8.3角的度量
【学习目标】
1.认识度、分、秒，会进行它们之间的简单换算，并会通过角度比较角的大小；
2.了解直角、锐角、钝角的概念，会用量角器度量一个角的大小，并判断它是直角、锐角还是钝角；
3.会用笔算计算两个角度的和、差；
4.了解余角和补角，会判断两个角的互余和互补关系，认识余角和补角的性质。
【课前预习】
学习任务一：阅读教材第10页内容，思考并总结本节课学习的主要内容有哪几个，写在下面的横线上：
学习任务二：
1.知识回顾
⑴你记得角的单位吗？还会用量角器量角吗？
⑵1小时=
分钟，1分钟=
秒。
⑶你能用什么方法比较角的大小？
2.探究新知：角的有关概念
⑴
角度的单位及进位关系：1°=
′；1′=
″；1平角=
°；
1周角=
°。
⑵
角叫直角，
叫锐角，
叫钝角。
互为余角；
互为补角。
学习任务三：阅读课本11页例题1和例题2，合上课本解决下列问题。
1.53 .37 o =__
_ o __
_ ′ ___
_ 〞
24 o 12 ′ 36 〞 =_______ o
90 o -35 o 27 ′= _
__ o _
__ ′
2.已知∠α=37°50′，∠β=52°10′，求∠α+∠β与∠β-∠α。
【课中探究】
问题一：
1.角的度量单位：
、
、
。
一个周角等于
，一个平角等于
．把周角等分为360份
每一份就是
度的角；把1°的角等分成60等份，每一份是
记作
；而把1分的角再等分60份，每一份就是
，记作
〞.
即
1周角=
°；1平角=
°
；
1°=
′；
1′=
〞．
2.
是角的基本度量单位。要测量一个角的大小，我们可以用
来进行。
问题二：
1.进一步理解互为余角、互为补角的定义回答问题：
（1）定义中的“互为”是什么意思？
（2）若
，那么
互为补角吗？
（3）互为余角、互为补角的两个角是否一定有公共顶点？
2.余角、补角的性质（思考并说出理由）
（1）
（2）
问题三：
例1.（1）把18o15'化为用度表示的角；
（2）把93.2o化成用度、分、秒表示的角。
例2.如图，如果与互余,
与互余，那么与相等吗 为什么
解：与相等．
∵与互余,
与互余，
∴
，
，(
)
∴．(
)
【当堂检测】
一、选择题
1.已知∠α=35o，则∠α的余角的度数是（
）
A.55o B.45o C.145o D.135o
2.下列等式中不正确的是（
）
A.1直角=90o B.1周角=2平角 C.1平角=180o D.1平角=4直角
3.36.33o可化为（
）
A.36o30′33″ B.36o33′ C.36o30′30″ D.36o19′48″
4.如果∠1与∠2互余，∠2与∠3互余，则∠1与∠3的关系是（
）
A.∠1>∠3 B.∠1=∠3 C.∠1<∠3 D.不能确定
二、填空题
1.23.62
o＝
o
'
"
;
46
o
43'12"=
o
。
2.已知∠A与∠B互余，若∠A=70o，则∠B的度数为
。
3.∠α与∠β互余，∠α是∠β的2倍，则∠β=
。
4.75o34'的角的余角等于
，36o59'的角的补角等于
。
三、计算
（1）65.450等于几度几分几秒？
（2）75°19'12"
等于多少度？
（3）125012'-36048'
【课后巩固】
1.判断题
（1）一个锐角与一个钝角的和一定大于平角． (
)
（2）一个角一定小于它的余角，也小于它的补角． (
)
（3）如果两个角互补，则它们的角平分线互相垂直． (
)
（4）如两个角互补，则一个角为锐角，另一个为钝角． (
)
（5）互余的两个角的比是4：6，则这两个角分别是、．
(
)
（6）如果，，，那么互为补角． (
)
（7）用一副三角板的内角可画出大于且小于不同度数的角共有11种． (
)
2.填空题
（1）若，，则．
（2）若，，且，则．
（3）若，，则．
（4）若，∠1＋∠2＝180°，且，则．
（5）一副三角板按如图所示的方式放置,则____
__度.
（6）如果∠1+∠2=90
，∠2+∠3=90
，则∠1与∠3
的关系为_______
_，
其理由是_______
___。
如果∠1+∠2=180
，∠2+∠3=180
，
则∠1与∠3的关系为____________
，
其理由是______
_
_
__。
3.已知一个角的补角和这个角的余角互补，求这个角的度数．
4.如图， ，问图中有与互补的角吗
（5题图）8.1
角的表示
教学目标：1、通过丰富的实例，进一步理解角的两种定义方式以及顶点、边、始边、终边等有关概念.
2、掌握角的表示方法，能在图形中区分不同的角，并把它们分别表示出来。
教学重点：角的概念及角的表示方法.
教学难点：角的表示方法.
教学过程：
一：观看图片引入新课
二、新知探究
知识点1：角的定义及相关概念
（一）从静态的观点来探究角的定义
从铁桥、梯子、标志牌的图片中，你看到角的形象了吗？你还能在生活中找到类似的例子吗？这些角的形象有什么共同特点？与同学交流.
（1）角的定义（一）：有______________
___组成的图形叫做角.这个_____________叫做角的顶点，这两条射线叫做角的_____
_.
（2）如图，点O是角的顶点，射线OA与OB是角的边.
（二）从动态的观点来探究角的定义
从时钟指针的转动、圆规的张开、汽车的雨刷的摆动中，你能发现角的形象吗？
（1）角的定义（二）：
角也可以看做是一条射线绕着_______从
所形成的图形。射线旋转时经过的平面部分是角的内部.
（2）平角的定义：当终止位置与起始位置成一条直线时，所成的角是
.平角等于
.
周角的定义:
当终止位置与起始位置重合时，所成的角是
.周角等于
①
②
③
温馨提示：今后，在本书中所说的角，如果没有特别注明，我们都指不大于平角的角
知识点2：角的表示方法。
学生阅读课本第4页，完成学案（1）和（2）
（1）符号：角符号________.
（2）四种表示方法：
①用三个大写的英文字母表示，如图（1）记作
.表示顶点的字母必须写在
________。
②用一个大写英文字母表示，如图（1）可记作________。
③用一个数字表示，如图（2）可记作_
___、__
__
④用一个希腊字母表示，如图（3）可记作_
___、__
__
三、典型例题
例1
如图，点D在线段AB上。
(1)∠ABC与∠DBC表示同一个角吗？
(2)图中哪些角可以只用一个字母表示？把它们分别写出来。
(3)以点C为顶点的角有哪几个？把它们分别写出来.
(4)数一数，图中共有多少个角？把它们分别写出来。
巩固练习：
（1）图1中有____个角，可以表示为________________
（2）图2中∠ABC可以表示成或可以表示成___
___，
∠2可以表示成______．
（3）图3中可以用一个大写字母表示的角有_____个，它们是_____
__．
图1
图2
图3
四、课堂检测：
1.角的概念及角的表示：
（1）有______________
__组成的图形叫做角.
这个_____________叫做角的顶点，这两条射线叫做角的_____
_.
（2）角也可以看做是一条射线绕着_______从
所形成的图形。射线旋转时经过的平面部分是角的内部.
2.如图,分别用三个大写英文字母表示∠1，∠2、∠3、∠4、∠5
可以表示成
，
可以表示成
，
可以表示成
，
可以表示成
，
可以表示成
3.（1）图中有几个角？表示出这些角。
（2）有能用一个大写字母表示的角吗？表示出来.
4.如图，分别指出以射线OB为一边的角，并用三个大写字母把它们表示出来.
五、课堂小结：本节课你的收获是什么？
六、课下作业
1.下列说法正确的是
（ ）
A.两条射线所组成的图形叫做角
B.周角是一条射线
C.在直线上任取一点作顶点，就可以把这条直线看做一个平角
D.在∠ABC的边BC的延长线上任取一点D
2.如图，下列各组角中，表示同一个角的是
（
）
A.∠BDA与∠BDE
B.∠ACE与∠AEC
C.∠BAD与∠CAE
D.∠ACE与∠ABD
3.图中小于平角的角有（
）
A.5个
B.6个
C.7个
D.8个
4.如图，下列说法正确的是（
）
A.∠BDA就是∠BDE
B.∠ACE就是∠AEC
C.∠BAD就是∠CAE
D.∠ACE就是∠ABD
（第3题）
（第4题）
（第5题）
5.如图，分别用三个大写英文字母表示.可以表示成
，可以表示成
，可以表示成
.
6.
根据下图，填写表格，将图中的角用不同的方法表示出来.
∠ABE
∠1
∠A
∠2
∠3
7.下面各图中哪些角可以用一个大写英文字母表示？哪些角必须用三个大写英文字母表示？把它们写出来。
8.如图，图（1）有
个角，图（2）中有
，图（3）中有
，以此类推，若一个角内有n条射线，此时共有
个角.
1
28.4对顶角
【学习目标】
1.使学生知道什么是对顶角，并会判断哪些是对顶角；
2.掌握对顶角的性质：对顶角相等，并会运用此性质进行简单计算；
3.会用简单的几何证明语言进行叙述。
【课前预习】
学习任务一：
1.如果∠1+
∠2=1800，则∠1与∠2是——————
2.已知∠1=300，
∠2是∠1的邻补角，则∠2=————
3.∠
1与∠2互为补角，
∠3与∠2也互为补角，则∠1
———
∠3
4.观察∠AOC和∠BOD这两个角，它们有什么特点？
B
O
边的关系
，顶点的关系
。
结论：象这样两个
的角，其中一个角的两边与另一个角的两边是
的射线，这两个角叫做对顶角。
在上图中可得到：
与∠BOD是对顶角,∠AOD与
是对顶角
辨析：下列各图中的角是否是对顶角？
（1）
（2）
（3）
（4）
学习任务二：
操作：每个同学画一对对顶角，
分别量出它们的度数。
猜想：∠1=∠2,∠3=∠4
说明理由：
结论：如果两个角是对顶角，那么
。
简单的说：
。
【课中探究】
问题一：
例题：
已知：直线AB与直线CD相交于O，
∠AOC=120°，求∠BOD，
∠BOC，∠DOA各为多少度？
问题二：
如图：
∠AOE=40°，
∠BOD=90°
那么，∠DOF
=-----
∠EOC=-----
∠BOC=-----
∠EOD=-----
问题三：
已知：直线AB、CD相交于点O，OG平分∠
BOC，
∠
BOG=68°，求∠
AOD。
（根据题意在下面方框内画出图形）
【当堂检测】
一、选择题
1.如图，直线和相交于，那么图中与的关系是（
）
A.对顶角
B.相等
C.互余
D.互补
2.下列说法中，正确的是（
）
A.相等的角为对顶角 B.对顶角不可能是直角
C.两直线相交，有三对对顶角相等
D.对顶角相等
二、填空
3.如图，其中共有________对对顶角。
4.如图1,直线AB、CD、EF相交于点O,∠BOE的
对顶角是_______,若∠AOC:∠AOE=2:3,∠EOD=130°,则∠BOC=_________.
(1)
(2)
5.如图2,直线AB、CD相交于点O,∠COE=90°,∠AOC=30°,∠FOB=90°,
则∠EOF=
三、计算
6.已知：直线AB与直线CD相交于O，
∠AOC=120°，求∠BOD，
∠BOC，∠DOA各为多少度？
【课后巩固】
一、判断题（对的打“√”，错的打“×”）
（1）没有公共边的两个角是对顶角.（ ）
（2）有公共顶点的两个角是对顶角.（ ）
（3）两条直线相交所成的四个角中，不相邻的两个角是对顶角.（ ）
（4）有公共顶点且有一条公共边的两个角互为邻补角.（ ）
（5）对顶角的补角相等.（ ）
二、填空
（1）对顶角的重要性质是 .
（2）一条直线与端点在这条直线上的一条射线组成的两个角是 .
（3）两个角互为邻补角，它们的平分线所成的角是 度.
（4）如图2—11，直线AB、CD、EF相交于点O，则∠AOC的对顶角是 ，∠AOD的对顶角是 ，∠BOC的邻补角是 和 ，∠BOE的邻补角是
和 .
三、解答题：
1.如图，直线AB，CD相交于O点，OE⊥CD，OF⊥AB，图中有哪些相等的角？
请说明理由。
C
A
D
A
B
C
D
O
1
2
3
4
D
A
F
E
O
B
C8.5
垂直
学习目标：
1.从实际问题中发现两条直线的垂直关系及垂线的性质。
2.会用三角板或量角器过一点画已知直线的垂线。
3.了解垂直的表示方法，建立初步的符号。
4.通过操作观察，归纳总结出“垂线段最短”的事实。
学法指导：
通过观察、折叠、交流、验证等数学活动，从不同的角度和方式来思考问题，真正理解和掌握数学知识，并能选择恰当的方法来解决实际问题，培养发散思维，提高判断能力。
（预习案）：
自主学习：
1、阅读课本P19的内容，说出上面所画图形中两条直线的关系。
2、用语言概括垂直定义
3、垂直的表示方法：
4、垂直的推理应用：
（1）∵∠AOD=90°（
）
∴AB⊥CD
（
）
（2）∵
AB⊥CD
（
）
∴
∠AOD=90°
（
）
合作交流：
1、用三角尺或量角器画已知直线L的垂线.
(1)
已知直线L，画出直线L的垂线，能画几条
L
小组内交流,明确直线L的垂线有_________条,即存在,但位置有不_____性。
(2)
怎样才能确定直线L的垂线位置呢
在直线L上取一点A,过点A画L的垂线,
能画几条 再经过直线L外一点B画直线L的垂线,这样的垂线能画出几条
2、变式训练,请完成课本P21练习第1、2题的画图。
3、情景问题：
如图，要把河流L中的水引到农田P处，如何挖渠能使渠道最短
4、写下自己预习过程中发现的问题:
（探究案）
一、课堂展示
展示预习中解决不了的疑难问题。
二、精讲点拨：（生讲，师讲相结合，重点知识，重点巩固）
如图所示,下列说法不正确的是(
)
A.点B到AC的垂线段是线段AB;
B.点C到AB的垂线段是线段AC；
C.线段AD是点D到BC的垂线段;
D.线段BD是点B到AD的垂线段。
三、对标自查（对照学习目标，回顾解决了那些那些问题）
四、达标检测：
1、画一条线段的垂线,垂足在(
)
A.线段上
B.线段的端点
C.线段的延长线上
D.以上都有可能
2、下列时刻中,时针与分针互相垂直的是(
)
A.2点20分
B.
3点整
C.12点10分
D.5点40分
3、如图，污水处理厂A要把处理过的水引入排水沟PQ，应如何铺设排水管道，才能使用料最短，试画出铺设管道路线，并说明理由。
五、学后反思
1、
在同一平面内如果两条直线互相垂直，那么这两条直线相交所成的角一定是（
）
A．平角
B．直角
C．钝角
D．锐角
2、如图，PO⊥OR，OQ⊥PR，能表示点到直线(或线段)的距离的线段有（
）
A．五条
B．二条
C．三条
D．四条
3、体育课上，老师测量某同学的跳远成绩的依据是（
）
A．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行
B．两点之间线段最短
C．垂线段最短
D．两点之间确定一条直线,
4、将一张长方形的白纸如图形式的折叠，使D到
落
D’处，E到落E’处，并且BD’与BE’
在同一直线上，那
么AB与BC的位置关系是
.
五、当堂达标
1、在下列各图中，请你过点P画出AB的垂线．
2、在下图(2)中分别画出点A、点B到直线CD的垂线段AE、BF．
3、如图3，一棵小树生长时与地面所成的角为80°，它的根深入泥土，如果根和小树在同一条直线上，那么∠2等于
°。
4、如图4，∠ACB=90°,CD⊥AB，则图中与∠A互余的角有
个，它们分别是
。∠A=∠
,根据是
。课题：8.2 角的比较
一、学习目标：
1、通过联想线段大小的比较方法，找到角的大小的比较方法。
2、通过联想线段和、差、倍、分的作法，掌握角的和、差、倍、分的作法和计算。
3、掌握角的平分线的定义以及数学表达式。
4、培养学生类比联想的思维能力和对知识的迁移能力。
二、学习过程：
认真阅读课本第7页“实验与探究”的内容，完成下列问题：
与用叠合法比较两条线段大小关系的方法类似，两个角也可以比较大小：将∠A′O′B′的顶点O′与∠AOB的顶点O重合，边O′A′与边OA重合，另一边O′B′与边OB在重合边的同旁：
（1）如果O′B′与OB重合，那么就说∠A′O′B′＿＿∠AOB；
（2）如果O′B′落在OB的外部，那么就说∠A′O′B′＿＿∠AOB；
（3）如果O′B′落在OB的内部，那么就说∠A′O′B′＿＿∠AOB；
2、如右图所示：∠AOB＝∠＿＿＿＋∠＿＿＿；∠BOC＝∠＿＿＿－∠＿＿＿；
∠AOC＝∠＿＿＿－∠＿＿＿；
如图所示：如果∠AOC＝∠BOC，
那么∠AOC＝∠BOC＝2∠＿＿＿＿；∠AOC＝∠＿＿＿；
一条射线（OC）把一个角（∠AOB）分成了两个相等的角，
这条射线叫做这个角的＿＿＿＿＿.
如果射线OC是∠AOB平分线，那么∠AOC＝∠＿＿＿，AOB＝2∠＿＿＿＝2∠＿＿＿＿；∠AOC＝∠＿＿＿，∠BOC＝∠＿＿＿；
4、如图所示：如果∠AOC＝∠COD＝∠DOB，∠AOC＝∠＿＿＿；
∠AOB＝3∠＿＿＿＿；
一般地：如果∠＝n∠，那么∠＝
学以致用：如图所示：在∠AOC的内部画射线OB，在∠AOC的外部画射线OD.
∠AOC是哪两个角的和？是哪两个角的差？∠BOD是哪两个角的和？是哪两个角的差？当∠AOB＝∠COD时，你能找出其他相等的角吗？
解：
三、小结：
四、课堂练习：A组P9
练习
看图填空：
（1）∠AOD＝∠AOC＋＿＿＿＿＿；
（2）∠AOD－∠BOD＝＿＿＿＿＿；（3）∠BOC＝＿＿＿＿－∠COD.
2、利用叠合的方法，比较一个三角尺中的三个角与同一副中另一个三角尺的三个角的大小.
习题8.2
如图，∠AOB是平角，过点O作射线OE，OC，OD.
（1）∠BOE能表示成哪两个角的和？你有几种不同的表示方法？
（2）∠AOE能表示成哪两个角的差？你有几种不同的表示方法？
2、填空题：如图，已知∠AOB＝∠BOC＝∠COD，那么∠BOC＝
3、如图，如果∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝∠DOE，那么射线OB，OC和OD分别是哪些角的平分线？
如图，已知∠AOC＝∠BOD，OE是∠BOC的平分线，图中还有哪些相等的角？说明理由.
5、选择题：如图，在下面的四个等式中，不能表示“OC是∠AOB的平分线”的是（ ）
（A）∠AOC＝∠BOC （B）∠AOC＝∠AOB
（C）∠AOB＝2∠BOC （D）∠AOC＋∠BOC＝∠AOB
B组：
1、3∶30时，时针与分针所成的角是（
）．
A．锐角
B．直角
C．钝角
D．平角
2、填“>”或“<”．
（1）直角
锐角，直角
钝角，钝角
锐角，直角
钝角
平角．
（2）如图1，
∠AOC
∠AOB
∠BOD
∠COD
∠AOC
∠AOD
∠BOD
∠BOC
3、看图2填空：
（1）．
（2）若，，则，若，，，则，．
（3）
＝，．
4、如图3，为直线上一点，
平分，平分，则；
若，则，，
（图3）
，．
5、如图,∠AOB是平角,OD、OC、OE是三条射线,OD是∠AOC的平分线,
请你补充一个条件， 使∠DOE=90°,并说明你的理由.
