2017-2018学年高一数学苏教版必修4学业分层测评：1.3.3第2课时　函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象与性质

学业分层测评(十二)　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象与性质
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、填空题
1．已知f(x)＝sin(3x＋φ)的图象的一个对称中心是，则φ＝________.
【解析】　把x＝－π代入sin(3x＋φ)＝0，
得sin＝0，
∴φ－π＝kπ，又|φ|＜，所以令k＝－2，得φ＝－2π＋π＝－.
【答案】　－
2．三角函数式：
①y＝3sin；②y＝3sin；
③y＝3sin；④y＝3cos.
其中在上的图象如图1 3 11所示的函数是________．
图1 3 11
【解析】　代入，检验．
【答案】　①②④
3．函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的部分图象如图1 3 12所示，则ω＝________；φ＝________.
图1 3 12
【解析】　T＝－＝，∴T＝＝π，
∴ω＝2.
当x＝时，2×＋φ＝，∴φ＝－.
【答案】　2　－
4．点P是函数f(x)＝sin(ωx＋φ)＋m(ω＞0，|φ|＜)的图象的一个对称中心，且点P到该图象的对称轴的距离的最小值为，则正确的序号有________.①f(x)的最小正周期是π；②f(x)的值域为[0，4]；③f(x)的初相φ＝；④f(x)在上单调递增．
【解析】　由题意，且函数的最小正周期为T＝4×＝2π，故ω＝＝1.代入①式得φ＝kπ＋(k∈Z)，又|φ|＜，所以φ＝，所以f(x)＝sin＋2.故函数f(x)的值域为[1，3]，初相为，排除①②③项，选④项．
【答案】　④
5.已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)的图象如图1 3 13所示，f＝－，则f(0)＝________.
图1 3 13
【解析】　由图象可得最小正周期为π，于是f(0)＝f，注意到π与关于对称，所以f＝－f＝.
【答案】　
6．设函数f(x)＝2sin.若对任意x∈R，都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立，则|x1－x2|的最小值为________．
【解析】　f(x)的周期T＝4，|x1－x2|的最小值为2.
【答案】　2
7．若函数f(x)＝3sin(ωx＋φ)对任意x都有f＝f(－x)，则f＝________.
【解析】　由于函数f(x)＝3sin(ωx＋φ)对任意x都有f＝f(－x)，
则函数f(x)的图象关于直线x＝对称，则f是函数f(x)的最大值或最小值，则f＝－3或3.
【答案】　±3
8．设函数y＝sin(ωx＋φ)的最小正周期为π，且其图象关于直线x＝对称，则在下面四个结论：①图象关于点对称；②图象关于点对称；③在上是增函数；④在上是增函数，所有正确结论的编号为________．
【解析】　∵T＝π，∴ω＝2.又2×＋φ＝kπ＋，
∴φ＝kπ＋.∵φ∈，∴φ＝，
∴y＝sin.由图象及性质可知②④正确．
【答案】　②④
二、解答题
9．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)，x∈R的周期为π，且图象上一个最低点为M.
(1)求f(x)的解析式；
(2)当x∈时，求f(x)的最值．
【解】　(1)由最低点为M得A＝2.由T＝π，得ω＝＝＝2.由点M是图象的一个最低点，得2sin＝－2，即sin＝－1，＋φ＝2kπ－(k∈Z)，φ＝2kπ－(k∈Z)．又φ∈，∴φ＝，∴f(x)＝2sin.
(2)∵x∈，∴2x＋∈，∴当2x＋＝，即x＝0时，f(x)取得最小值1；当2x＋＝，即x＝时，f(x)取得最大值.
[能力提升]
1．方程2sin＋2a－1＝0在[0，π]上有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是________．
【解析】　∵x∈[0，π]，x＋∈，2sinx＋∈[－，2]．
画出函数图象可知，当≤1－2a＜2时，原方程有两个不相等的实数根，故－＜a≤.
【答案】　
2．函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的一段图象如图1 3 14所示．
图1 3 14
(1)求f(x)的解析式；
(2)把f(x)的图象向左至少平移多少个单位长度，才能使得到的图象对应的函数为偶函数？
【解】　(1)A＝3，＝＝5π，故ω＝.
由f(x)＝3sin的图象过点得sin＝0，
又|φ|＜，故φ＝－，∴f(x)＝3sin.
(2)设把f(x)的图象向左至少平移m(m＞0)个单位长度，才能使得到的图象对应的函数为偶函数．
由f(x＋m)＝3sin
＝3sin为偶函数，知－＝kπ＋，即m＝kπ＋.
∵m＞0，∴m取最小值.
故至少把f(x)的图象向左平移个单位长度，才能使得到的图象对应的函数是偶函数.