§1.7.1定积分在几何中的简单应用
教学目标：
1、
进一步让学生深刻体会“分割、以直代曲、求和、逼近”求曲边梯形的思想方法；
2、
让学生深刻理解定积分的几何意义以及微积分的基本定理；
3、
初步掌握利用定积分求曲边梯形的几种常见题型及方法；
教学重点：
应用定积分解决平面图形的面积；
教学难点：如何恰当选择积分变量和确定被积函数．教学过程设计
（一）、复习引入，激发兴趣。
【教师引入】展示精美的大桥油画，讲述古代数学家的故事及伟大发现：拱形的面积
油画图片
问：桥拱的面积如何求解呢？
(二)、探究新知，揭示概念
【热身训练】练习１．计算
２．计算
【学生活动】思考口答
【课件展示】定积分表示的几何图形、练习答案.
【热身训练】练习３．用定积分表示阴影部分面积
图1
图2
（三）、分析归纳，抽象概括
探究由曲线所围平面图形的面积解答思路
（四）、知识应用，深化理解
例1．计算由两条抛物线和所围成的图形的面积.
【分析】两条抛物线所围成的图形的面积，可以由以两条曲线所对应的曲边梯形的面积的差得到。
解：，所以两曲线的交点为（0，0）、（1，1），
面积S=，所以=
【点评】在直角坐标系下平面图形的面积的四个步骤：
1.作图象；2.求交点；3.用定积分表示所求的面积；4.微积分基本定理求定积分。例2．计算由直线，曲线以及x轴所围图形的面积S.
分析：首先画出草图（图1.7
一2
)
，并设法把所求图形的面积问题转化为求曲边梯形的面积问题．与例
1
不同的是，还需把所求图形的面积分成两部分S1和S2．为了确定出被积函数和积分的上、下限，需要求出直线与曲线的交点的横坐标，直线与
x
轴的交点．
解：作出直线，曲线的草图，所求面积为图1.
7一2
阴影部分的面积．
解方程组得直线与曲线的交点的坐标为（8,4)
.
直线与x轴的交点为（4,0).
因此，所求图形的面积为S=S1+S2
.
由上面的例题可以发现，在利用定积分求平面图形的面积时，一般要先画出它的草图，再借助图形直观确定出被积函数以及积分的上、下限．
课堂练习
如图，一桥拱的形状为抛物线，已知该抛物线拱的高为常数h，
宽为常数b．
求证：抛物线拱的面积
（五）、归纳小结、布置作业
解由曲线所围的平面图形面积的解题步骤：
1．画草图，求出曲线的交点坐标．2．将曲边形面积转化为曲边梯形面积．
3．根据图形特点选择适当的积分变量．（注意选择y型积分变量时，要把函数变形成用y表示x的函数）
4．确定被积函数和积分区间．
5．计算定积分，求出面积.
布置作业：
0
y
x
x
y
N
M
O
a
b
A
B
C
D
x
y
N
M
O
a
b
A
B
C
D
x
y
O
A
B
C
D
1
1
-1
-1
a
b
X
A
0
y
A2
a
b
曲边梯形（三条直边，一条曲边）
a
b
X
A
0
y
曲边形
面积
A=A1-A2
a
b
1
x
y
O
A
B
C
D
1
1
-1
-1
x
y
O
A
B
C
D
1
1
-1
-1
h
b§1.7.1定积分在几何中的简单应用
教学目标：
进一步让学生深刻体会“分割、以直代曲、求和、逼近”求曲边梯形的思想方法；让学生深刻理解定积分的几何意义以及微积分的基本定理；初步掌握利用定积分求曲边梯形的几种常见题型及方法；体会定积分在物理中应用（变速直线运动的路程、变力沿直线做功）。
教学重点：
曲边梯形面积的求法；
教学难点：定积分在物理中应用．
教学过程设计
（一）、复习引入，激发兴趣。
【教师引入】1、求曲边梯形的思想方法是什么？
2、定积分的几何意义是什么？
3、微积分基本定理是什么？
(二)、探究新知，揭示概念
变力作功
一物体在恒力F（单位：N）的作用下做直线运动，如果物体沿着与F相同的方向移（单位：m)，则力F所作的功为W=Fs
.
探究
(1)求变速直线运动的路程
我们知道，作变速直线运动的物体所经过的路程s，等于其速度函数v=v
(t)
(
v(t)
≥0)
在时间区间上的定积分，即
（2）．变力作功
一物体在恒力F（单位：N）的作用下做直线运动，如果物体沿着与F相同的方向移（单位：m)，则力F所作的功为W=Fs
.
探究
如果物体在变力
F(x）的作用下做直线运动，并且物体沿着与
F
(x)
相同的方向从x
=a
移动到x=b
(a，那么如何计算变力F(x）所作的功W呢？
与求曲边梯形的面积和求变速直线运动的路程一样，可以用“四步曲”解决变力作功问题．可以得到
（三）、分析归纳，抽象概括
作变速直线运动的物体所经过的路程s，等于其速度函数v=v
(t)
(
v(t)
≥0)
在时间区间上的定积分，即
与求曲边梯形的面积和求变速直线运动的路程一样，可以用“四步曲”解决变力作功问题．可以得到
（四）、知识应用，深化理解
例
1.一辆汽车的速度一时间曲线如图1.7
一3
所示．求汽车在这1
min
行驶的路程．
解：由速度一时间曲线可知：
因此汽车在这
1
min
行驶的路程是：
答：汽车在这
1
min
行驶的路程是
1350m
.
例2．如图1·7一4
，在弹性限度内，将一弹簧从平衡位置拉到离平衡位置lm
处，求克服弹力所作的功．
解：在弹性限度内，拉伸（或压缩）弹簧所需的力
F
(
x
）与弹簧拉伸（或压缩）的长度
x
成正比，即
F
(
x
）=
kx
,
其中常数
k
是比例系数．
由变力作功公式，得到
答：克服弹力所作的功为.
课堂练习
如果1N能拉长弹簧1cm，为了将弹簧拉长6cm，需做功（
A
）
A
0.18J
B
0.26J
C
0.12J
D
0.28J
略解：设，则由题可得，所以做功就是求定积分
（五）、归纳小结、布置作业
本节课主要学习了定积分在物理学中的应用，要掌握几种常见图形面积的求法，并且要注意定积分的几何意义，不能等同于图形的面积，要注意微积分的基本思想的应用与理解。
布置作业：
