2017-2018学年高一数学苏教版必修4：章末综合测评1

章末综合测评(一)　三角函数
(时间120分钟，满分160分)
一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在题中横线上)
1.若sin
α＜0且tan
α＞0，则α是第________象限角.
【解析】　∵sin
α＜0，tan
α＞0，
∴α是第三象限角.
【答案】　三
2.已知圆的半径是6
cm，则15°的圆心角与圆弧围成的扇形面积是________.
【解析】　15°化为弧度为，设扇形的弧长为l，
则l＝6×＝，
其面积S＝lR＝××6＝.
【答案】　
3.cos
675°＝________.
【解析】　cos
675°＝cos(675°－720°)＝cos(－45°)
＝cos
45°＝.
【答案】　
4.把－表示成θ＋2kπ(k∈Z)的形式，使|θ|最小的θ的值是________.
【解析】　∵－＝－2π－，∴－与－是终边相同的角，且此时＝是最小的.
【答案】　－
5.角α，β的终边关于x轴对称，若α＝30°，则β＝________.
【解析】　画出图形，可知β的终边与－α的终边相同，故β＝－30°＋k·360°，k∈Z.
【答案】　－30°＋k·360°，k∈Z
6.函数y＝cos，x∈的值域是________.
【解析】　由0≤x≤，得≤x＋≤，
∴－≤cos≤.
【答案】　
7.设α是第二象限角，则·等于________.
【解析】　因为α是第二象限角，
所以·
＝·
＝·
＝·＝－1.
【答案】　－1
8.将函数f(x)＝sin(ωx＋φ)图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移个单位长度得到y＝sin
x的图象，则f＝________.
【解析】　将y＝sin
x的图象向左平移个单位长度可得y＝sin的图象，保持纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍可得y＝sin的图象，故f(x)＝sin.所以f＝sin＝sin
＝.
【答案】　
9.若3sin
α＋cos
α＝0，则的值为________.
【解析】　由3sin
α＋cos
α＝0，得tan
α＝－，
∴＝
＝＝＝.
【答案】　
10.已知点P(tan
α，sin
α－cos
α)在第一象限，且0≤α≤2π，则角α的取值范围是________.
【解析】　∵点P在第一象限，
∴
由①知0＜α＜或π＜α＜，　③
由②知sin
α＞cos
α.
作出三角函数线知，在[0，2π]内满足sin
α＞cos
α的α∈.　④
由③，④得α∈∪.
【答案】　∪
11.已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω＞0)的图象如图1所示，则f＝________.
图1
【解析】　由图象知T＝π，
∴T＝，A＝2，
又∵T＝，∴ω＝3，将点代入y＝2sin(3x＋φ)得：sin＝0，取φ＝－π，
∴f(x)＝2sin，
∴f＝2sin＝2sin
π＝0.
【答案】　0
12.化简：＝________.
【解析】　原式＝
＝＝
＝cos
20°－sin
20°.
【答案】　cos
20°－sin
20°
13.如图2为一半径是3
m的水轮，水轮圆心O距离水面2
m，已知水轮每分钟旋转4圈，水轮上的点P到水面的距离y(m)与时间x(s)满足函数关系y＝Asin(ωx＋φ)＋2，则ω＝________，A＝________.
图2
【解析】　由题意知，半径即是振幅，A＝3，因为水轮每分钟旋转4圈，即周期为T＝＝15
s，所以ω＝＝.
【答案】　　3
14.关于函数，有下列命题：
①其最小正周期为π；
②其图象由y＝2sin
3x向左平移个单位而得到；
③其表达式可以写成f(x)＝2cos；
④在x∈为单调递增函数.
则其中真命题为________.(需写出所有真命题的序号)
【解析】　①由f(x)＝2sin得T＝，故①正确.
②y＝2sin
3x向左平移个单位得y＝2sin3x＋π，故②不正确.
③由f(x)＝2sin
＝2sin
＝－2sin
＝2sin
＝2cos，
故③正确.
④由2kπ－≤3x－π≤2kπ＋(k∈Z)得kπ＋≤x≤kπ＋π(k∈Z)，
∴f(x)＝2sin的单调递增区间为(k∈Z).
当k＝0时，增区间为，
故④正确.
【答案】　①③④
二、解答题(本大题共6小题，共90分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(本小题满分14分)(1)已知角α的终边经过点P(4，－3)，求2sin
α＋cos
α的值；
(2)已知角α终边上一点P与x轴的距离与y轴的距离之比为3∶4，求2sin
α＋cos
α的值.
【解】　(1)∵r＝＝5，
∴sin
α＝＝－，cos
α＝＝，
∴2sin
α＋cos
α＝－＋＝－.
(2)当点P在第一象限时，
sin
α＝，cos
α＝，2sin
α＋cos
α＝2；
当点P在第二象限时，
sin
α＝，cos
α＝－，2sin
α＋cos
α＝；
当点P在第三象限时，
sin
α＝－，cos
α＝－，2sin
α＋cos
α＝－2；
当点P在第四象限时，sin
α＝－，cos
α＝，2sin
α＋cos
α＝－.
16.(本小题满分14分)已知sin(α－3π)＝2cos(α－4π).
(1)求的值；
(2)求sin2α＋2sin
αcos
α－cos2α＋2的值.
【解】　由已知，得－sin(3π－α)＝2cos(4π－α)，
∴－sin(π－α)＝2cos(－α)，
∴sin
α＝－2cos
α.
∵cos
α≠0，∴tan
α＝－2.(1)原式＝＝
＝＝＝－.
(2)原式＝＋2
＝＋2
＝＋2＝.
17.(本小题满分14分)已知函数f(x)＝3sin.
(1)用五点法画出它在一个周期内的闭区间上的图象；
图3
(2)写出f(x)的值域、周期、对称轴、单调区间.
【解】　(1)列表如下：
x＋
0
π
2π
x
－
sin
0
1
0
－1
0
3sin
0
3
0
－3
0
描点画图如图所示.
(2)由上图可知：值域为[－3，3]，周期为2π，
对称轴为，
单调增区间为(k∈Z)，
单调减区间为(k∈Z).
18.
(本小题满分16分)在△ABC中，AC＝6，cos
B＝，C＝.求cos的值.
【解】在△ABC中，A＋B＋C＝π，所以A＝π－(B＋C)，
于是cos
A＝－cos(B＋C)＝－cos
＝－cos
Bcos
＋sin
Bsin
.
又cos
B＝，sin
B＝，
故cos
A＝－×＋×＝－.
因为0A＝＝.
因此，cos＝cos
Acos
＋sin
Asin
＝－×＋×＝.
19.(本小题满分16分)已知函数y＝asin＋b在x∈上的值域为[－5，1]，求a，b的值.
【解】　由题意知a≠0.∵x∈，
∴2x＋∈，
∴sin∈.
当a＞0时，解得
当a＜0时，
解得
综上，a＝4，b＝－3或a＝－4，b＝－1.
20.(本小题满分16分)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B的一系列对应值如下表：
x
－
y
－1
1
3
1
－1
1
3
(1)根据表格提供的数据求出函数f(x)的一个解析式；
(2)根据(1)的结果，若函数y＝f(kx)(k＞0)的周期为，当x∈时，方程f(kx)＝m恰有两个不同的解，求实数m的取值范围.
【解】　(1)设f(x)的最小正周期为T，得T＝－＝2π.由T＝，得ω＝1.
又解得
令ω·＋φ＝＋2kπ，k∈Z，
即＋φ＝＋2kπ，k∈Z，即φ＝－＋2kπ，k∈Z.
又|φ|＜，解得φ＝－，
∴f(x)＝2sin＋1.
(2)∵函数y＝f(kx)＝2sin＋1的周期为，又k＞0，∴k＝3.
令t＝3x－，∵x∈，∴t∈.
如图，sin
t＝s在上有两个不同的解的条件是s∈，∴方程f(kx)＝m在x∈时，恰有两个不同的解的条件是m∈，即实数m的取值范围是[＋1，3).