2017-2018学年高一数学苏教版必修4学业分层测评：1.3.4　三角函数的应用

学业分层测评(十三)　三角函数的应用
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、填空题1．交流电的电压E(单位：V)与时间t(单位：s)的关系可用E＝220sin来表示，则最大电压值第一次出现与第二次出现的时间间隔为________．
【解析】　最大电压值第一次出现与第二次出现的时间间隔为一个周期T＝
s＝
s.
【答案】　
s
2．如图1 3 20所示，为一质点作简谐运动的图象，则下列判断错误的是________．①该简谐运动的振动周期为0.7
s；
②该简谐运动的振幅为5
cm；
③该质点在0.1
s和0.5
s时振动速度最大；
④该质点在0.3
s和0.7
s时的加速度为零．
图1 3 20
【解析】　由图象知，振幅为5
cm，＝(0.7－0.3)s＝0.4
s，故T＝0.8
s，故①错误；该质点在0.1
s和0.5
s离开平衡位置最远，而不能说振动速度最大，故③错误；该质点在0.3
s和0.7
s时正好回到平衡位置，而不是加速度为零，故④错误．
【答案】　①③④
3．如图1 3 21是一机械振动的传播图，图中甲、乙、丙、丁四点经半个周期后到最低点的是________．
图1 3 21
【解析】　半个周期后，丁由最高点到最低点．
【答案】　丁
4．已知某游乐园内摩天轮的中心O点距地面的高度为50
m，摩天轮做匀速转动，摩天轮上的一点P自最低点A点起，经过t
min后，点P的高度h＝40·sin＋50(单位：m)，那么在摩天轮转动一圈的过程中，点P的高度在距地面70
m以上的时间将持续________分钟.
【解析】　依题意，即40sin＋50≥70，
即cost≤－，从而在一个周期内持续的时间为≤t≤，4≤t≤8，即持续时间为4分钟．
【答案】　4
5．已知受噪声干扰的正弦波信号的相关信号图形如图1 3 22所示，此图可以视为y＝Asin(ωx＋φ)的图象的一部分，此函数解析式是________．
图1 3 22
【解析】　由已知，信号最大、最小时的波动幅度分别为3和－3.
∴A＝3.由图象知，
＝－＝，
∴T＝π，∴ω＝＝＝2，
∴y＝3sin(2x＋φ)．
由图象知，点是第三个关键点，
∴×2＋φ＝π，∴φ＝，
∴所求函数解析式为y＝3sin.
【答案】　y＝3sin
6．动点A(x，y)在圆x2＋y2＝1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周，已知时间t＝0时，点A的坐标是，则当0≤t≤12时，动点A的纵坐标y关于t(单位：秒)的函数的单调递增区间是________．
【解析】　由题意可知，y＝sin(ωt＋φ)．
又t＝0时，A，
∴φ＝，
又由T＝12可知，ω＝＝，
∴y＝sin.
令2kπ－≤t＋≤2kπ＋，k∈Z，12k－5≤t≤12k＋1，k∈Z，∵0≤t≤12，∴令k＝0，1，得0≤t≤1或7≤t≤12，
故动点A的纵坐标y关于t的函数的单调递增区间为[0，1]，[7，12]．
【答案】　[0，1]，[7，12]
7．如图1 3 23所示的图象显示的是相对于平均海平面的某海湾的水面高度y(m)在某天24
h内的变化情况，则水面高度y关于从夜间0时开始的时间x的函数关系式为________．
图1 3 23
【解析】　将其看成y＝Asin(ωx＋φ)的图象，由图象知：A＝6，T＝12，
∴ω＝＝，下面确定φ，将(6，0)看成函数第一特殊点，则×6＋φ＝0，∴φ＝－π.
∴函数关系式为：y＝6sin＝－6sinx.
【答案】　y＝－6sinx
8．为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图1 3 24所示的坐标系，设秒针针尖位置P(x，y)．若初始位置为P0，当秒针从P0(此时t＝0)正常开始走时，那么点P的纵坐标y与时间t的函数关系式为________．
图1 3 24
①y＝sin；②y＝sin；
③y＝sin；④y＝sin.
【解析】　由题意可得，sin
φ＝，∴函数的初相是φ＝，排除④.又函数周期是60(秒)且秒针按顺时针方向旋转，即T＝＝60，ω＜0，所以|ω|＝，即ω＝－，故选③.
【答案】　③
二、解答题
9．已知某地一天从4点到16点的温度变化曲线近似满足函数y＝10sin＋20，x∈[4，16]．
(1)求该地区这一段时间内温度的最大温差；
(2)假若有一种细菌在15
℃到25
℃之间可以生存，那么在这段时间内，该细菌能生存多长时间？
【解】　(1)由函数易知，当x＝14时函数取最大值，即最高温度为30
℃，当x＝6时函数取最小值，即最低温度为10
℃，所以，最大温差为30
℃－10
℃＝20
℃.
(2)令10sin＋20＝15，
可得sin＝－，而x∈[4，16]，
所以x＝.
令10sin＋20＝25，
可得sin＝，
而x∈[4，16]，所以x＝.
故该细菌的存活时间为：－＝小时．
[能力提升]
1．一个大风车的半径为8
m，12分钟旋转一周，它的最低点离地面2
m(如图1 3 25所示)，则风车翼片的一个端点离地面的距离h(米)与时间t(分钟)之间(h(0)＝2)的函数关系式为________．
图1 3 25
【解析】　如图，风车上翼片端点所在位置P可由函数x(t)、y(t)来刻画，而且h(t)＝y(t)＋2.所以，只需要考虑y(t)的解析式．
又设P的初始位置在最低点即y(0)＝0.
在Rt△O1PQ中，cos
θ＝，y(t)＝－8cos
θ＋8.
而＝，所以θ＝t，y(t)＝－8cos
t＋8，h(t)＝－8cos
t＋10.
【答案】　h(t)＝－8cos
t＋10
2.下表是某地某年月平均气温(单位：华氏).
月份
1
2
3
4
5
6
平均气温
21.4
26.0
36.0
48.8
59.1
68.6
月份
7
8
9
10
11
12
平均气温
73.0
71.9
64.7
53.5
39.8
27.7
以月份为x轴，x＝月份－1，以平均气温为y轴．
(1)描出散点图；
(2)用正弦曲线去拟合这些数据；
(3)这个函数的周期是多少？
(4)估计这个正弦曲线的振幅A；
(5)下面四个函数模型中，最适合这些数据的是．
①＝cos；②＝cos；
③＝cos；④＝sin.
【解】　(1)(2)如图所示；
(3)1月份的气温最低，为21.4华氏，7月份气温最高，为73.0华氏，据图知，＝7－1＝6，∴T＝12.
(4)2A＝最高气温－最低气温＝73.0－21.4＝51.6，
∴A＝25.8.
(5)∵x＝月份－1，∴不妨取x＝2－1＝1，y＝26.0，代入①，得＝＞1≠cos
，∴①错误；代入②，得＝＜0≠cos
，∴②错误；同理④错误，③正确．