2017-2018学年高一数学苏教版必修4：章末综合测评2

章末综合测评(二)　平面向量
(时间120分钟，满分160分)
一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在题中横线上)
1.已知作用在点A(1，1)的三个力F1＝(3，4)，F2＝(2，－5)，F3＝(3，1)，则合力F＝F1＋F2＋F3的终点坐标是________.
【解析】　∵F＝(8，0)，∴终点坐标为(8，0)＋(1，1)＝(9，1).
【答案】　(9，1)
2.－＋＋＝________.
【解析】　原式＝＋＋＝0+＝
.
【答案】　
3.若向量a＝(1，1)，b＝(1，－1)，c＝(－1，2)，若c＝λa＋μb，则λ，μ的值分别是________.
【解析】　∵c＝λa＋μb，
∴(－1，2)＝(λ，λ)＋(μ，－μ)，
∴∴
【答案】　，－
4.已知两点A(4，1)，B(7，－3)，则与向量同向的单位向量的坐标是________.
【解析】　＝(3，－4)，||＝5，∴e＝＝(3，－4)＝.
【答案】　
5.已知向量a＝(3x，1)，b＝(2，－5)，若a∥b，则x＝________.
【解析】　∵a∥b，∴－15x＝2，x＝－.
【答案】　－
6.若|a|＝1，|b|＝2，a·b＝－1，则|a－b|＝________.
【解析】　∵|a|＝1，|b|＝2，a·b＝－1
∴|a－b|＝＝＝.
【答案】　
7.平面向量a，b中，若a＝(4，－3)，|b|＝1，且a·b＝5，则向量b＝________.
【解析】　设b＝(x，y)，则
∴即b＝.
【答案】　
8.下列5个说法：
①共线的单位向量是相等向量；
②若a，b，c满足a＋b＝c时，则以|a|，|b|，|c|为边一定能构成三角形；
③对任意的向量，必有|a＋b|≤|a|＋|b|；
④(a·b)c＝c(b·c)；
⑤(a＋b)·c＝a·c＋b·c.其中正确的是________.
【解析】　共线也有可能反向，故①不正确；若|a|＝0，显然不能构成三角形，故②不正确；由数量积的性质知④不正确；由向量加法的三角形法则知③正确；由数量积的性质知⑤正确.
【答案】　③⑤
9.已知a＝(1，n)，b＝(－1，n)，且2a－b与b垂直，则|a|等于________.
【解析】　2a－b＝(3，n)，∵(2a－b)·b＝0，∴n2－3＝0，∴n2＝3，∴|a|2＝1＋n2＝4，∴|a|＝2.
【答案】　2
10.已知向量a＝(2，－1)，b＝(x，－2)，c＝(3，y)，若a∥b，(a＋b)⊥(b－c)，M(x，y)，N(y，x)，则向量的模为________.
【解析】　∵a∥b，∴2×(－2)－(－1)x＝0，解得x＝4，∴b＝(4，－2)，∴a＋b＝(6，－3)，b－c＝(1，－2－y).
∵(a＋b)⊥(b－c)，∴(a＋b)·(b－c)＝0，
即6－3(－2－y)＝0，解得y＝－4，
∴＝(y－x，x－y)＝(－8，8)，∴||＝8.
【答案】　8
11.△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量a，b满足＝2a，＝2a＋b，则下列结论正确的是________.
(1)|b|＝1；(2)a⊥b；(3)a·b＝1；(4)(4a＋b)⊥.
【解析】　如图△ABC是边长为2的等边三角形.
由已知b＝－2a＝－＝，
显然(1)(2)(3)错，(4a＋b)·＝2·＋||2＝2×2×2×cosπ＋22＝0，∴(4a＋b)⊥.
【答案】　(4)
12.如图1，非零向量＝a，＝b，且BC⊥OA，C为垂足，若＝λa，则λ＝________.
图1
【解析】　＝－＝λa－b，∵⊥，∴a·(λa－b)＝0，则λ＝.
【答案】　
13.已知向量a＝(6，2)，b＝，直线l过点A(3，－1)且与向量a＋2b垂直，则直线l的方程为________.
【解析】　∵a＋2b＝(－2，3)，
在l上任取一点P(x，y)，则有⊥(a＋2b)，
∴·(a＋2b)＝0，
∴(x－3，y＋1)·(－2，3)＝0，
∴2x－3y－9＝0.
【答案】　2x－3y－9＝0
14.已知＝(2，2)，＝(4，1)，O为坐标原点，在x轴上求一点P，使·有最小值，则P点坐标为________.
【解析】　设P(x，0)，∴·＝(x－2，－2)·(x－4，－1)＝(x－2)(x－4)＋2＝x2－6x＋10＝(x－3)2＋1，当x＝3时，·有最小值，∴P(3，0).
【答案】　(3，0)
二、解答题(本大题共6小题，共90分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(本小题满分14分)在平行四边形ABCD中，＝a，＝b，
(1)如图2①，如果E，F分别是BC，DC的中点，试用a，b分别表示，.
(2)如图2②，如果O是AC与BD的交点，G是DO的中点，试用a，b表示.
图2
【解】　(1)＝＋＝＋＝－＝－a＋b.
＝＋＝－＝a－b.
(2)＝－＝b－a，
∵O是BD的中点，G是DO的中点，
∴＝＝(b－a)，
∴＝＋＝a＋(b－a)
＝a＋b.
16.(本小题满分14分)已知平面向量a＝(1，x)，b＝(2x＋3，－x)，x∈R.
(1)若a⊥b，求x的值；
(2)若a∥b，求|a－b|.
【解】　(1)若a⊥b，则a·b＝(1，x)·(2x＋3，－x)＝1×(2x＋3)＋x(－x)＝0.
整理得x2－2x－3＝0，解得x＝－1或x＝3.
(2)若a∥b，则有1×(－x)－x(2x＋3)＝0，即x(2x＋4)＝0，解得x＝0或x＝－2.
当x＝0时，a＝(1，0)，b＝(3，0)，∴a－b＝(－2，0)，|a－b|＝2.
当x＝－2时，a＝(1，－2)，b＝(－1，2)，a－b＝(2，－4)，|a－b|＝＝2.
17.(本小题满分14分)在平面直角坐标系xOy中，已知点A(－1，－2)，B(2，3)，C(－2，－1).(1)求以线段AB，AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长；
(2)设实数t满足(－t)·＝0，求t的值.
【解】　(1)由题设，知＝(3，5)，＝(－1，1)，则＋＝(2，6)，－＝(4，4).
所以|＋|＝2，|－|＝4.故所求的两条对角线长分别为4，2.
(2)由题设，知＝(－2，－1)，－t＝(3＋2t，5＋t).
由(－t)·＝0，得(3＋2t，5＋t)·(－2，－1)＝0，从而5t＝－11，所以t＝－.
18.(本小题满分16分)设两个向量e1，e2满足|e1|＝2，|e2|＝1，e1，e2的夹角为60°，若向量2te1＋7e2与e1＋te2的夹角为钝角，求实数t的取值范围.
【解】　由向量2te1＋7e2与e1＋te2的夹角为钝角，
得＜0，
即(2te1＋7e2)·(e1＋te2)＜0.
整理得：2te＋(2t2＋7)e1·e2＋7te＜0.(
)
∵|e1|＝2，|e2|＝1，〈e1，e2〉＝60°.
∴e1·e2＝2×1×cos
60°＝1
∴(
)式化简得：2t2＋15t＋7＜0.
解得：－7＜t＜－.
当向量2te1＋7e2与e1＋te2夹角为180°时，
设2te1＋7e2＝λ(e1＋te2)(λ＜0).
对比系数得，∴
∴所求实数t的取值范围是
∪.
19.(本小题满分16分)设作用于同一点O的三个力F1，F2，F3处
于平衡状态，若|F1|＝1，|F2|＝2，F1与F2的夹角为π，如图3所示.
图3
求：(1)F3的大小；
(2)∠F3OF2的大小.
【解】　(1)F1、F2、F3三个力处于平衡状态，
故F1＋F2＋F3＝0.
即F3＝－(F1＋F2).
∴|F3|＝|F1＋F2|＝
＝
＝＝.
(2)如图所示，以F2所在直线为x轴，合力作用点为坐标原点，建立直角坐标系，将向量F1，F3正交分解，设∠MOF3＝θ，
由受力平衡知
即
将数值代入得∴θ＝.
于是得∠F3OF2＝π－＝π.
20.(本小题满分16分)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知向量a＝(－1，2)，且点A(8，0)，B(n，t)，C(ksin
θ，t)，θ∈.
(1)若⊥a，且||＝||，求向量；
(2)若向量与向量a共线，当k＞4，且tsin
θ取最大值4时，求·.
【解】　(1)因为＝(n－8，t)，且⊥a，
所以8－n＋2t＝0，即n＝8＋2t.
又||＝||，
所以5×64＝(n－8)2＋t2＝5t2，解得t＝±8.
则n＝24或－8，
所以＝(24，8)或(－8，－8).
(2)因为＝(ksin
θ－8，t)，与a共线，
所以t＝－2ksin
θ＋16.
又tsin
θ＝(－2ksin
θ＋16)sin
θ＝－2k2＋，
当k＞4时，1＞＞0，
所以当sin
θ＝时，tsin
θ取得最大值；
由＝4，得k＝8，此时θ＝，
故＝(4，8)，
所以·＝8×4＋8×0＝32.