2017-2018学年高一数学苏教版必修4学业分层测评：1.1.2　弧度制

学业分层测评(二)　弧度制
(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题
1.下列命题中，是假命题的序号为________．
①“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位；
②1°的角是周角的，1
rad的角是周角的；
③1
rad的角比1°的角要大；
④用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关．
【解析】　①②③正确，④错误，角的大小与圆的半径无关．
【答案】　④
2.下列各式正确的是________．
①－270°＝－；②405°＝；
③335°＝；④705°＝.
【解析】　－270°＝－270×＝－；
405°＝405×＝；
335°＝335×＝；
705°＝705×＝.故①②④正确．
【答案】　①②④
3.下列表示中不正确的是________．
①终边在x轴上的角的集合是{α|α＝kπ，k∈Z}；
②终边在y轴上的角的集合是；
③终边在坐标轴上的角的集合是；
④终边在直线y＝x上的角的集合是α＋2kπ，k∈Z.
【解析】　④错误，终边在直线y＝x上的角的集合是.
【答案】　④
4.如图1 1 10所示，图中公路弯道处的弧长l＝________(精确到1
m)．
图1 1 10
【解析】　根据弧长公式，l＝αr＝×45≈47(m)．
【答案】　47
m
5.已知扇形的周长是6
cm，面积为2
cm2，则扇形的圆心角的弧度数是________．【解析】　设圆心角为α，半径为r，弧长为l，
则解得r＝1，l＝4或r＝2，l＝2，
∴α＝＝1或4.
【答案】　1或4
6.已知角α的终边与的终边相同，在[0,2π)内终边与角的终边相同的角为________.
【解析】　由题意得α＝2kπ＋(k∈Z)，
故＝＋(k∈Z)，
又∵0≤<2π，所以当k＝0,1,2时，
有＝，π，π满足题意．
【答案】　，π，π
7．如图1 1 11，已知圆的半径为5，圆内阴影部分的面积是________．
图1 1 11
【解析】　∵40°＝40×＝，30°＝30×＝，
∴S＝r2·＋r2·＝.
【答案】　
8.圆弧长度等于圆弧所在圆的内接正三角形的边长，则圆弧所对圆心角的弧度数为________．【解析】　设圆的半径为R，则圆的内接正三角形的边长为R，弧长等于R的圆心角的弧度数为α＝＝.
【答案】　
二、解答题
9.已知α＝2
000°.
(1)把α写成2kπ＋β(k∈Z，β∈[0,2π))的形式．
(2)θ与α的终边相同，且θ∈(4π，6π)．求θ.
【解】　(1)α＝2
000°＝5×360°＋200°＝10π＋π.
(2)θ与α的终边相同，故θ＝2kπ＋π，k∈Z，
又θ∈(4π，6π)，所以k＝2时，θ＝4π＋π＝π.
10.如图1 1 12所示，用弧度制表示顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在阴影部分的角的集合.
图1 1 12
【解】　(1)将阴影部分看成是由OA逆时针转到OB所形成．故满足条件的角的集合为
.
(2)若将终边为OA的一个角改写为－，此时阴影部分可以看成是OA逆时针旋转到OB所形成，故满足条件的角的集合为α＋2kπ，k∈Z.
(3)将图中x轴下方的阴影部分看成是由x轴上方的阴影部分旋转π
rad而得到，所以满足条件的角的集合为.
(4)与第(3)小题的解法类似，将第二象限阴影部分旋转π
rad后可得到第四象限的阴影部分，所以满足条件的角的集合为.
[能力提升]
1．已知某中学上午第一节课的上课时间是8点，那么，当第一节课铃声响起时，时钟的时针、分针把整个时钟圆弧分成的劣弧所对的圆心角是________．
【解析】　8点时，时钟的时针正好指向8，分针正好指向12，由于时钟的每两个数字之间的圆心角是30°，即，故此时时针、分针把整个时钟圆弧分成的劣弧所对的圆心角是×4＝.
【答案】　
2.若角α的终边与的终边关于直线y＝x对称，且α∈(－4π，4π)，则α＝________.
【解析】　与α终边相同的角的集合为α.∵α∈(－4π，4π)，∴－4π＜2kπ＋＜4π，
化简得：－＜k＜，∵k∈Z，∴k＝－2，－1,0,1，
∴α＝－π，－π，，π.
【答案】　－π，－π，，π
3.已知集合A＝{x|2kπ≤x≤2kπ＋π，k∈Z}，集合B＝{x|－4≤x≤4}，则A∩B＝________.
【解析】　如图所示，
∴A∩B＝[－4，－π]∪[0，π]．
【答案】　[－4，－π]∪[0，π]
4．用30
cm长的铁丝围成一个扇形，应怎样设计才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？
【解】　设扇形的圆心角为α，半径为r，面积为S，弧长为l，则有l＋2r＝30，∴l＝30－2r，
从而S＝·l·r＝(30－2r)·r
＝－r2＋15r＝－2＋.
又∵r＞0，且l＝30－2r＞0，∴0＜r＜15，
∴当半径r＝
cm时，l＝30－2×＝15(cm)，扇形面积的最大值是
cm2，这时α＝＝2
rad，
∴当扇形的圆心角为2
rad，半径为
cm时，面积最大，最大面积为
cm2.