2017-2018学年高一数学苏教版必修4：章末综合测评3

章末综合测评(三)　三角恒等变换
(时间120分钟，满分160分)
一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在题中横线上)
1.若sin＝，则cos
2α＝________.
【解析】　由sin＝，得cos
α＝，所以cos
2α＝2cos2
α－1＝－.
【答案】　－
2.若sin
αsin
β＝1，则cos(α－β)＝________.
【解析】　∵sin
αsin
β＝1，∴sin
α＝－1，sin
β＝－1或sin
α＝1，sin
β＝1.由sin2α＋cos2α＝1得cos
α＝0.
∴cos(α－β)＝cos
αcos
β＋sin
αsin
β＝0＋1＝1.
【答案】　1
3.sin
163°sin
223°＋sin
253°sin
313°＝________.
【解析】　原式＝－sin
17°cos
47°＋cos
17°sin
47°
＝sin(47°－17°)
＝sin
30°
＝
【答案】　
4.化简：·＝________.
【解析】　原式＝·＝tan
2α.
【答案】　tan
2α
5.若α∈，sin
α＝，则tan
2α＝________.
【解析】　∵α∈，sin
α＝，
∴cos
α＝－，∴tan
α＝－，
∴tan
2α＝＝－.
【答案】　－
6.化简：
cos2－sin2＝________.
【解析】　原式＝－
＝
＝
＝
＝cos
x.
【答案】　cos
x
7.已知sin－cos
＝－，450°＜α＜540°，则tan＝________.
【解析】　已知等式两边平方得sin
α＝，450°＜α＜540°，
∴cos
α＝－，∴tan＝＝2.
【答案】　2
8.tan
19°＋tan
41°＋tan
19°tan
41°的值为________.
【解析】　tan
19°＋tan
41°＝tan
60°(1－tan
19°tan
41°)
＝－tan
19°tan
41°
∴原式＝－tan
19°tan
41°＋tan
19°tan
41°＝.
【答案】　
9.设a＝sin
14°＋cos
14°，b＝sin
16°＋cos
16°，c＝，则a，b，c的大小关系是________.
【解析】　a＝sin
59°，b＝sin
61°，c＝sin
60°，
所以a＜c＜b.
【答案】　a＜c＜b
10.为了得到函数y＝sin
3x＋cos
3x的图象，可以将函数y＝cos
3x的图象向________平移________个单位.
【解析】　y＝sin
3x＋cos
3x＝cos
＝cos
3
故将y＝cos
3x的图象向右平移个单位得到y＝sin
3x＋cos
3x的图象.
【答案】　右　
11.函数y＝sin
xcos
x＋cos2x－图象的对称轴方程为________.
【解析】　∵y＝sin
2x＋cos
2x＝sin
∴由2x＋＝kπ＋得x＝＋(k∈Z).
【答案】　x＝＋，k∈Z
12.已知点P落在角θ的终边上，且θ∈[0，2π)，则tan的值为________.
【解析】　由题意知，点P在第四象限，且落在角θ的终边上，所以tan
θ＝－1，所以tan＝＝＝2－.
【答案】　2－
13.设α，β∈(0，π)，且sin(α＋β)＝，tan
＝，则cos
β的值为________.
【解析】　由tan
＝，得sin
α＝＝＝，∵α∈(0，π)，∴cos
α＝，
由sin(α＋β)＝α，α，β∈(0，π)，α＋β∈，∴cos(α＋β)＝－.
cos
β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos
α＋sin(α＋β)sin
α＝－.
【答案】　－
14.已知函数f(x)＝sin＋sin＋cos
x＋a在区间上的最大值为2，则常数a的值为________.
【解析】　f(x)＝2sin
xcos
＋cos
x＋a＝sin
x＋cos
x＋a＝2sin＋a，又－≤x＋≤，
∴－≤sin≤1，∴a＋2＝2，则a＝0.
【答案】　0
二、解答题(本大题共6小题，共90分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(本小题满分14分)已知sin
α＝cos
2α，α∈，求sin
2α.
【解】　∵sin
α＝1－2sin2α，即2sin2α＋sin
α－1＝0，
∴sin
α＝－1或sin
α＝.
又∵α∈，∴sin
α＝，α＝.
∴cos
α＝.∴sin
2α＝2××＝.
16.(本小题满分14分)求－sin
10°－tan
5°的值.
【解】　原式＝－2sin
10°·
＝－2sin
10°·
＝－2cos
10°＝
＝＝.
17.(本小题满分14分)已知向量a＝(cos
α，sin
α)，b＝(cos
β，sin
β)，|a－b|＝.
(1)求cos(α－β)的值；
(2)若0＜α＜，－＜β＜0，且sin
β＝－，求sin
α的值.
【解】　(1)a－b＝(cos
α－cos
β，sin
α－sin
β)，
|a－b|2＝(cos
α－cos
β)2＋(sin
α－sin
β)2＝2－2cos(α－β)，∴＝2－2cos(α－β)，
∴cos(α－β)＝.
(2)由0＜α＜，－＜β＜0且sin
β＝－，
可知cos
β＝，且0＜α－β＜π，
∵cos(α－β)＝，
∴sin(α－β)＝.
∴sin
α＝sin(α－β＋β)
＝sin(α－β)cos
β＋cos(α－β)sin
β
＝×＋×
＝.
18.(本小题满分16分)已知cos＝－，sin＝且α∈，β∈.
求：(1)cos
；(2)tan(α＋β).
【解】　(1)∵＜α＜π，0＜β＜，
∴＜α－＜π，－＜－β＜，
∴sin＝＝，
cos＝＝.
∴cos＝cos
＝coscos＋sinsin
＝×＋×＝.
(2)又α＋β∈，∴∈，且cos＜0，故tan＜0，∴tan＝－.
∴tan(α＋β)＝＝.
19.(本小题满分16分)已知函数f(x)＝cos
x(sin
x＋cos
x)－.
(1)若0＜α＜，且sin
α＝，求f(α)的值.
(2)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间.
【解】　f(x)＝sin
xcos
x＋cos2x－
＝sin
2x＋－
＝sin
2x＋cos
2x＝sin.
(1)∵0＜α＜，sin
α＝，∴α＝.
从而f(α)＝sin＝sin＝.
(2)T＝＝π.
由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，得
kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.
∴f(x)的单调递增区间为，k∈Z.
20.(本小题满分16分)如图1，在直径为1的圆O中，作一关于圆心对称、邻边互相垂直的十字形，其中y＞x＞0.
图1
(1)将十字形的面积表示成θ的函数；
(2)求十字形的最大面积.
【解】　(1)设S为十字形面积，
则S＝2xy－x2＝2sin
θcos
θ－cos2θ.
(2)S＝2sin
θcos
θ－cos2θ＝sin
2θ－cos
2θ－
＝×－
＝sin(2θ－φ)－(设φ为锐角且tan
φ＝)
当sin(2θ－φ)＝1，即2θ－φ＝时，S最大.
即当θ＝＋时，十字形取得最大面积－.