由题意，发现所给数对有如下规律：
(1,1)的和为2，共1个；
(1,2)，(2,1)的和为3，共2个；
(1,3)，(2,2)，(3,1)的和为4，共3个；
(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)的和为5，共4个；
(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)的和为6，共5个．
由此可知，当数对中两个数字之和为n时，有n－1个数对．易知第57个数对中两数之和为12，且是两数之和为12的数对中的第2个数对，故为(2,10)．
【答案】　A
二、填空题
6．观察下列特殊的不等式：
≥2×，
≥×3，
≥×5，
≥2×75，
…
由以上特殊不等式，可以猜测：当a>b>0，s，r∈Z时，有≥________.
【解析】　≥2×＝×2－1，
≥×3＝×5－2，
≥×5＝×8－3，
≥2×75＝×10－5，
由以上特殊不等式，可以猜测：当a>b>0，s，r∈Z时，有≥
s－r.
【答案】　s－r
7．二维空间中圆的一维测度(周长)l＝2πr，二维测度(面积)S＝πr2，观察发现S′＝l；三维空间中球的二维测度(表面积)S＝4πr2，三维测度(体积)V＝πr3，观察发现V′＝S.已知四维空间中“超球”的三维测度V＝8πr3，猜想其四维测度W＝________.
【解析】　因为V＝8πr3，所以W＝2πr4，满足W′＝V.【答案】　2πr4
8．已知{bn}为等比数列，b5＝2，则b1b2b3…b9＝29.若{an}为等差数列，a5＝2，则{an}的类似结论为________．
【解析】　结合等差数列的特点，类比等比数列中b1b2b3…b9＝29可得，在{an}中，若a5＝2，则有a1＋a2＋a3＋…＋a9＝2×9.【答案】　a1＋a2＋a3＋…＋a9＝2×9三、解答题
9．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝－且Sn＋＋2＝an(n≥2)，计算S1，S2，S3，S4，并猜想Sn的表达式．
【解】　先化简递推关系：n≥2时，an＝Sn－Sn－1，
∴Sn＋＋2＝Sn－Sn－1，
∴＋Sn－1＋2＝0.
当n＝1时，S1＝a1＝－.
当n＝2时，＝－2－S1＝－，∴S2＝－.
当n＝3时，＝－2－S2＝－，∴S3＝－.
当n＝4时，＝－2－S3＝－，∴S4＝－.
猜想：Sn＝－，n∈N＋.
10．在Rt△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC于D，求证：＝＋，那么在四面体ABCD中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，并说明理由．
【证明】　如图所示，由射影定理，得
AD2＝BD·DC，AB2＝BD·BC，
AC2＝BC·DC，∴＝
＝＝.
又BC2＝AB2＋AC2，∴＝＝＋.
猜想，在四面体ABCD中，AB，AC，AD两两垂直，AE⊥平面BCD，则＝＋＋.
证明：如图，连接BE并延长交CD于F，连接AF.∵AB⊥AC，AB⊥AD，AC∩AD＝A，
∴AB⊥平面ACD，
又AF 平面ACD，∴AB⊥AF.
在Rt△ABF中，AE⊥BF，
∴＝＋.
在Rt△ACD中，AF⊥CD，
∴＝＋，∴＝＋＋.
[能力提升]
1．根据给出的数塔，猜测123
456×9＋7等于(　　)
1×9＋2＝11；
12×9＋3＝111；
123×9＋4＝1
111；
1
234×9＋5＝11
111；
12
345×9＋6＝111
111；
A．1
111
110
B．1
111
111
C．1
111
112
D．1
111
113
【解析】　由前5个等式知，右边各位数字均为1，位数比前一个等式依次多1位，所以123
456×9＋7＝1
111
111，故选B.
【答案】　B
2．已知结论：“在正三角形ABC中，若D是边BC的中点，G是三角形ABC的重心，则＝2”．若把该结论推广到空间，则有结论：“在棱长都相等的四面体ABCD中，若△BCD的中心为M，四面体内部一点O到四面体各面的距离都相等”，则＝(　　)
A．1
B．2
C．3
D．4
【解析】　如图，设正四面体的棱长为1，即易知其高AM＝，此时易知点O即为正四面体内切球的球心，设其半径为r，利用等体积法有4××r＝×× r＝，故AO＝AM－MO＝－＝，故AO∶OM＝∶＝3∶1.
【答案】　C
3．如图2 1 8所示，椭圆中心在坐标原点，F为左焦点，当⊥时，其离心率为，此类椭圆被称为“黄金椭圆”．类比“黄金椭圆”，可推算出“黄金双曲线”的离心率e等于_____________________________________．
图2 1 8
【解析】　如图所示，设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，
则F(－c,0)，B(0，b)，A(a,0)，
所以＝(c，b)，＝(－a，b)．
又因为⊥，
所以·＝b2－ac＝0，
所以c2－a2－ac＝0，所以e2－e－1＝0，
所以e＝或e＝(舍去)．
【答案】　
4．某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：
①sin213°＋cos217°－sin
13°cos
17°；
②sin215°＋cos215°－sin
15°cos
15°；
③sin218°＋cos212°－sin
18°cos
12°；
④sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos
48°；
⑤sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos
55°.
(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；
(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．
【解】　(1)选择②式，计算如下：
sin215°＋cos215°－sin
15°cos
15°＝1－sin
30°＝1－＝.
(2)三角恒等式为sin2α＋cos2(30°－α)－sin
αcos(30°－α)＝.
证明如下：
sin2α＋cos2(30°－α)－sin
αcos(30°－α)
＝sin2α＋(cos
30°cos
α＋sin
30°sin
α)2－sin
α(cos
30°·cos
α＋sin
30°sin
α)
＝sin2α＋cos2α＋sin
αcos
α＋sin2α－sin
αcos
α－sin2α
＝sin2α＋cos2α＝.